Subiecte Bac matematică 2026: barem și rezolvări pe profil

Documentele oficiale

Subiectele și baremele oficiale sunt publicate de Ministerul Educației; mai jos sunt linkurile către ele, pe profiluri.

Sesiunea iunie–iulie: 1 iulie 2026

Profil	Subiect	Barem
M_mate-info	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_mate-info_2026_var_03_LRO.pdf`	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_mate-info_2026_bar_03_LRO.pdf`
M_șt-nat (științele naturii)	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_st-nat_2026_var_03_LRO.pdf`	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_st-nat_2026_bar_03_LRO.pdf`
M_tehnologic	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_tehnologic_2026_var_03_LRO.pdf`	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_tehnologic_2026_bar_03_LRO.pdf`
M_pedagogic	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_pedagogic_2026_var_03_LRO.pdf`	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_pedagogic_2026_bar_03_LRO.pdf`

Sesiunea din august: 11 august 2026

Profil	Subiect	Barem
M_mate-info	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_mate-info_2026_var_04_LRO.pdf`	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_mate-info_2026_bar_04_LRO.pdf`
M_șt-nat (științele naturii)	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_st-nat_2026_var_04_LRO.pdf`	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_st-nat_2026_bar_04_LRO.pdf`
M_tehnologic	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_tehnologic_2026_var_04_LRO.pdf`	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_tehnologic_2026_bar_04_LRO.pdf`
M_pedagogic	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_pedagogic_2026_var_04_LRO.pdf`	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_pedagogic_2026_bar_04_LRO.pdf`

Datele probei

Pagina oficială de arhivă a subiectelor: subiecte.edu.ro/2027/arhiva.

Sesiunea iunie–iulie: calendarul din OMEC 6.059/2025 fixase proba E.c) pe 30 iunie 2026. Ordinul 4.270 din 29.06.2026 a mutat-o pe 1 iulie 2026, iar comunicatul Ministerului Educației din 29 iunie arată motivul: prognoza de cod roșu de caniculă pentru 30 iunie.
Sesiunea din august: proba E.c) s-a dat pe 11 august 2026 (anexa 1 la OMEC 6.059/2025; comunicatul din 7 august 2026).
Lucrarea durează trei ore de lucru efectiv, cum scrie în antetul fiecărui subiect. Subiectele și baremele se publică în ziua probei, la ora 15:00.

Matematică M_mate-info: sesiunea iunie–iulie 2026

Varianta 3. Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică; filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică. Se acordă 90 de puncte pentru subiecte și 10 din oficiu; timpul de lucru efectiv este de trei ore.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5 puncte)

Se consideră numărul complex $z = 3 - i$ . Arătați că $z (z + 2 i) = 10$ .

Rezolvare. Adunăm mai întâi în paranteză: $z + 2 i = 3 - i + 2 i = 3 + i$ . Atunci $z (z + 2 i) = (3 - i) (3 + i)$ , adică produsul dintre un număr complex și conjugatul său. Folosim formula $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ și faptul că $i^{2} = - 1$ : $(3 - i) (3 + i) = 9 - i^{2} = 9 + 1 = 10$ .

Răspuns: $z (z + 2 i) = 10$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru transformarea produsului în $9 - i^{2}$ , 3 puncte pentru înlocuirea lui $i^{2}$ și obținerea lui $10$ .

2. (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 4$ . Determinați numărul real $a$ pentru care $f (a) + f (- 2 a) = a$ .

Rezolvare. Calculăm valorile funcției: $f (a) = 3 a - 4$ și $f (- 2 a) = 3 \cdot (- 2 a) - 4 = - 6 a - 4$ . Ecuația devine $3 a - 4 - 6 a - 4 = a$ , adică $- 3 a - 8 = a$ . De aici $- 4 a = 8$ , deci $a = - 2$ . Verificare: $f (- 2) = - 10$ și $f (4) = 8$ , iar $- 10 + 8 = - 2 = a$ .

Răspuns: $a = - 2$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru calculul lui $f (a)$ și $f (- 2 a)$ , 2 puncte pentru rezolvarea ecuației și obținerea lui $a = - 2$ .

3. (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x^{2} + 7 = 2 x + 1$ .

Rezolvare. Radicalul din dreapta cere $x + 1 \geq 0$ , adică $x \geq - 1$ ; radicandul din stânga, $x^{2} + 7$ , este pozitiv pentru orice $x$ . Pe acest domeniu ambii membri sunt nenegativi, deci ridicarea la pătrat dă o ecuație echivalentă: $x^{2} + 7 = 4 (x + 1)$ , adică $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ , cu $(x - 1) (x - 3) = 0$ . Obținem $x = 1$ sau $x = 3$ . Ambele valori sunt mai mari decât $- 1$ . Verificare: pentru $x = 1$ , $8 = 22$ ; pentru $x = 3$ , $16 = 4 = 24$ .

Răspuns: $x \in {1, 3}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru ecuația $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ obținută prin ridicare la pătrat, 3 puncte pentru soluțiile $1$ și $3$ , cu precizarea că ele convin.

4. (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A = {1, 2, 3, 5, 7}$ . Determinați câte dintre submulțimile mulțimii $A$ au exact trei elemente și conțin numărul $5$ .

Rezolvare. O submulțime cu trei elemente care conține pe $5$ este determinată de celelalte două elemente ale ei, alese din $A ∖ {5} = {1, 2, 3, 7}$ . Ordinea elementelor nu contează, deci numărul alegerilor este numărul combinărilor de $4$ elemente luate câte $2$ : $C_{4}^{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ . Submulțimile sunt ${1, 2, 5}$ , ${1, 3, 5}$ , ${1, 5, 7}$ , ${2, 3, 5}$ , ${2, 5, 7}$ și ${3, 5, 7}$ .

Răspuns: $6$ submulțimi.

Punctaj în barem: 3 puncte pentru reducerea la numărul submulțimilor cu două elemente ale lui $A ∖ {5}$ , 2 puncte pentru valoarea $6$ .

5. (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (3, 6)$ , $B (4, 1)$ și $C (5, a)$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care dreptele $O A$ și $B C$ sunt paralele.

Rezolvare. Două drepte neverticale sunt paralele când au aceeași pantă. Panta dreptei $O A$ , cu $O (0, 0)$ , este $m_{O A} = \frac{6 - 0}{3 - 0} = 2$ . Panta dreptei $B C$ este $m_{B C} = \frac{a - 1}{5 - 4} = a - 1$ . Din $m_{O A} = m_{B C}$ rezultă $a - 1 = 2$ , deci $a = 3$ . Pentru $a = 3$ punctul $B$ nu se află pe dreapta $O A$ (de ecuație $y = 2 x$ ), deci dreptele sunt distincte.

Răspuns: $a = 3$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru panta dreptei $O A$ , 3 puncte pentru panta dreptei $B C$ , egalarea pantelor și obținerea lui $a = 3$ .

6. (5 puncte)

Se consideră expresia $E (x) = (1 + tg^{2} x) sin \frac{x}{2} + cos 3 x$ , unde $x \in (0, \frac{π}{2})$ . Arătați că $E (\frac{π}{3}) = 1$ .

Rezolvare. Valoarea $\frac{π}{3}$ aparține intervalului $(0, \frac{π}{2})$ . Pentru $x = \frac{π}{3}$ avem $tg \frac{π}{3} = 3$ , $sin \frac{x}{2} = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ și $cos 3 x = cos π = - 1$ . Atunci $E (\frac{π}{3}) = (1 + (3)^{2}) \cdot \frac{1}{2} + (- 1) = 4 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 2 - 1 = 1$ .

Răspuns: $E (\frac{π}{3}) = 1$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru valorile $tg \frac{π}{3}$ , $sin \frac{π}{6}$ și $cos π$ , 2 puncte pentru înlocuirea lor și calculul final.

Ce punctează baremul la Subiectul I. Baremul precizează că pentru orice soluție corectă, chiar diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat. Fiecare cerință are 5 puncte, împărțite în două etape (de exemplu 2 + 3 sau 3 + 2). La ecuația cu radicali (I.3), ultimele 3 puncte cer soluțiile și precizarea că ele convin, deci etapa finală include și constatarea că soluțiile găsite convin. La I.4 punctele pe etape depind de reducerea numărării la submulțimile cu două elemente ale lui $A ∖ {5}$ , nu doar de numărul final.

Lecțiile din spate: Operații cu numere complexe, Ecuații cu radicali, Combinări, Valori trigonometrice remarcabile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Problema 1.

Se consideră matricea $A (a) = 1 a 0 a 32 a a 1$ și sistemul de ecuații liniare $⎩ ⎨ ⎧ x + a y + a z = 1 a x + 3 y + a z = 0 2 y + z = 0$ , unde $a$ este număr real.

II.1.a) (5 puncte)

Arătați că $det (A (1)) = 2$ .

Rezolvare. Pentru $a = 1$ matricea este $A (1) = 110132111$ . Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus: $det (A (1)) = 1 \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 \cdot 1 = 3 + 0 + 2 - 0 - 2 - 1 = 2$ .

Răspuns: $det (A (1)) = 2$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru scrierea matricei $A (1)$ și a determinantului ei, 3 puncte pentru calculul determinantului.

II.1.b) (5 puncte)

Arătați că, pentru orice număr real $a$ , sistemul de ecuații are soluție unică.

Rezolvare. Matricea sistemului este chiar $A (a)$ . Un sistem liniar de trei ecuații cu trei necunoscute are soluție unică atunci când determinantul matricei sale este nenul. Calculăm cu regula lui Sarrus: $det (A (a)) = 1 \cdot 3 \cdot 1 + a \cdot a \cdot 0 + a \cdot a \cdot 2 - a \cdot 3 \cdot 0 - 1 \cdot a \cdot 2 - a \cdot a \cdot 1 = 3 + 2 a^{2} - 2 a - a^{2} = a^{2} - 2 a + 3$ . Scriem expresia ca sumă de pătrate: $a^{2} - 2 a + 3 = (a - 1)^{2} + 2 \geq 2 > 0$ pentru orice $a$ real. Determinantul nu se anulează niciodată, deci sistemul are soluție unică pentru orice $a$ .

Răspuns: $det (A (a)) = a^{2} - 2 a + 3 = (a - 1)^{2} + 2 \neq = 0$ , deci soluția este unică.

Punctaj în barem: 3 puncte pentru $det (A (a)) = a^{2} - 2 a + 3$ , 2 puncte pentru forma $(a - 1)^{2} + 2 \neq = 0$ și concluzia privind soluția unică.

II.1.c) (5 puncte)

Determinați numărul natural nenul $a$ pentru care sistemul de ecuații are soluția $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ , cu $z_{0} = n x_{0}$ , unde $n$ este număr natural.

Rezolvare. Rezolvăm sistemul pentru un $a$ oarecare. Din a treia ecuație, $z = - 2 y$ . Înlocuim în primele două: $x + a y - 2 a y = 1$ , adică $x - a y = 1$ , și $a x + 3 y - 2 a y = 0$ , adică $a x + (3 - 2 a) y = 0$ . Din prima, $x = 1 + a y$ ; în a doua obținem $a + a^{2} y + (3 - 2 a) y = 0$ , deci $(a^{2} - 2 a + 3) y = - a$ . Notând $Δ = a^{2} - 2 a + 3$ (nenul, după cum am văzut la b)), avem $y_{0} = - \frac{a}{Δ}$ , $x_{0} = 1 + a y_{0} = \frac{3 - 2 a}{Δ}$ și $z_{0} = - 2 y_{0} = \frac{2 a}{Δ}$ . Condiția $z_{0} = n x_{0}$ înseamnă $2 a = n (3 - 2 a)$ . Cum $a$ este natural nenul, $2 a > 0$ ; cum $n \geq 0$ , produsul $n (3 - 2 a)$ poate fi pozitiv doar dacă $3 - 2 a > 0$ , adică $a < \frac{3}{2}$ . Singurul număr natural nenul cu această proprietate este $a = 1$ , iar atunci $2 = n \cdot 1$ , deci $n = 2$ . Verificare: pentru $a = 1$ soluția este $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1)$ , iar $z_{0} = 2 x_{0}$ .

Răspuns: $a = 1$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru relația $2 a = n (3 - 2 a)$ , 2 puncte pentru condiția $3 - 2 a > 0$ și obținerea lui $a = 1$ , care convine.

Problema 2.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = \frac{2}{3} (x - 3) (y - 3) + 3$ .

II.2.a) (5 puncte)

Arătați că $0 * 2 = 5$ .

Rezolvare. Înlocuim $x = 0$ și $y = 2$ : $0 * 2 = \frac{2}{3} (0 - 3) (2 - 3) + 3 = \frac{2}{3} \cdot (- 3) \cdot (- 1) + 3 = 2 + 3 = 5$ .

Răspuns: $0 * 2 = 5$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru înlocuirea în definiția legii, 2 puncte pentru calculul final.

II.2.b) (5 puncte)

Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * \frac{3 x}{2} = 5 x$ .

Rezolvare. Mai întâi calculăm compusul: $\frac{3 x}{2} - 3 = \frac{3}{2} (x - 2)$ , deci $x * \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (x - 3) \cdot \frac{3}{2} (x - 2) + 3 = (x - 3) (x - 2) + 3 = x^{2} - 5 x + 9$ . Ecuația $x^{2} - 5 x + 9 = 5 x$ devine $x^{2} - 10 x + 9 = 0$ , adică $(x - 1) (x - 9) = 0$ . Verificare: $1 * \frac{3}{2} = \frac{2}{3} \cdot (- 2) \cdot (- \frac{3}{2}) + 3 = 5 = 5 \cdot 1$ , iar $9 * \frac{27}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6 \cdot \frac{21}{2} + 3 = 45 = 5 \cdot 9$ .

Răspuns: $x \in {1, 9}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru $x * \frac{3 x}{2} = x^{2} - 5 x + 9$ , 3 puncte pentru ecuația de gradul al doilea și soluțiile $x = 1$ și $x = 9$ .

II.2.c) (5 puncte)

Determinați perechile $(m, n)$ de numere naturale pentru care $m * m * n = - 1$ .

Rezolvare. Legea este asociativă, deci $m * m * n = (m * m) * n$ . Avem $m * m = \frac{2}{3} (m - 3)^{2} + 3$ , deci $(m * m) - 3 = \frac{2}{3} (m - 3)^{2}$ și $m * m * n = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} (m - 3)^{2} (n - 3) + 3 = \frac{4}{9} (m - 3)^{2} (n - 3) + 3$ . Condiția $m * m * n = - 1$ revine la $\frac{4}{9} (m - 3)^{2} (n - 3) = - 4$ , adică $(m - 3)^{2} (n - 3) = - 9$ . Pentru $m$ și $n$ naturale, $(m - 3)^{2}$ este un pătrat perfect nenul (pentru $m = 3$ produsul ar fi $0$ ) și $n - 3 = - \frac{9}{( m - 3 ) ^{2}}$ trebuie să fie întreg, deci $(m - 3)^{2}$ divide $9$ . Pătratele perfecte care divid $9$ sunt $1$ și $9$ .

Dacă $(m - 3)^{2} = 1$ , atunci $n - 3 = - 9$ și $n = - 6$ , care nu este natural.
Dacă $(m - 3)^{2} = 9$ , atunci $n - 3 = - 1$ , deci $n = 2$ , iar $m - 3 = \pm 3$ dă $m = 0$ sau $m = 6$ . Verificare: $0 * 0 = \frac{2}{3} \cdot 9 + 3 = 9$ și $9 * 2 = \frac{2}{3} \cdot 6 \cdot (- 1) + 3 = - 1$ ; la fel pentru $m = 6$ , unde $6 * 6 = 9$ .

Răspuns: $(m, n) \in {(0, 2), (6, 2)}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru expresiile lui $m * m$ și $m * m * n$ , 3 puncte pentru ecuația $(m - 3)^{2} (n - 3) = - 9$ și perechile $(0, 2)$ și $(6, 2)$ .

Ce punctează baremul la Subiectul al II-lea. Se aplică aceleași reguli generale: orice soluție corectă primește punctajul corespunzător, fără fracțiuni de punct, cu punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale. Fiecare subpunct are 5 puncte, împărțite 2 + 3 sau 3 + 2. La II.1.b baremul cere nu doar calculul determinantului, ci și motivul pentru care el nu se anulează: forma $(a - 1)^{2} + 2 \neq = 0$ valorează 2 puncte. La II.1.c ultimele 2 puncte cer condiția $3 - 2 a > 0$ și valoarea $a = 1$ , care convine. La II.2.c baremul acordă 2 puncte pentru scrierea expresiilor $m * m$ și $m * m * n$ , iar 3 puncte revin ecuației $(m - 3)^{2} (n - 3) = - 9$ și perechilor naturale obținute din ea.

Lecțiile din spate: Determinanți, Sisteme liniare și regula lui Cramer, Legi de compoziție

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Problema 1.

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{3} - 4 x}{x ^{2} + 5}$ .

III.1.a) (5 puncte)

Arătați că $f^{'} (x) = \frac{( x ^{2} - 1 ) ( x ^{2} + 20 )}{( x ^{2} + 5 ) ^{2}}$ , $x \in R$ .

Rezolvare. Derivăm câtul cu formula $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , cu $u = x^{3} - 4 x$ și $v = x^{2} + 5$ : $f^{'} (x) = \frac{( 3 x ^{2} - 4 ) ( x ^{2} + 5 ) - ( x ^{3} - 4 x ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 5 ) ^{2}}$ . Numărătorul este $3 x^{4} + 15 x^{2} - 4 x^{2} - 20 - 2 x^{4} + 8 x^{2} = x^{4} + 19 x^{2} - 20$ . Se descompune în factori: $x^{4} + 19 x^{2} - 20 = (x^{2} - 1) (x^{2} + 20)$ , deoarece $(x^{2} - 1) (x^{2} + 20) = x^{4} + 20 x^{2} - x^{2} - 20$ .

Răspuns: $f^{'} (x) = \frac{( x ^{2} - 1 ) ( x ^{2} + 20 )}{( x ^{2} + 5 ) ^{2}}$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru derivata câtului, 2 puncte pentru aducerea numărătorului la forma $(x^{2} - 1) (x^{2} + 20)$ .

III.1.b) (5 puncte)

Arătați că dreapta de ecuație $y = x$ este asimptota oblică spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ .

Rezolvare. Dreapta $y = x$ este asimptotă oblică spre $+ \infty$ dacă $lim_{x \to + \infty} (f (x) - x) = 0$ . Calculăm diferența: $f (x) - x = \frac{x ^{3} - 4 x - x ^{3} - 5 x}{x ^{2} + 5} = \frac{- 9 x}{x ^{2} + 5}$ . Numărătorul are gradul $1$ , iar numitorul gradul $2$ , deci $lim_{x \to + \infty} \frac{- 9 x}{x ^{2} + 5} = 0$ .

Răspuns: $lim_{x \to + \infty} (f (x) - x) = 0$ , deci $y = x$ este asimptotă oblică spre $+ \infty$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru scrierea limitei $lim_{x \to + \infty} (f (x) - x)$ , 3 puncte pentru calculul ei (egală cu $0$ ) și concluzia.

III.1.c) (5 puncte)

Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care ecuația $f (x) = m$ are exact trei soluții.

Rezolvare. Folosim semnul derivatei de la a). Factorii $x^{2} + 20$ și $(x^{2} + 5)^{2}$ sunt pozitivi, deci $f^{'}$ are semnul lui $x^{2} - 1$ : $f^{'} (x) = 0$ pentru $x = - 1$ sau $x = 1$ , $f^{'} > 0$ pe $(- \infty, - 1)$ și pe $(1, + \infty)$ , $f^{'} < 0$ pe $(- 1, 1)$ . Funcția este strict crescătoare pe $(- \infty, - 1]$ , strict descrescătoare pe $[- 1, 1]$ și strict crescătoare pe $[1, + \infty)$ . Valorile în punctele critice sunt $f (- 1) = \frac{- 1 + 4}{6} = \frac{1}{2}$ și $f (1) = \frac{1 - 4}{6} = - \frac{1}{2}$ . La capete, $lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$ și $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ . Funcția este continuă, deci pe fiecare interval ia toate valorile dintre capetele lui:

pe $(- \infty, - 1]$ ia valorile din $(- \infty, \frac{1}{2}]$ ;
pe $[- 1, 1]$ ia valorile din $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ ;
pe $[1, + \infty)$ ia valorile din $[- \frac{1}{2}, + \infty)$ . Pe fiecare interval, fiind strict monotonă, funcția ia o valoare cel mult o dată. Dacă $m \in (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ , valoarea $m$ apare pe toate cele trei intervale, în puncte diferite (nici unul dintre ele nu este $\pm 1$ , deoarece $f (\pm 1) = \pm \frac{1}{2} \neq = m$ ), deci ecuația are exact trei soluții. Pentru $m = \pm \frac{1}{2}$ apar două soluții (una este punct critic), iar pentru $m$ în afara intervalului închis $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ apare o singură soluție.

Răspuns: $m \in (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru semnul lui $f^{'}$ și monotonia funcției, 3 puncte pentru limitele la $\pm \infty$ , valorile $f (\pm 1)$ , continuitate și mulțimea căutată.

Problema 2.

Se consideră funcția $f : (1, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x ln x}$ .

III.2.a) (5 puncte)

Arătați că $\int_{2}^{3} f (x) x ln x d x = \frac{7}{3}$ .

Rezolvare. Pentru $x > 1$ produsul $f (x) x ln x$ se simplifică: $f (x) x ln x = x^{2} - 4$ . Atunci $\int_{2}^{3} (x^{2} - 4) d x = (\frac{x ^{3}}{3} - 4 x)_{2}^{3} = (9 - 12) - (\frac{8}{3} - 8) = - 3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$ .

Răspuns: $\int_{2}^{3} f (x) x ln x d x = \frac{7}{3}$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru simplificarea integrandului și primitiva lui, 2 puncte pentru calculul valorii $\frac{7}{3}$ cu limitele de integrare.

III.2.b) (5 puncte)

Arătați că $\int_{e}^{e^{2}} \frac{f ( x )}{x ^{2} - 4} d x = ln 2$ .

Rezolvare. Pe intervalul $[e, e^{2}]$ avem $x > 2$ , deci $x^{2} - 4 \neq = 0$ și putem simplifica: $\frac{f ( x )}{x ^{2} - 4} = \frac{1}{x ln x}$ . Cum $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ , rezultă $\frac{1}{x ln x} = \frac{( ln x ) ^{'}}{ln x} = (ln (ln x))^{'}$ . Prin urmare $\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x ln x} d x = ln (ln x)_{e}^{e^{2}} = ln (ln e^{2}) - ln (ln e) = ln 2 - ln 1 = ln 2$ .

Răspuns: $\int_{e}^{e^{2}} \frac{f ( x )}{x ^{2} - 4} d x = ln 2$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru simplificarea integrandului și găsirea primitivei $ln (ln x)$ , 2 puncte pentru calculul valorii $ln 2$ cu limitele de integrare.

III.2.c) (5 puncte)

Arătați că $x \to 2 lim \frac{1}{F ^{2} ( x )} \int_{2}^{x} (t - 2) F (t) d t = \frac{ln 2}{4}$ , unde $F : (1, + \infty) \to R$ este primitiva funcției $f$ pentru care $F (2) = 0$ .

Rezolvare. Pentru $x \to 2$ , integrala $\int_{2}^{x} (t - 2) F (t) d t$ tinde la $0$ (limitele de integrare coincid), iar $F^{2} (x) \to F^{2} (2) = 0$ . Limita este de forma $\frac{0}{0}$ , deci aplicăm regula lui l'Hospital. Condițiile se verifică astfel: $F^{'} = f$ , iar $f (x) = 0$ doar pentru $x = 2$ ; $f < 0$ pe $(1, 2)$ și $f > 0$ pe $(2, + \infty)$ , deci $F$ are minim în $x = 2$ , unde $F (2) = 0$ , iar $F (x) > 0$ pentru $x \neq = 2$ . Deci numitorul și derivata lui, $(F^{2} (x))^{'} = 2 F (x) f (x)$ , sunt nenuli pe un interval punctat în jurul lui $2$ . Derivata numărătorului este $(x - 2) F (x)$ (integrandul este continuu). Limita raportului derivatelor este $x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) F ( x )}{2 F ( x ) f ( x )} = x \to 2 lim \frac{x - 2}{2 f ( x )}$ , după simplificarea prin $F (x) \neq = 0$ . Cum $f (x) = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x ln x}$ , avem $\frac{x - 2}{2 f ( x )} = \frac{x ln x}{2 ( x + 2 )}$ , iar $x \to 2 lim \frac{x ln x}{2 ( x + 2 )} = \frac{2 ln 2}{2 \cdot 4} = \frac{ln 2}{4}$ .

Răspuns: limita este $\frac{ln 2}{4}$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru aplicarea regulii lui l'Hospital și derivarea numărătorului și a numitorului, 2 puncte pentru simplificare și calculul limitei.

Ce punctează baremul la Subiectul al III-lea. Se aplică aceleași reguli generale: orice rezolvare corectă se punctează, nu se acordă fracțiuni de punct, iar punctajele intermediare se dau în limitele din barem. Fiecare subpunct are 5 puncte, împărțite 3 + 2 sau 2 + 3. La III.1.c baremul cere ambele părți: studiul semnului lui $f^{'}$ (2 puncte) și, separat, limitele, valorile $f (\pm 1)$ , continuitatea și mulțimea $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ (3 puncte). La III.2.a și III.2.b, 3 puncte revin primitivei, iar 2 puncte revin calculului valorii cu limitele de integrare. La III.2.c, 3 puncte revin aplicării regulii l'Hospital cu derivatele corecte, iar 2 puncte simplificării și calculului limitei.

Lecțiile din spate: Asimptotele graficului, Monotonia prin derivată, Metode de integrare, Regula lui l'Hospital

Matematică M_șt-nat (științele naturii): sesiunea iunie–iulie 2026

Varianta 3. Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii. Se acordă 90 de puncte pentru subiecte și 10 din oficiu; timpul de lucru efectiv este de trei ore.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5 puncte)

Arătați că $(4, 9 - 3, 4) : 3 + 2, 5 = 3$ .

Rezolvare. Se respectă ordinea operațiilor: întâi paranteza, apoi împărțirea, apoi adunarea. Paranteza dă $4, 9 - 3, 4 = 1, 5$ . Împărțirea $1, 5 : 3$ dă $0, 5$ . Rămâne $0, 5 + 2, 5 = 3$ , adică exact valoarea cerută.

Răspuns: $(4, 9 - 3, 4) : 3 + 2, 5 = 3$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru calculul parantezei ( $1, 5 : 3 + 2, 5$ ), 3 puncte pentru împărțire, adunare și rezultatul $3$ .

2. (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 21$ . Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A (- 3 a, a)$ aparține graficului funcției $f$ .

Rezolvare. Un punct aparține graficului dacă ordonata lui este valoarea funcției în abscisă. Pentru $A (- 3 a, a)$ condiția este $f (- 3 a) = a$ . Cum $f (- 3 a) = 2 \cdot (- 3 a) - 21 = - 6 a - 21$ , obținem ecuația $- 6 a - 21 = a$ , deci $7 a = - 21$ și $a = - 3$ . Verificare: pentru $a = - 3$ punctul este $A (9, - 3)$ și $f (9) = 18 - 21 = - 3$ .

Răspuns: $a = - 3$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru scrierea condiției de apartenență $f (- 3 a) = a$ , 3 puncte pentru rezolvarea ecuației și $a = - 3$ .

3. (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{7} (1 + 2 x - x^{2}) = lo g_{7} (3 - x)$ .

Rezolvare. Logaritmul în baza $7$ este injectiv, deci, când ambele expresii au sens, egalitatea logaritmilor revine la egalitatea argumentelor: $1 + 2 x - x^{2} = 3 - x$ , adică $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ . Rădăcinile sunt $x = 1$ și $x = 2$ . Condițiile de existență cer $1 + 2 x - x^{2} > 0$ și $3 - x > 0$ . Pentru $x = 1$ : $1 + 2 - 1 = 2 > 0$ și $3 - 1 = 2 > 0$ . Pentru $x = 2$ : $1 + 4 - 4 = 1 > 0$ și $3 - 2 = 1 > 0$ . Ambele valori convin.

Răspuns: mulțimea soluțiilor este ${1, 2}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru egalarea argumentelor și ecuația $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ , 3 puncte pentru rădăcinile $1$ și $2$ și constatarea că ambele convin.

4. (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar de $11$ .

Rezolvare. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile. Numerele naturale de două cifre sunt $10, 11, \dots, 99$ , deci sunt $90$ de cazuri posibile. Multiplii de două cifre ai lui $11$ sunt $11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99$ ; dintre ei sunt impari $11, 33, 55, 77, 99$ , adică $5$ cazuri favorabile. Rezultă $p = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$ .

Răspuns: $\frac{1}{18}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru numărul cazurilor posibile ( $90$ ), 3 puncte pentru numărul cazurilor favorabile ( $5$ ) și valoarea probabilității.

5. (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (0, 5)$ , $B (2, 0)$ și $C (4, 2)$ . Arătați că triunghiul $A D C$ este isoscel, unde punctul $D$ este mijlocul segmentului $B C$ .

Rezolvare. Coordonatele mijlocului sunt semisumele coordonatelor capetelor: $D (\frac{2 + 4}{2}, \frac{0 + 2}{2}) = D (3, 1)$ . Distanța dintre două puncte se calculează cu formula $(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ . Atunci $A D = (3 - 0)^{2} + (1 - 5)^{2} = 9 + 16 = 5$ și $A C = (4 - 0)^{2} + (2 - 5)^{2} = 16 + 9 = 5$ . Deoarece $A D = A C$ , triunghiul $A D C$ este isoscel, cu vârful în $A$ .

Răspuns: $A D = A C = 5$ , deci triunghiul $A D C$ este isoscel.

Punctaj în barem: 3 puncte pentru coordonatele lui $D$ și lungimea $A D$ , 2 puncte pentru lungimea $A C$ și concluzia că triunghiul este isoscel.

6. (5 puncte)

Se consideră triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , cu $tg B = \frac{1}{3}$ și aria egală cu $24$ . Arătați că $A C = 4$ .

Rezolvare. În triunghiul dreptunghic în $A$ , tangenta unghiului $B$ este raportul dintre cateta opusă și cea alăturată: $tg B = \frac{A C}{A B} = \frac{1}{3}$ , deci $A B = 3 \cdot A C$ . Aria este semiprodusul catetelor: $\frac{A B \cdot A C}{2} = 24$ . Înlocuind $A B$ , obținem $\frac{3 \cdot A C ^{2}}{2} = 24$ , deci $A C^{2} = 16$ . Cum $A C > 0$ , rezultă $A C = 4$ (și $A B = 12$ ).

Răspuns: $A C = 4$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru relația $A B = 3 A C$ obținută din tangentă, 3 puncte pentru ecuația ariei, $A C^{2} = 16$ și $A C = 4$ .

Ce punctează baremul la Subiectul I. Baremul spune că orice soluție corectă se punctează, chiar dacă diferă de cea din barem, că nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limita punctajului indicat. Fiecare cerință valorează $5$ puncte și are două trepte, de $2$ și $3$ puncte (la cerința 5 treptele sunt, în ordine, de $3$ și $2$ puncte). La ecuația logaritmică, baremul include în treapta de $3$ puncte constatarea că rădăcinile convin, deci verificarea condițiilor de existență face parte din rezolvare. La cerința 5, treapta de $2$ puncte cere calculul lui $A C$ și concluzia, nu doar calculul lui $A D$ .

Lecțiile din spate: Ecuații logaritmice, Probabilitatea clasică, Distanța dintre două puncte, Mijlocul unui segment

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

II.1. Se consideră matricele $I_{2} = (1001)$ și $A (a) = (2 a + 2 a - 3 - a 1)$ , unde $a$ este număr real.

II.1.a) (5 puncte)

Arătați că $det (A (1)) = 2$ .

Rezolvare. Pentru $a = 1$ obținem $A (1) = (4 - 2 - 1 1)$ . Determinantul unei matrice de ordinul doi este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe cealaltă diagonală: $det (A (1)) = 4 \cdot 1 - (- 1) \cdot (- 2) = 4 - 2 = 2$ .

Răspuns: $det (A (1)) = 2$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru matricea $A (1)$ și scrierea determinantului, 2 puncte pentru calculul final.

II.1.b) (5 puncte)

Determinați numărul real $x$ pentru care $A (0) \cdot (6 I_{2} - A (2) - A (- 2)) = x I_{2}$ .

Rezolvare. Calculăm matricele necesare: $A (0) = (2 - 3 01)$ , $A (2) = (6 - 1 - 2 1)$ , $A (- 2) = (- 2 - 5 21)$ . Atunci $A (2) + A (- 2) = (4 - 6 02)$ și $6 I_{2} - A (2) - A (- 2) = (2604)$ . Produsul este

A (0) \cdot (2604) = (4 - 6 + 6 04) = (4004) = 4 I_{2} .

Egalitatea $4 I_{2} = x I_{2}$ cere ca elementele corespunzătoare să fie egale, deci $x = 4$ .

Răspuns: $x = 4$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru calculul produsului și rezultatul $4 I_{2}$ , 2 puncte pentru egalarea cu $x I_{2}$ și $x = 4$ .

II.1.c) (5 puncte)

Determinați matricea $X \in M_{2} (R)$ pentru care $A (1) \cdot X \cdot A (1) = 4 I_{2}$ .

Rezolvare. Din punctul a) știm că $det (A (1)) = 2 \neq = 0$ , deci $A (1)$ este inversabilă. Înmulțind egalitatea la stânga și la dreapta cu $A (1)^{- 1}$ , obținem $X = 4 \cdot A (1)^{- 1} \cdot A (1)^{- 1}$ . Inversa unei matrice de ordinul doi cu determinantul $2$ este $\frac{1}{2} (1214)$ (matricea $(d - c - b a)$ împărțită la determinant), adică

A (1)^{- 1} = (\frac{1}{2} 1 \frac{1}{2} 2) .

Ridicând la pătrat: $(A (1)^{- 1})^{2} = (\frac{3}{4} \frac{5}{2} \frac{5}{4} \frac{9}{2})$ , iar înmulțirea cu $4$ dă $X = (310518)$ . Verificare: $A (1) \cdot X \cdot A (1) = 4 I_{2}$ pentru această matrice.

Răspuns: $X = (310518)$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru justificarea inversabilității și forma $X = 4 (A (1))^{- 1} \cdot (A (1))^{- 1}$ , 3 puncte pentru inversa lui $A (1)$ și matricea $X$ .

II.2. Se consideră polinomul $f = X^{3} - a X + 2 + a$ , unde $a$ este număr real.

II.2.a) (5 puncte)

Arătați că $f (1) = 3$ , pentru orice număr real $a$ .

Rezolvare. Înlocuim nedeterminata cu $1$ : $f (1) = 1^{3} - a \cdot 1 + 2 + a = 1 - a + 2 + a = 3$ . Termenii cu $a$ se reduc, deci valoarea nu depinde de $a$ .

Răspuns: $f (1) = 3$ pentru orice $a \in R$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru înlocuirea lui $X$ cu $1$ , 2 puncte pentru reducerea termenilor și rezultatul $3$ .

II.2.b) (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g = X + 2$ .

Rezolvare. Un polinom este divizibil cu $X + 2$ exact când $- 2$ este rădăcină a lui (teorema restului). Calculăm $f (- 2) = (- 2)^{3} - a \cdot (- 2) + 2 + a = - 8 + 2 a + 2 + a = 3 a - 6$ . Condiția $f (- 2) = 0$ dă $3 a - 6 = 0$ , deci $a = 2$ .

Răspuns: $a = 2$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru calculul lui $f (- 2) = 3 a - 6$ , 2 puncte pentru ecuația $3 a - 6 = 0$ și $a = 2$ .

II.2.c) (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} = x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .

Rezolvare. Polinomul $f = X^{3} + 0 \cdot X^{2} - a X + (2 + a)$ are, conform relațiilor lui Viète, $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ și $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = - a$ . Fiecare rădăcină verifică $f (x_{i}) = 0$ , adică $x_{i}^{3} = a x_{i} - 2 - a$ . Adunând cele trei egalități:

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} = a (x_{1} + x_{2} + x_{3}) - 3 (2 + a) = - 3 a - 6.

Condiția din enunț devine $- 3 a - 6 = - a$ , deci $2 a = - 6$ și $a = - 3$ .

Răspuns: $a = - 3$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru relațiile lui Viète, 3 puncte pentru suma cuburilor rădăcinilor ( $- 3 a - 6$ ), ecuația rezultată și $a = - 3$ .

Ce punctează baremul la Subiectul al II-lea. Se aplică aceleași reguli generale: orice soluție corectă este punctată, nu există fracțiuni de punct, iar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare în limita celor indicate. Fiecare subpunct valorează $5$ puncte, împărțite în $3 + 2$ sau $2 + 3$ . În barem, la II.1.b cele $3$ puncte din prima treaptă sunt calculul produsului de matrice, la II.1.c ultimele $3$ puncte revin inversei și matricei $X$ , iar la II.2.c ultimele $3$ puncte cuprind suma cuburilor rădăcinilor și valoarea lui $a$ .

Lecțiile din spate: Determinanți, Matrice inversabile, Divizibilitatea polinoamelor, Relațiile lui Viète

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

III.1. Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = e^{x} (2 x^{2} - 3 x)$ .

III.1.a) (5 puncte)

Arătați că $f^{'} (x) = e^{x} (2 x + 3) (x - 1)$ , $x \in R$ .

Rezolvare. Derivăm produsul $e^{x} \cdot (2 x^{2} - 3 x)$ cu regula $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , știind că $(e^{x})^{'} = e^{x}$ : $f^{'} (x) = e^{x} (2 x^{2} - 3 x) + e^{x} (4 x - 3) = e^{x} (2 x^{2} + x - 3)$ . Trinomul $2 x^{2} + x - 3$ are rădăcinile $- \frac{3}{2}$ și $1$ , deci se descompune ca $2 x^{2} + x - 3 = (2 x + 3) (x - 1)$ (verificare prin înmulțire: $2 x^{2} - 2 x + 3 x - 3$ ). Astfel $f^{'} (x) = e^{x} (2 x + 3) (x - 1)$ .

Răspuns: $f^{'} (x) = e^{x} (2 x + 3) (x - 1)$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru derivarea produsului, 2 puncte pentru gruparea termenilor și descompunerea în factori.

III.1.b) (5 puncte)

Arătați că $x \to 0 lim \frac{f ( x ) - x}{f ( x ) + x} = 2$ .

Rezolvare. Pentru $x \to 0$ avem $f (0) = 0$ , deci atât numărătorul, cât și numitorul tind la $0$ : este o nedeterminare de forma $\frac{0}{0}$ . Aplicăm regula lui l'Hospital, derivând separat numărătorul și numitorul:

x \to 0 lim \frac{f ^{'} ( x ) - 1}{f ^{'} ( x ) + 1} .

Din punctul a), $f^{'} (0) = e^{0} \cdot 3 \cdot (- 1) = - 3$ , deci limita este $\frac{- 3 - 1}{- 3 + 1} = \frac{- 4}{- 2} = 2$ .

Răspuns: limita este $2$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru aplicarea regulii lui l'Hospital (raportul derivatelor), 3 puncte pentru calculul limitei și valoarea $2$ .

III.1.c) (5 puncte)

Determinați numerele reale $a$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = a$ , situat pe graficul funcției $f$ , are panta egală cu $0$ .

Rezolvare. Panta tangentei în punctul de abscisă $a$ este $f^{'} (a)$ . Condiția $f^{'} (a) = 0$ se scrie, conform punctului a), $e^{a} (2 a + 3) (a - 1) = 0$ . Cum $e^{a} > 0$ pentru orice $a$ , rămâne $(2 a + 3) (a - 1) = 0$ , deci $a = - \frac{3}{2}$ sau $a = 1$ .

Răspuns: $a = - \frac{3}{2}$ sau $a = 1$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru condiția $f^{'} (a) = 0$ și ecuația $e^{a} (2 a + 3) (a - 1) = 0$ , 2 puncte pentru cele două valori ale lui $a$ .

III.2. Se consideră funcția $f : (- 1, + \infty) \to R$ , $f (x) = (2 x^{2} + 4 x) x + 1$ .

III.2.a) (5 puncte)

Arătați că $\int_{0}^{3} \frac{f ( x )}{x + 1} d x = 36$ .

Rezolvare. Pe $(- 1, + \infty)$ radicalul $x + 1$ este nenul, deci $\frac{f ( x )}{x + 1} = 2 x^{2} + 4 x$ . Atunci

\int_{0}^{3} (2 x^{2} + 4 x) d x = (\frac{2 x ^{3}}{3} + 2 x^{2})_{0}^{3} = (18 + 18) - 0 = 36.

Răspuns: integrala este $36$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru simplificarea integrandului și primitiva lui, 2 puncte pentru aplicarea formulei Leibniz-Newton și valoarea $36$ .

III.2.b) (5 puncte)

Arătați că $\int_{3}^{8} \frac{x ^{2} + 2 x}{f ( x )} d x = 1$ .

Rezolvare. Observăm că $f (x) = 2 (x^{2} + 2 x) x + 1$ , deci pe $[3, 8]$ (unde $x^{2} + 2 x \neq = 0$ ) avem $\frac{x ^{2} + 2 x}{f ( x )} = \frac{1}{2 x + 1}$ . Această expresie este derivata funcției $x + 1$ , deoarece $(x + 1)^{'} = \frac{1}{2 x + 1}$ . Prin urmare

\int_{3}^{8} \frac{d x}{2 x + 1} = x + 1_{3}^{8} = 9 - 4 = 3 - 2 = 1.

Răspuns: integrala este $1$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru simplificarea integrandului și recunoașterea primitivei, 2 puncte pentru calculul cu formula Leibniz-Newton și valoarea $1$ .

III.2.c) (5 puncte)

Se consideră funcția $g : (0, + \infty) \to R$ , $g (x) = \frac{4 x + 1}{f ( x )}$ . Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g$ , axa $O x$ și dreptele de ecuații $x = 1$ și $x = 4$ .

Rezolvare. Pe $(0, + \infty)$ avem $f (x) = 2 x (x + 2) x + 1$ , deci $g (x) = \frac{4 x + 1}{2 x ( x + 2 ) x + 1} = \frac{2}{x ( x + 2 )}$ . Funcția $g$ este pozitivă pe $[1, 4]$ , așa că aria este $A = \int_{1}^{4} g (x) d x$ . Descompunem în fracții simple: $\frac{2}{x ( x + 2 )} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2}$ (verificare: $\frac{( x + 2 ) - x}{x ( x + 2 )}$ ). Atunci

A = \int_{1}^{4} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2}) d x = (ln x - ln (x + 2))_{1}^{4} = ln \frac{4}{6} - ln \frac{1}{3} = ln \frac{2}{3} + ln 3 = ln 2.

Răspuns: $A = ln 2$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru expresia lui $g$ , formula ariei ca integrală din $g$ și descompunerea în fracții simple, 2 puncte pentru calculul integralei și valoarea $ln 2$ .

Ce punctează baremul la Subiectul al III-lea. Se aplică aceleași reguli generale (orice soluție corectă se punctează, fără fracțiuni de punct, cu punctaje intermediare în limita celor indicate). Toate cele șase subpuncte valorează $5$ puncte, împărțite în $3 + 2$ sau $2 + 3$ . La limita din III.1.b baremul acordă $2$ puncte pentru rapoartele derivatelor (aplicarea regulii lui l'Hospital) și $3$ puncte pentru calculul limitei. La integrale, treapta mare cuprinde simplificarea integrandului și găsirea primitivei, iar treapta mică aplicarea formulei Leibniz-Newton și valoarea. La III.2.c, baremul scrie aria ca integrală din $∣ g (x) ∣$ și simplifică $g$ la $\frac{2}{x ^{2} + 2 x}$ , deci pașii de simplificare a expresiei și de descompunere în fracții simple sunt cei care aduc punctele.

Lecțiile din spate: Reguli de derivare, Regula lui l'Hospital, Integrala definită, Aplicații ale integralelor

Matematică M_tehnologic: sesiunea iunie–iulie 2026

Varianta 3. Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale. Se acordă 90 de puncte pentru subiecte și 10 din oficiu; timpul de lucru efectiv este de trei ore.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5 puncte)

Determinați termenul $a_{3}$ al progresiei aritmetice $(a_{n})_{n \geq 1}$ în care $a_{1} = 10$ și $a_{2} = 18$ .

Rezolvare. Într-o progresie aritmetică diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă, iar această diferență se numește rație. Rația este $r = a_{2} - a_{1} = 18 - 10 = 8$ . Termenul următor se obține adunând rația: $a_{3} = a_{2} + r = 18 + 8 = 26$ .

Răspuns: $a_{3} = 26$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru aflarea rației, 2 puncte pentru termenul $a_{3}$ .

2. (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 2$ . Arătați că $f (4) - f (3) - f (2) = 0$ .

Rezolvare. Înlocuim argumentul în formula funcției: $f (4) = 2 \cdot 4 - 2 = 6$ , $f (3) = 2 \cdot 3 - 2 = 4$ și $f (2) = 2 \cdot 2 - 2 = 2$ . Atunci $f (4) - f (3) - f (2) = 6 - 4 - 2 = 0$ .

Răspuns: egalitatea este adevărată, diferența fiind $0$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru cele trei valori ale funcției, 2 puncte pentru calculul diferenței.

3. (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $7^{3 - x} = 7^{4 x - 2}$ .

Rezolvare. Baza $7$ este aceeași în ambii membri, iar funcția exponențială de bază $7$ este injectivă. Egalitatea puterilor este deci echivalentă cu egalitatea exponenților: $3 - x = 4 x - 2$ . De aici $5 = 5 x$ , adică $x = 1$ . Verificare: pentru $x = 1$ ambii membri sunt egali cu $7^{2}$ .

Răspuns: $x = 1$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru egalarea exponenților, 2 puncte pentru valoarea lui $x$ .

4. (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $20 - 2 n < 15$ .

Rezolvare. Numerele naturale de o cifră sunt $0, 1, \dots, 9$ , deci sunt $10$ cazuri posibile. Inegalitatea $20 - 2 n < 15$ se scrie $- 2 n < - 5$ , adică $n > \frac{5}{2}$ . Dintre cifre, o verifică $3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ , deci sunt $7$ cazuri favorabile. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și cel al cazurilor posibile: $p = \frac{7}{10}$ .

Răspuns: $p = \frac{7}{10}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru numărul cazurilor posibile, 3 puncte pentru numărul cazurilor favorabile și probabilitate.

5. (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 1)$ , $M (2, 4)$ și $B (a, b)$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$ , știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $A B$ .

Rezolvare. Coordonatele mijlocului unui segment sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor. Din $x_{M} = \frac{1 + a}{2} = 2$ obținem $a = 3$ , iar din $y_{M} = \frac{1 + b}{2} = 4$ obținem $b = 7$ .

Răspuns: $a = 3$ și $b = 7$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru scrierea celor două relații ale mijlocului, 2 puncte pentru valorile lui $a$ și $b$ .

6. (5 puncte)

Se consideră triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , cu $A B = 15$ și măsura unghiului $B$ egală cu $3 0^{\circ}$ . Arătați că $B C = 103$ .

Rezolvare. În triunghiul dreptunghic $A B C$ , latura $A B$ este catetă alăturată unghiului $B$ , iar $B C$ este ipotenuza. Deci $cos B = \frac{A B}{B C}$ . Cu $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ obținem $\frac{3}{2} = \frac{15}{B C}$ , de unde $B C = \frac{30}{3} = 103$ .

Răspuns: $B C = 103$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru relația cu cosinusul, 2 puncte pentru calculul lui $B C$ .

Ce punctează baremul la Subiectul I. Pentru orice soluție corectă, chiar diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat. Fiecare cerință valorează 5 puncte și, la toate, baremul separă pasul de pornire (rația, valorile funcției, egalarea exponenților, relația mijlocului, relația cu cosinusul) de calculul final, cu împărțirea 3 + 2; la problema 4 împărțirea este 2 + 3, cu 2 puncte pentru cazurile posibile.

Lecțiile din spate: Progresii aritmetice, Ecuații exponențiale, Probabilitatea clasică, Rapoarte trigonometrice în triunghiul dreptunghic

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Problema 1.

Se consideră matricea $A (x) = (x x - 1 12)$ , unde $x$ este număr real.

II.1.a) (5 puncte)

Arătați că $det (A (4)) = 5$ .

Rezolvare. Pentru $x = 4$ matricea este $A (4) = (4312)$ . Determinantul unei matrici de ordinul doi este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe cealaltă diagonală: $det (A (4)) = 4 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = 8 - 3 = 5$ .

Răspuns: $det (A (4)) = 5$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru scrierea determinantului cu elementele matricei, 2 puncte pentru calcul.

II.1.b) (5 puncte)

Arătați că $2 A (1) + A (4) = 3 A (2)$ .

Rezolvare. Calculăm matricele: $A (1) = (1012)$ , $A (2) = (2112)$ și $A (4) = (4312)$ . Înmulțirea cu un scalar și adunarea se fac element cu element: $2 A (1) + A (4) = (2024) + (4312) = (6336)$ . Pe de altă parte, $3 A (2) = (6336)$ , deci cele două matrice sunt egale.

Răspuns: $2 A (1) + A (4) = 3 A (2) = (6336)$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru suma $2 A (1) + A (4)$ , 2 puncte pentru compararea cu $3 A (2)$ .

II.1.c) (5 puncte)

Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A (- x) \cdot A (x) = A (y)$ .

Rezolvare. Avem $A (- x) = (- x - x - 1 12)$ . Înmulțim linie cu coloană:

A (- x) \cdot A (x) = (- x \cdot x + 1 \cdot (x - 1) (- x - 1) x + 2 (x - 1) - x \cdot 1 + 1 \cdot 2 (- x - 1) \cdot 1 + 2 \cdot 2) = (- x^{2} + x - 1 - x^{2} + x - 2 - x + 2 - x + 3) .

Egalăm cu $A (y) = (y y - 1 12)$ element cu element. Din elementul de pe linia 1, coloana 2: $- x + 2 = 1$ , deci $x = 1$ . Din linia 1, coloana 1: $y = - x^{2} + x - 1 = - 1$ . Celelalte două elemente se verifică: $- x + 3 = 2$ și $y - 1 = - 2 = - x^{2} + x - 2$ .

Răspuns: $x = 1$ și $y = - 1$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru produsul $A (- x) \cdot A (x)$ , 2 puncte pentru egalarea cu $A (y)$ și valorile $x$ și $y$ .

Problema 2.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = (4 - x) (4 - y) + 2$ .

II.2.a) (5 puncte)

Arătați că $0 * 3 = 6$ .

Rezolvare. Înlocuim $x = 0$ și $y = 3$ : $0 * 3 = (4 - 0) (4 - 3) + 2 = 4 \cdot 1 + 2 = 6$ .

Răspuns: $0 * 3 = 6$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru înlocuirea în lege, 2 puncte pentru calcul.

II.2.b) (5 puncte)

Determinați numărul real $x$ pentru care $2 * x = 2$ .

Rezolvare. Pentru orice $x$ real, $2 * x = (4 - 2) (4 - x) + 2 = 2 (4 - x) + 2 = - 2 x + 10$ . Ecuația $- 2 x + 10 = 2$ dă $2 x = 8$ , deci $x = 4$ .

Răspuns: $x = 4$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru expresia $2 * x = - 2 x + 10$ , 2 puncte pentru rezolvarea ecuației.

II.2.c) (5 puncte)

Determinați perechile $(m, n)$ de numere întregi pentru care $(2 m) * (2 n + 1) = 10$ .

Rezolvare. Din definiția legii, $(2 m) * (2 n + 1) = (4 - 2 m) (4 - (2 n + 1)) + 2 = (4 - 2 m) (3 - 2 n) + 2$ . Condiția $= 10$ devine $(4 - 2 m) (3 - 2 n) = 8$ . Numerele $4 - 2 m$ și $3 - 2 n$ sunt întregi, primul par, al doilea impar. Divizorii lui $8$ care sunt impari sunt doar $\pm 1$ , deci $3 - 2 n = 1$ sau $3 - 2 n = - 1$ .

Dacă $3 - 2 n = 1$ , atunci $n = 1$ și $4 - 2 m = 8$ , adică $m = - 2$ .
Dacă $3 - 2 n = - 1$ , atunci $n = 2$ și $4 - 2 m = - 8$ , adică $m = 6$ .

Ambele perechi dau întregi, deci convin.

Răspuns: $(m, n) \in {(- 2, 1), (6, 2)}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru scrierea ecuației $(4 - 2 m) (3 - 2 n) = 8$ , 3 puncte pentru găsirea celor două perechi.

Ce punctează baremul la Subiectul al II-lea. Se aplică aceleași reguli generale: orice soluție corectă este punctată, fără fracțiuni de punct, cu punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale. Cerințele valorează câte 5 puncte. La a), b) și c) din problema 1 și la a) și b) din problema 2 baremul acordă 3 puncte pentru scrierea corectă a expresiei cerute (determinantul, suma, produsul de matrice, înlocuirea în lege, forma lui $2 * x$ ) și 2 puncte pentru finalizare. La II.2.c împărțirea este 2 + 3: 2 puncte pentru ecuația în $m$ și $n$ și 3 puncte pentru perechile obținute. Greșelile de calcul din produsul de matrice sau din înlocuirea în lege afectează pasul de 3 puncte și toate cele care depind de el.

Lecțiile din spate: Matrice, Determinanți, Legi de compoziție

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Problema 1.

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} - 1$ .

III.1.a) (5 puncte)

Arătați că $f^{'} (x) = 12 x (x + 1) (x - 2)$ , $x \in R$ .

Rezolvare. Derivăm termen cu termen, cu regula $(x^{k})^{'} = k x^{k - 1}$ : $f^{'} (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x$ . Dăm factor comun $12 x$ : $f^{'} (x) = 12 x (x^{2} - x - 2)$ . Trinomul $x^{2} - x - 2$ are rădăcinile $- 1$ și $2$ , deci $x^{2} - x - 2 = (x + 1) (x - 2)$ .

Răspuns: $f^{'} (x) = 12 x (x + 1) (x - 2)$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru derivata dezvoltată, 2 puncte pentru descompunerea în factori.

III.1.b) (5 puncte)

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$ , situat pe graficul funcției $f$ .

Rezolvare. Tangenta în punctul de abscisă $x_{0}$ are ecuația $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ . Avem $f (0) = - 1$ și, din forma factorizată, $f^{'} (0) = 12 \cdot 0 \cdot 1 \cdot (- 2) = 0$ . Ecuația devine $y - (- 1) = 0 \cdot (x - 0)$ , adică $y = - 1$ (tangentă orizontală).

Răspuns: $y = - 1$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru valorile $f (0)$ și $f^{'} (0)$ , 3 puncte pentru ecuația tangentei.

III.1.c) (5 puncte)

Demonstrați că $3 x^{4} + 5 \geq 4 x^{3} + 12 x^{2}$ , pentru orice $x \in (- \infty, 0]$ .

Rezolvare. Inegalitatea se scrie $3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} \geq - 5$ , adică $f (x) \geq - 6$ (am adăugat $- 1$ în ambii membri). Studiem monotonia lui $f$ pe $(- \infty, 0]$ cu semnul lui $f^{'} (x) = 12 x (x + 1) (x - 2)$ . Pentru $x \in (- \infty, - 1]$ factorii $x$ și $x - 2$ sunt negativi, iar $x + 1 \leq 0$ , deci $f^{'} (x) \leq 0$ și $f$ descrește. Pentru $x \in [- 1, 0]$ avem $x \leq 0$ , $x + 1 \geq 0$ , $x - 2 < 0$ , deci $f^{'} (x) \geq 0$ și $f$ crește. Atunci $f$ are minimul pe $(- \infty, 0]$ în $x = - 1$ , adică $f (x) \geq f (- 1)$ . Calculăm $f (- 1) = 3 + 4 - 12 - 1 = - 6$ , deci $f (x) \geq - 6$ pentru orice $x \leq 0$ , ceea ce este inegalitatea cerută.

Răspuns: inegalitatea este demonstrată, cu egalitate pentru $x = - 1$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru semnul derivatei și monotonia pe $(- \infty, - 1]$ și $[- 1, 0]$ , 2 puncte pentru concluzia $f (x) \geq f (- 1) = - 6$ .

Problema 2.

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x + 1 + x e^{x}$ .

III.2.a) (5 puncte)

Arătați că $\int_{0}^{4} (f (x) - x e^{x}) d x = 12$ .

Rezolvare. Avem $f (x) - x e^{x} = x + 1$ . Integrala este $\int_{0}^{4} (x + 1) d x = (\frac{x ^{2}}{2} + x)_{0}^{4} = \frac{16}{2} + 4 - 0 = 8 + 4 = 12$ .

Răspuns: integrala este $12$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru primitiva integrandului și scrierea evaluării la capete, 2 puncte pentru calculul final.

III.2.b) (5 puncte)

Arătați că $\int_{0}^{1} (f (x) - x - 1) d x = 1$ .

Rezolvare. Avem $f (x) - x - 1 = x e^{x}$ . Integrăm prin părți, cu $(e^{x})^{'} = e^{x}$ : $\int_{0}^{1} x e^{x} d x = \int_{0}^{1} x (e^{x})^{'} d x = x e^{x}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x = x e^{x}_{0}^{1} - e^{x}_{0}^{1}$ . Evaluând, obținem $e - 0 - (e - 1) = 1$ .

Răspuns: integrala este $1$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru integrarea prin părți, 2 puncte pentru evaluarea la capete.

III.2.c) (5 puncte)

Se consideră funcția $g : [0, 1] \to R$ , $g (x) = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$ . Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g$ în jurul axei $O x$ este egal cu $\frac{π ( e + 1 )}{e + 2}$ .

Rezolvare. Derivata este $f^{'} (x) = 1 + (x + 1) e^{x}$ . Pe $[0, 1]$ avem $f^{'} (x) > 0$ și $f (x) = x + 1 + x e^{x} > 0$ , deci $g$ este bine definită. Volumul corpului de rotație este $V = π \int_{0}^{1} (g (x))^{2} d x = π \int_{0}^{1} \frac{f ^{'} ( x )}{( f ( x ) ) ^{2}} d x$ . Primitiva lui $\frac{f ^{'}}{f ^{2}}$ este $- \frac{1}{f}$ , deoarece $(- \frac{1}{f})^{'} = \frac{f ^{'}}{f ^{2}}$ . Cu $f (0) = 1$ și $f (1) = 2 + e$ :

V = π (- \frac{1}{f ( x )})_{0}^{1} = π (- \frac{1}{e + 2} + 1) = \frac{π ( e + 1 )}{e + 2} .

Răspuns: $V = \frac{π ( e + 1 )}{e + 2}$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru formula volumului și primitiva $- \frac{1}{f}$ , 2 puncte pentru calculul final.

Ce punctează baremul la Subiectul al III-lea. Valabile rămân regulile generale ale baremului: soluțiile corecte alternative sunt punctate, nu se dau fracțiuni de punct, iar rezolvările parțiale primesc punctaje intermediare în limitele indicate. La toate cerințele de 5 puncte împărțirea este 3 + 2, cu excepția lui III.1.b, unde este 2 + 3, cu 2 puncte pentru valorile $f (0)$ și $f^{'} (0)$ . La III.1.c baremul acordă 3 puncte pentru semnul derivatei și monotonia pe cele două intervale și 2 puncte pentru comparația $f (x) \geq f (- 1) = - 6$ . La integrale, primele 3 puncte sunt pentru primitivă și evaluarea scrisă la capete, ultimele 2 pentru valoarea finală.

Lecțiile din spate: Derivata într-un punct, Monotonia prin derivată, Metode de integrare, Aplicații ale integralelor

Matematică M_pedagogic: sesiunea iunie–iulie 2026

Varianta 3. Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Se acordă 90 de puncte pentru subiecte și 10 din oficiu; timpul de lucru efectiv este de trei ore.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5 puncte)

Arătați că $\frac{14}{5} \cdot (1 - \frac{1}{6}) + \frac{2}{3} = 3$ .

Rezolvare. Respectăm ordinea operațiilor: întâi paranteza, apoi înmulțirea, apoi adunarea. Avem $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ . Atunci $\frac{14}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$ , după simplificarea cu $5$ și cu $2$ . În final $\frac{7}{3} + \frac{2}{3} = \frac{9}{3} = 3$ .

Răspuns: expresia este egală cu $3$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru calculul până la $\frac{7}{3} + \frac{2}{3}$ , 2 puncte pentru rezultatul $3$ .

2. (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x - 1$ și numărul $a = f (1)$ . Calculați $f (a)$ .

Rezolvare. Mai întâi $a = f (1) = 4 \cdot 1 - 1 = 3$ . Apoi $f (a) = f (3) = 4 \cdot 3 - 1 = 11$ .

Răspuns: $f (a) = 11$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru $a = 3$ , 3 puncte pentru $f (a)$ .

3. (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $1 0^{3} \cdot 1 0^{x} = 100$ .

Rezolvare. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază se adună exponenții: $1 0^{3} \cdot 1 0^{x} = 1 0^{3 + x}$ . Cum $100 = 1 0^{2}$ , ecuația devine $1 0^{3 + x} = 1 0^{2}$ . Funcția exponențială este injectivă, deci exponenții sunt egali: $3 + x = 2$ , adică $x = - 1$ .

Răspuns: $x = - 1$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru reducerea la $3 + x = 2$ , 2 puncte pentru valoarea lui $x$ .

4. (5 puncte)

După două ieftiniri succesive, cu câte $50%$ , un obiect costă $200$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de cele două ieftiniri.

Rezolvare. Notăm cu $x$ prețul inițial. O ieftinire cu $50%$ scade prețul la jumătate: după prima ieftinire prețul este $x - \frac{50}{100} \cdot x = \frac{x}{2}$ . A doua ieftinire se aplică acestui preț: $\frac{x}{2} - \frac{50}{100} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x}{4}$ . Din $\frac{x}{4} = 200$ rezultă $x = 800$ . Verificare: $800 \to 400 \to 200$ .

Răspuns: $800$ de lei.

Punctaj în barem: 2 puncte pentru prețul după prima ieftinire, 3 puncte pentru prețul după a doua ieftinire și valoarea lui $x$ .

5. (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (4, 0)$ , $B (6, 2)$ și $C$ , mijlocul segmentului $O B$ . Arătați că $A C = 2$ .

Rezolvare. Originea este $O (0, 0)$ . Mijlocul lui $O B$ are coordonatele mediilor aritmetice: $C (\frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 2}{2}) = C (3, 1)$ . Distanța dintre două puncte este $A C = (x_{C} - x_{A})^{2} + (y_{C} - y_{A})^{2} = (3 - 4)^{2} + (1 - 0)^{2} = 1 + 1 = 2$ .

Răspuns: $A C = 2$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru coordonatele lui $C$ , 3 puncte pentru calculul lui $A C$ .

6. (5 puncte)

Arătați că $2 sin 4 5^{\circ} \cdot sin 3 0^{\circ} - 2 cos 6 0^{\circ} = 0$ .

Rezolvare. Folosim valorile remarcabile $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ și $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ . Atunci $2 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{2}{2} = 0$ .

Răspuns: expresia este egală cu $0$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru valorile funcțiilor trigonometrice, 2 puncte pentru calculul expresiei.

Ce punctează baremul la Subiectul I. Pentru orice soluție corectă, chiar diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat. Fiecare cerință are 5 puncte, împărțite între primul pas și rezultat: 3 + 2 la problemele 1, 3 și 6, 2 + 3 la problemele 2, 4 și 5. Dacă primul pas este corect (de exemplu $a = 3$ , prețul după prima ieftinire sau coordonatele lui $C$ ), el este punctat chiar dacă calculul final conține o greșeală.

Lecțiile din spate: Procente, Ecuații exponențiale, Distanța dintre două puncte, Valori trigonometrice remarcabile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea de compoziție.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = x y - x - 2 y + 4$ .

II.1. (5 puncte)

Arătați că $3 * 3 = 4$ .

Rezolvare. Înlocuim $x = 3$ și $y = 3$ : $3 * 3 = 3 \cdot 3 - 3 - 2 \cdot 3 + 4 = 9 - 3 - 6 + 4 = 4$ .

Răspuns: $3 * 3 = 4$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru înlocuirea în lege, 2 puncte pentru calcul.

II.2. (5 puncte)

Determinați numărul real $x$ pentru care $x * (- 2) = x$ .

Rezolvare. Pentru orice $x$ real, $x * (- 2) = x \cdot (- 2) - x - 2 \cdot (- 2) + 4 = - 3 x + 8$ . Ecuația $- 3 x + 8 = x$ dă $4 x = 8$ , deci $x = 2$ .

Răspuns: $x = 2$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru expresia $x * (- 2) = - 3 x + 8$ , 2 puncte pentru valoarea lui $x$ .

II.3. (5 puncte)

Determinați numerele reale $x$ pentru care $(- x) * x = 2 x$ .

Rezolvare. Pentru orice $x$ real, $(- x) * x = (- x) \cdot x - (- x) - 2 x + 4 = - x^{2} - x + 4$ . Ecuația $- x^{2} - x + 4 = 2 x$ se aduce la forma $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ . Discriminantul este $9 + 16 = 25$ , deci $x = \frac{- 3 \pm 5}{2}$ , adică $x = - 4$ sau $x = 1$ .

Răspuns: $x \in {- 4, 1}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru expresia $(- x) * x$ , 3 puncte pentru ecuația de gradul al doilea și rădăcinile ei.

II.4. (5 puncte)

Arătați că $x * y = (x - 2) (y - 1) + 2$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

Rezolvare. Dezvoltăm membrul drept: $(x - 2) (y - 1) + 2 = x y - x - 2 y + 2 + 2 = x y - x - 2 y + 4$ , care este exact $x * y$ . Egalitatea este deci o identitate. Același rezultat se obține grupând termenii din definiție: $x y - x - 2 y + 4 = x (y - 1) - 2 (y - 1) + 2$ .

Răspuns: identitatea $x * y = (x - 2) (y - 1) + 2$ este adevărată pentru orice $x, y \in R$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru gruparea termenilor, 3 puncte pentru forma factorizată finală.

II.5. (5 puncte)

Determinați numerele reale nenule $a$ pentru care $4 * (4 * a) = \frac{1}{a}$ .

Rezolvare. Pentru orice $a$ , $4 * a = 4 a - 4 - 2 a + 4 = 2 a$ . Atunci $4 * (4 * a) = 4 * (2 a) = 8 a - 4 - 4 a + 4 = 4 a$ . Ecuația devine $4 a = \frac{1}{a}$ , adică $4 a^{2} = 1$ (am înmulțit cu $a \neq = 0$ ), deci $a = - \frac{1}{2}$ sau $a = \frac{1}{2}$ . Ambele valori sunt nenule și convin.

Răspuns: $a \in {- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru $4 * (4 * a) = 4 a$ , 3 puncte pentru rezolvarea ecuației și valorile lui $a$ .

II.6. (5 puncte)

Determinați perechile $(n, p)$ de numere naturale pentru care $n * p = p$ .

Rezolvare. Folosind forma din II.4, $n * p = (n - 2) (p - 1) + 2$ , ecuația $n * p = p$ devine $(n - 2) (p - 1) + 2 = p$ . Scădem $p - 1$ din ambii membri și rearanjăm: $(n - 2) (p - 1) = (p - 1) - 1$ , deci $(n - 3) (p - 1) = - 1$ . Numerele $n - 3$ și $p - 1$ sunt întregi cu produsul $- 1$ , așadar sunt $1$ și $- 1$ , într-o ordine sau alta.

Dacă $p - 1 = 1$ și $n - 3 = - 1$ , atunci $p = 2$ și $n = 2$ .
Dacă $p - 1 = - 1$ și $n - 3 = 1$ , atunci $p = 0$ și $n = 4$ .

Ambele perechi sunt formate din numere naturale.

Răspuns: $(n, p) \in {(2, 2), (4, 0)}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru ecuația $(n - 2) (p - 1) + 2 = p$ , 3 puncte pentru ecuația $(n - 3) (p - 1) = - 1$ și cele două perechi.

Ce punctează baremul la Subiectul al II-lea. Reguli generale: orice soluție corectă este punctată, fără fracțiuni de punct, cu punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale. Cerințele sunt de câte 5 puncte. La II.1 și II.2 împărțirea este 3 + 2, cu primul pas dat de expresia obținută prin înlocuire. La II.3–II.6 este 2 + 3: baremul acordă 2 puncte pentru obținerea expresiei sau a ecuației de pornire și 3 puncte pentru rezolvarea ei. Punctele pasului de pornire se acordă pentru expresia sau ecuația corect scrisă, iar rezolvarea care urmează se punctează separat.

Lecțiile din spate: Legi de compoziție, Ecuații de gradul al doilea

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Matricele.

Se consideră matricele $I_{2} = (1001)$ și $A (x) = (4 - x - x x 1 - x)$ , unde $x$ este număr real.

III.1. (5 puncte)

Arătați că $det (A (2)) = 2$ .

Rezolvare. Pentru $x = 2$ : $A (2) = (2 - 2 2 - 1)$ . Determinantul este $2 \cdot (- 1) - 2 \cdot (- 2) = - 2 + 4 = 2$ .

Răspuns: $det (A (2)) = 2$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru matricea $A (2)$ și scrierea determinantului, 2 puncte pentru calcul.

III.2. (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care $3 A (2) - A (4) = 2 A (a)$ .

Rezolvare. Cu $A (4) = (0 - 4 4 - 3)$ avem

3 A (2) - A (4) = (6 - 6 6 - 3) - (0 - 4 4 - 3) = (6 - 2 20) = 2 (3 - 1 10) = 2 A (1) .

Ecuația $2 A (a) = 2 A (1)$ înseamnă $A (a) = A (1)$ , iar elementul de pe linia 1, coloana 2 al lui $A (x)$ este $x$ , deci $a = 1$ .

Răspuns: $a = 1$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru calculul lui $3 A (2) - A (4)$ și identificarea cu $2 A (1)$ , 2 puncte pentru valoarea lui $a$ .

III.3. (5 puncte)

Determinați numerele reale $x$ pentru care $det (A (x)) = x$ .

Rezolvare. Pentru orice $x$ real, $det (A (x)) = (4 - x) (1 - x) - x \cdot (- x) = 4 - 5 x + x^{2} + x^{2} = 2 x^{2} - 5 x + 4$ . Ecuația $2 x^{2} - 5 x + 4 = x$ se reduce la $2 x^{2} - 6 x + 4 = 0$ , adică $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ , cu rădăcinile $x = 1$ și $x = 2$ .

Răspuns: $x \in {1, 2}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru $det (A (x)) = 2 x^{2} - 5 x + 4$ , 3 puncte pentru ecuația de gradul al doilea și soluțiile ei.

III.4. (5 puncte)

Arătați că matricea $B = \frac{1}{2} (I_{2} - A (2))$ este inversa matricei $A (2)$ .

Rezolvare. Avem $I_{2} - A (2) = (- 1 2 - 2 2)$ , deci $B = (- \frac{1}{2} 1 - 1 1)$ . Matricea $B$ este inversa lui $A (2)$ dacă $A (2) \cdot B = B \cdot A (2) = I_{2}$ . Calculăm:

A (2) \cdot B = (2 - 2 2 - 1) (- \frac{1}{2} 1 - 1 1) = (- 1 + 2 1 - 1 - 2 + 2 2 - 1) = I_{2},

și, analog, $B \cdot A (2) = I_{2}$ .

Răspuns: $A (2) \cdot B = B \cdot A (2) = I_{2}$ , deci $B = A (2)^{- 1}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru matricea $B$ , 3 puncte pentru verificarea produsului cu $A (2)$ și concluzie.

III.5. (5 puncte)

Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A (x) \cdot A (x) = y I_{2}$ .

Rezolvare. Calculăm produsul linie cu coloană:

A (x) \cdot A (x) = ((4 - x)^{2} - x^{2} - x (4 - x) - x (1 - x) (4 - x) x + x (1 - x) - x \cdot x + (1 - x)^{2}) = (16 - 8 x - 5 x + 2 x^{2} 5 x - 2 x^{2} 1 - 2 x) .

Matricea $y I_{2} = (y 0 0 y)$ are zero în afara diagonalei, deci $5 x - 2 x^{2} = 0$ , adică $x = 0$ sau $x = \frac{5}{2}$ . În plus, elementele de pe diagonală trebuie să fie egale: $16 - 8 x = 1 - 2 x$ , adică $x = \frac{5}{2}$ , ceea ce exclude $x = 0$ . Atunci $y = 16 - 8 \cdot \frac{5}{2} = - 4$ (și $1 - 2 \cdot \frac{5}{2} = - 4$ ).

Răspuns: $x = \frac{5}{2}$ și $y = - 4$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru produsul $A (x) \cdot A (x)$ , 2 puncte pentru egalarea cu $y I_{2}$ și valorile $x$ și $y$ .

III.6. (5 puncte)

Determinați matricea $X \in M_{2} (R)$ pentru care $X - A (2) \cdot X = A (3)$ .

Rezolvare. Dăm factor comun matricea $X$ la dreapta, folosind $X = I_{2} \cdot X$ : $(I_{2} - A (2)) \cdot X = A (3)$ . Din III.4 avem $(I_{2} - A (2)) = 2 B$ , iar $B = A (2)^{- 1}$ , deci $I_{2} - A (2) = 2 A (2)^{- 1}$ este inversabilă, cu inversa $\frac{1}{2} A (2)$ . Înmulțim la stânga cu inversa: $X = \frac{1}{2} A (2) \cdot A (3)$ . Cu $A (3) = (1 - 3 3 - 2)$ obținem $A (2) \cdot A (3) = (2 - 6 - 2 + 3 6 - 4 - 6 + 2) = (- 4 1 2 - 4)$ , deci

X = (- 2 \frac{1}{2} 1 - 2) .

Răspuns: $X = (- 2 \frac{1}{2} 1 - 2)$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru scrierea $X = \frac{1}{2} A (2) \cdot A (3)$ , 2 puncte pentru calculul matricei $X$ .

Ce punctează baremul la Subiectul al III-lea. Se aplică aceleași reguli generale (soluții alternative corecte punctate, fără fracțiuni de punct, punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale). Toate cerințele au 5 puncte: la III.1, III.2, III.5 și III.6 împărțirea este 3 + 2, iar la III.3 și III.4 este 2 + 3. La III.5 cele 3 puncte sunt pentru produsul $A (x) \cdot A (x)$ și 2 puncte pentru egalarea cu $y I_{2}$ ; la III.6 cele 3 puncte sunt pentru exprimarea lui $X$ prin $A (2)$ și $A (3)$ , iar ultimele 2 pentru matricea numerică.

Lecțiile din spate: Matrice, Determinanți, Matrice inversabile

Sesiunea din august 2026

În a doua sesiune, proba E.c) s-a dat pe 11 august 2026, cu Varianta 4, la aceleași patru profiluri de matematică. Rezolvările urmează mai jos.

Matematică M_mate-info: sesiunea august 2026

Varianta 4. Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică; filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică. Se acordă 90 de puncte pentru subiecte și 10 din oficiu; timpul de lucru efectiv este de trei ore.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5 puncte)

Determinați termenul $b_{3}$ al progresiei geometrice $(b_{n})_{n \geq 1}$ , în care $b_{1} = 2$ și $b_{2} = 10$ .

Rezolvare. Într-o progresie geometrică raportul a doi termeni consecutivi este constant și se numește rație: $q = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{10}{2} = 5$ . Fiecare termen se obține din precedentul prin înmulțire cu $q$ , deci $b_{3} = b_{2} \cdot q = b_{1} q^{2} = 2 \cdot 5^{2} = 50$ .

Răspuns: $b_{3} = 50$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru rația $q = 5$ și 2 puncte pentru calculul lui $b_{3} = b_{1} q^{2} = 50$ .

2. (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f : R \to R$ , $f (x) = x - 5$ și $g : R \to R$ , $g (x) = a x - 1$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care $(f \circ g) (2) = 2$ .

Rezolvare. Prin definiție, $(f \circ g) (2) = f (g (2))$ . Calculăm mai întâi $g (2) = 2 a - 1$ , apoi aplicăm $f$ acestui rezultat: $f (g (2)) = (2 a - 1) - 5 = 2 a - 6$ . Condiția $(f \circ g) (2) = 2$ devine ecuația $2 a - 6 = 2$ , de unde $2 a = 8$ și $a = 4$ .

Răspuns: $a = 4$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru exprimarea $(f \circ g) (2) = 2 a - 6$ și 2 puncte pentru rezolvarea ecuației $2 a - 6 = 2$ .

3. (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{8} x + lo g_{8} (8 - x) = lo g_{8} (6 + x)$ .

Rezolvare. Logaritmii există dacă $x > 0$ , $8 - x > 0$ și $6 + x > 0$ , adică pentru $x \in (0, 8)$ . Pe acest interval folosim formula $lo g_{8} u + lo g_{8} v = lo g_{8} (uv)$ , deci ecuația este $lo g_{8} (x (8 - x)) = lo g_{8} (6 + x)$ . Funcția $lo g_{8}$ este injectivă, așa că argumentele sunt egale: $8 x - x^{2} = 6 + x$ , adică $x^{2} - 7 x + 6 = 0$ . Rădăcinile sunt $x = 1$ și $x = 6$ (suma lor este $7$ , produsul $6$ ). Ambele aparțin intervalului $(0, 8)$ , deci ambele sunt soluții ale ecuației inițiale.

Răspuns: $x \in {1, 6}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru reducerea ecuației la $x^{2} - 7 x + 6 = 0$ și 3 puncte pentru găsirea soluțiilor $x = 1$ și $x = 6$ și verificarea că ele convin.

4. (5 puncte)

Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifre din mulțimea $A = {1, 2, 4, 6, 8}$ .

Rezolvare. Baremul numără și numerele cu cifre care se repetă, de exemplu $22$ sau $44$ . Un număr este par dacă ultima sa cifră este pară; cifra unităților poate fi aleasă din ${2, 4, 6, 8}$ , deci în $4$ moduri. Pentru fiecare astfel de alegere, cifra zecilor poate fi oricare dintre cele $5$ cifre ale mulțimii $A$ , nenulă în toate cazurile. Conform regulii produsului, se pot forma $4 \cdot 5 = 20$ de numere.

Răspuns: $20$ de numere.

Punctaj în barem: 2 puncte pentru numărul de alegeri ale cifrei unităților și 3 puncte pentru numărul de alegeri ale cifrei zecilor și rezultatul $20$ .

5. (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 3)$ , $B (2, 2)$ și $C (4, 6)$ . Determinați ecuația dreptei $d$ ce trece prin punctul $B$ și este paralelă cu dreapta $A C$ .

Rezolvare. Două drepte paralele au aceeași pantă. Panta dreptei $A C$ este $m_{A C} = \frac{y _{C} - y _{A}}{x _{C} - x _{A}} = \frac{6 - 3}{4 - 1} = 1$ , deci $m_{d} = 1$ . Dreapta de pantă $1$ care trece prin $B (2, 2)$ are ecuația $y - y_{B} = m_{d} (x - x_{B})$ , adică $y - 2 = x - 2$ .

Răspuns: $d : y = x$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru panta $m_{A C} = m_{d} = 1$ și 2 puncte pentru ecuația dreptei $d$ .

6. (5 puncte)

Se consideră expresia $E (x) = 3 tg \frac{x}{3} + sin x - 2 sin \frac{2 x}{3}$ , unde $x \in (0, \frac{3 π}{2})$ . Arătați că $E (\frac{π}{2}) = 1$ .

Rezolvare. Pentru $x = \frac{π}{2}$ avem $\frac{x}{3} = \frac{π}{6}$ și $\frac{2 x}{3} = \frac{π}{3}$ , iar valoarea $\frac{π}{2}$ aparține intervalului $(0, \frac{3 π}{2})$ . Din valorile trigonometrice remarcabile, $tg \frac{π}{6} = \frac{1}{3}$ , $sin \frac{π}{2} = 1$ și $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ . Rezultă $E (\frac{π}{2}) = 3 \cdot \frac{1}{3} + 1 - 2 \cdot \frac{3}{2} = 3 + 1 - 3 = 1.$

Răspuns: $E (\frac{π}{2}) = 1$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru valorile trigonometrice ale celor trei termeni și 2 puncte pentru calculul final.

Ce punctează baremul la Subiectul I. Baremul acordă punctajul corespunzător pentru orice soluție corectă, chiar dacă diferă de cea din barem. Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat. Fiecare cerință valorează 5 puncte, împărțite în două trepte (3 + 2 sau 2 + 3). La ecuația logaritmică, treapta de 3 puncte include soluțiile care convin, deci verificarea apartenenței soluțiilor la domeniul logaritmilor face parte din rezolvare. La numărare, prima treaptă de 2 puncte privește cifra unităților, iar treapta de 3 puncte cuprinde alegerea cifrei zecilor și produsul final.

Lecțiile din spate: Progresii geometrice, Ecuații logaritmice, Principiile adunării și înmulțirii, Valori trigonometrice remarcabile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

II.1. (15 puncte, câte 5 pentru fiecare subpunct)

Se consideră matricea $A (a) = 121 a - 1 - a - 2 a - a 0$ și sistemul de ecuații liniare $⎩ ⎨ ⎧ x + a y - 2 a z = - 1 2 x - y - a z = a x - a y = a$ , unde $a$ este număr real.

II.1.a) (5 puncte)

Arătați că $det (A (2)) = 4$ .

Rezolvare. Pentru $a = 2$ matricea este $A (2) = 121 2 - 1 - 2 - 4 - 2 0$ . Aplicăm regula lui Sarrus. Produsele pe diagonala principală și pe paralelele ei dau $1 \cdot (- 1) \cdot 0 + 2 \cdot (- 2) \cdot 1 + (- 4) \cdot 2 \cdot (- 2) = 0 - 4 + 16 = 12$ . Produsele pe diagonala secundară și pe paralelele ei dau $(- 4) \cdot (- 1) \cdot 1 + 1 \cdot (- 2) \cdot (- 2) + 2 \cdot 2 \cdot 0 = 4 + 4 + 0 = 8$ . Determinantul este diferența: $12 - 8 = 4$ .

Răspuns: $det (A (2)) = 4$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru scrierea matricei $A (2)$ și a determinantului ei, 3 puncte pentru calculul lui până la valoarea $4$ .

II.1.b) (5 puncte)

Pentru $a = 1$ , arătați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții.

Rezolvare. Pentru $a = 1$ sistemul este $x + y - 2 z = - 1$ , $2 x - y - z = 1$ , $x - y = 1$ . Alegem metoda reducerii. Adunând primele două ecuații obținem $3 x - 3 z = 0$ , deci $x = z$ . Din a treia ecuație, $y = x - 1$ . Notăm $x = t$ , cu $t$ număr real arbitrar; atunci $z = t$ și $y = t - 1$ . Înlocuind $(t, t - 1, t)$ în ecuații se obține $t + (t - 1) - 2 t = - 1$ , $2 t - (t - 1) - t = 1$ și $t - (t - 1) = 1$ , adică toate trei sunt adevărate pentru orice $t$ . Sistemul are deci soluțiile $(t, t - 1, t)$ , $t \in R$ , în număr infinit. Aceeași concluzie rezultă din rang: determinantul sistemului este $2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 = 0$ , iar rangul matricei coeficienților și rangul matricei extinse sunt ambele egale cu $2$ , mai mici decât numărul necunoscutelor.

Răspuns: sistemul are soluțiile $(t, t - 1, t)$ , $t \in R$ , deci o infinitate de soluții.

Punctaj în barem: 2 puncte pentru faptul că determinantul sistemului este nul și 3 puncte pentru justificarea compatibilității. Baremul o face prin rang: minorul principal $12 1 - 1$ este nenul, iar minorul caracteristic este nul, de unde rezultă infinitatea de soluții.

II.1.c) (5 puncte)

Arătați că, pentru orice $a \in R ∖ {0, 1}$ , sistemul de ecuații are soluție unică $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ și $4 x_{0} z_{0} = 1$ .

Rezolvare. Matricea sistemului este $A (a)$ . Prin dezvoltare, $det (A (a)) = 2 a^{2} - 2 a = 2 a (a - 1)$ . Pentru $a \in R ∖ {0, 1}$ ambii factori sunt nenuli, deci determinantul este nenul și, conform regulii lui Cramer, sistemul are soluție unică. Determinantul $Δ_{x}$ , în care prima coloană este înlocuită cu termenii liberi $(- 1, a, a)$ , are valoarea $a^{2} (a - 1)$ , iar $Δ_{z}$ , cu a treia coloană înlocuită, are valoarea $a - 1$ . De exemplu, $Δ_{z} = 121 a - 1 - a - 1 a a = (a^{2} - a) - a \cdot a + (2 a - 1) = a - 1.$ Obținem $x_{0} = \frac{Δ _{x}}{Δ} = \frac{a ^{2} ( a - 1 )}{2 a ( a - 1 )} = \frac{a}{2}$ și $z_{0} = \frac{Δ _{z}}{Δ} = \frac{a - 1}{2 a ( a - 1 )} = \frac{1}{2 a}$ . Prin urmare $4 x_{0} z_{0} = 4 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{2 a} = 1$ , pentru orice $a \in R ∖ {0, 1}$ .

Răspuns: soluția unică are $x_{0} = \frac{a}{2}$ , $z_{0} = \frac{1}{2 a}$ (și $y_{0} = - \frac{1}{2}$ ), deci $4 x_{0} z_{0} = 1$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru $det (A (a)) = 2 a^{2} - 2 a \neq = 0$ și deci soluția unică, 3 puncte pentru $x_{0}$ , $z_{0}$ și concluzia $4 x_{0} z_{0} = 1$ .

II.2. (15 puncte, câte 5 pentru fiecare subpunct)

Se consideră polinomul $f = X^{3} + X^{2} + a X + 8$ , unde $a$ este număr real.

II.2.a) (5 puncte)

Arătați că $f (0) = 8$ , pentru orice număr real $a$ .

Rezolvare. Valoarea polinomului în $0$ este termenul liber: $f (0) = 0^{3} + 0^{2} + a \cdot 0 + 8 = 8$ . Termenul $a \cdot 0$ este nul oricare ar fi $a$ .

Răspuns: $f (0) = 8$ pentru orice $a \in R$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru înlocuirea lui $X$ cu $0$ în $f$ și 2 puncte pentru efectuarea calculului și concluzia independentă de $a$ .

II.2.b) (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g = X + 2$ .

Rezolvare. Un polinom este divizibil cu $X + 2 = X - (- 2)$ dacă și numai dacă $- 2$ este rădăcină a lui, conform teoremei restului. Calculăm $f (- 2) = (- 2)^{3} + (- 2)^{2} + a \cdot (- 2) + 8 = - 8 + 4 - 2 a + 8 = 4 - 2 a$ . Condiția $f (- 2) = 0$ dă $4 - 2 a = 0$ , deci $a = 2$ .

Răspuns: $a = 2$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru $f (- 2) = 4 - 2 a$ și 2 puncte pentru ecuația $4 - 2 a = 0$ și soluția ei.

II.2.c) (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care raportul a două dintre rădăcinile polinomului $f$ este egal cu $2$ .

Rezolvare. Notăm rădăcinile lui $f$ cu $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ și numerotăm astfel încât $\frac{x _{2}}{x _{1}} = 2$ , adică $x_{2} = 2 x_{1}$ . Din relațiile lui Viète, $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - 1$ și $x_{1} x_{2} x_{3} = - 8$ . Din prima, $3 x_{1} + x_{3} = - 1$ , deci $x_{3} = - 1 - 3 x_{1}$ . Din a doua, $2 x_{1}^{2} x_{3} = - 8$ , adică $x_{1}^{2} x_{3} = - 4$ . Înlocuind $x_{3}$ obținem $x_{1}^{2} (- 1 - 3 x_{1}) = - 4$ , adică $3 x_{1}^{3} + x_{1}^{2} - 4 = 0$ . Ecuația se descompune: $(x_{1} - 1) (3 x_{1}^{2} + 4 x_{1} + 4) = 0$ . Factorul de gradul al doilea are discriminantul $4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4 = - 32 < 0$ , deci nu are rădăcini reale. Rădăcina $x_{1}$ este reală. Coeficienții lui $f$ sunt reali, iar rădăcinile nereale ale unui polinom cu coeficienți reali vin în perechi conjugate; fiind trei rădăcini în total, cel mult două sunt nereale. Dacă $x_{1}$ ar fi nereală, ar fi nereală și $x_{2} = 2 x_{1}$ , iar acestea ar fi singurele rădăcini nereale, deci ar fi conjugate una alteia: $x_{1} = 2 x_{1}$ . Trecând la module ar rezulta $∣ x_{1} ∣ = 2∣ x_{1} ∣$ , adică $x_{1} = 0$ , număr real, ceea ce contrazice ipoteza. Deci $x_{1}$ este real, adică $x_{1} = 1$ , iar din $f (1) = 0$ avem $1 + 1 + a + 8 = 0$ , adică $a = - 10$ . Verificare: pentru $a = - 10$ , $f = X^{3} + X^{2} - 10 X + 8 = (X - 1) (X - 2) (X + 4)$ , cu rădăcinile $1$ , $2$ , $- 4$ , iar $\frac{2}{1} = 2$ .

Răspuns: $a = - 10$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru relațiile lui Viète și ecuația $3 x_{1}^{3} + x_{1}^{2} - 4 = 0$ , 2 puncte pentru faptul că $x_{1}$ este real, $x_{1} = 1$ , $f (1) = 0$ și $a = - 10$ , care convine.

Ce punctează baremul la Subiectul al II-lea. Se aplică aceleași reguli generale: orice soluție corectă primește punctajul corespunzător, nu se acordă fracțiuni de punct, iar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare în limitele indicate. Fiecare subpunct are 5 puncte, împărțite în două trepte (2 + 3 sau 3 + 2). La sistem, baremul separă 2 puncte pentru determinantul nul de 3 puncte pentru argumentul de compatibilitate, deci simpla anulare a determinantului nu epuizează cerința de la punctul b). La punctul c), 2 puncte sunt pentru $det (A (a)) \neq = 0$ pe $R ∖ {0, 1}$ și 3 puncte pentru valorile $x_{0}$ și $z_{0}$ cu concluzia $4 x_{0} z_{0} = 1$ . La polinom, treapta finală de 2 puncte de la punctul c) cuprinde în barem faptul că $x_{1}$ este real, valoarea $x_{1} = 1$ , $a = - 10$ și mențiunea că această valoare convine.

Lecțiile din spate: Determinanți, Sisteme liniare și regula lui Cramer, Relațiile lui Viète, Divizibilitatea polinoamelor

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

III.1. (15 puncte, câte 5 pentru fiecare subpunct)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 3 - (2 x - 3) e^{2 x}$ .

III.1.a) (5 puncte)

Arătați că $f^{'} (x) = 4 (x - 1) (1 - e^{2 x})$ , $x \in R$ .

Rezolvare. Derivăm termen cu termen, folosind regula produsului pentru $(2 x - 3) e^{2 x}$ și derivata $(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}$ : $f^{'} (x) = 4 x - 4 - (2 e^{2 x} + (2 x - 3) \cdot 2 e^{2 x}) = 4 x - 4 - e^{2 x} (2 + 4 x - 6) = 4 (x - 1) - 4 (x - 1) e^{2 x} .$ Dând factor comun pe $4 (x - 1)$ rezultă $f^{'} (x) = 4 (x - 1) (1 - e^{2 x})$ .

Răspuns: $f^{'} (x) = 4 (x - 1) (1 - e^{2 x})$ , $x \in R$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru calculul derivatei $f^{'} (x) = 4 x - 4 - 2 e^{2 x} - (2 x - 3) \cdot 2 e^{2 x}$ și 2 puncte pentru aducerea ei la forma cerută.

III.1.b) (5 puncte)

Arătați că $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{2}} = 4$ .

Rezolvare. Pentru $x = 0$ avem $f (0) = - 3 - (- 3) \cdot 1 = 0$ , iar numitorul $x^{2}$ tinde și el la $0$ : limita are forma $\frac{0}{0}$ . Funcțiile sunt derivabile, iar $(x^{2})^{'} = 2 x \neq = 0$ pentru $x \neq = 0$ , așa că aplicăm regula lui l'Hospital: $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{2}} = x \to 0 lim \frac{f ^{'} ( x )}{2 x} = x \to 0 lim [4 (x - 1) \cdot \frac{1 - e ^{2 x}}{2 x}] .$ Limita remarcabilă $u \to 0 lim \frac{e ^{u} - 1}{u} = 1$ , cu $u = 2 x$ , dă $x \to 0 lim \frac{1 - e ^{2 x}}{2 x} = - 1$ . Deci limita este $4 \cdot (- 1) \cdot (- 1) = 4$ .

Răspuns: $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{2}} = 4$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru aplicarea regulii lui l'Hospital și scrierea limitei raportului derivatelor, 2 puncte pentru calculul limitei și rezultatul $4$ .

III.1.c) (5 puncte)

Demonstrați că ecuația $f (x) + n = 0$ are soluție unică, pentru orice număr natural nenul $n$ .

Rezolvare. Studiem semnul derivatei $f^{'} (x) = 4 (x - 1) (1 - e^{2 x})$ , care se anulează pentru $x = 0$ și $x = 1$ .

Pentru $x < 0$ : $x - 1 < 0$ și $e^{2 x} < 1$ , deci $1 - e^{2 x} > 0$ și $f^{'} (x) < 0$ . Funcția $f$ este strict descrescătoare pe $(- \infty, 0]$ .
Pentru $0 < x < 1$ : $x - 1 < 0$ și $1 - e^{2 x} < 0$ , deci $f^{'} (x) > 0$ . Funcția $f$ este strict crescătoare pe $[0, 1]$ .
Pentru $x > 1$ : $x - 1 > 0$ și $1 - e^{2 x} < 0$ , deci $f^{'} (x) < 0$ . Funcția $f$ este strict descrescătoare pe $[1, \infty)$ .

Valorile importante sunt $f (0) = 0$ și $f (1) = 2 - 4 - 3 + e^{2} = e^{2} - 5 > 0$ . Pe $(- \infty, 0]$ , $f$ descrește până la $f (0) = 0$ , deci $f (x) \geq 0$ ; pe $[0, 1]$ , $f$ crește de la $0$ , deci tot $f (x) \geq 0$ . Pentru $n \geq 1$ avem atunci $f (x) + n \geq n > 0$ pe $(- \infty, 1]$ , deci ecuația nu are soluții acolo. Pe $[1, \infty)$ funcția $f$ este continuă și strict descrescătoare, cu $f (1) + n > 0$ , iar $x \to \infty lim f (x) = - \infty$ (termenul $- (2 x - 3) e^{2 x}$ domină). Funcția $f + n$ trece deci de la o valoare pozitivă la valori arbitrar de negative, iar continuitatea (proprietatea lui Darboux) dă cel puțin o rădăcină, iar stricta monotonie dă exact una. Ecuația $f (x) + n = 0$ are, așadar, exact o soluție, situată în $(1, \infty)$ .

Răspuns: pentru orice $n \in N^{*}$ , ecuația $f (x) + n = 0$ are exact o soluție reală.

Punctaj în barem: 3 puncte pentru semnul lui $f^{'}$ și monotonia lui $f$ pe $(- \infty, 0]$ , $[0, 1]$ și $[1, \infty)$ , 2 puncte pentru $f (0) = 0$ , $x \to \infty lim f (x) = - \infty$ , continuitate și concluzia soluției unice.

III.2. (15 puncte, câte 5 pentru fiecare subpunct)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x - 2}{x ^{2} - 4 x + 5}$ .

III.2.a) (5 puncte)

Arătați că $\int_{2}^{4} f (x) x^{2} - 4 x + 5 d x = 2$ .

Rezolvare. Expresia $x^{2} - 4 x + 5 = (x - 2)^{2} + 1$ este strict pozitivă, deci $f$ este definită pe $R$ . Radicalul se simplifică: $f (x) x^{2} - 4 x + 5 = x - 2$ . Atunci $\int_{2}^{4} (x - 2) d x = (\frac{x ^{2}}{2} - 2 x)_{2}^{4} = (8 - 8) - (2 - 4) = 0 - (- 2) = 2.$

Răspuns: integrala este egală cu $2$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru simplificarea integrandului și calculul primitivei evaluate între limite, 2 puncte pentru rezultatul final $0 - (- 2) = 2$ .

III.2.b) (5 puncte)

Arătați că $\int_{1}^{3} f (x) d x = 0$ .

Rezolvare. Observăm că $(x^{2} - 4 x + 5)^{'} = 2 x - 4 = 2 (x - 2)$ , deci $f (x) = \frac{( x ^{2} - 4 x + 5 ) ^{'}}{2 x ^{2} - 4 x + 5}$ . Aceasta este derivata funcției $x^{2} - 4 x + 5$ , care este o primitivă a lui $f$ . Prin urmare $\int_{1}^{3} f (x) d x = x^{2} - 4 x + 5_{1}^{3} = 9 - 12 + 5 - 1 - 4 + 5 = 2 - 2 = 0.$

Răspuns: integrala este egală cu $0$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru recunoașterea primitivei $x^{2} - 4 x + 5$ și scrierea integralei prin ea, 2 puncte pentru evaluarea între $1$ și $3$ și rezultatul $0$ .

III.2.c) (5 puncte)

Determinați numărul real nenul $m$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g : [2, 3] \to R$ , $g (x) = f (x)$ , în jurul axei $O x$ este egal cu $π (1 - \frac{π}{m})$ .

Rezolvare. Volumul corpului de rotație este $V = π \int_{2}^{3} g (x)^{2} d x = π \int_{2}^{3} \frac{( x - 2 ) ^{2}}{x ^{2} - 4 x + 5} d x$ . Scriem numărătorul ca $x^{2} - 4 x + 4 = (x^{2} - 4 x + 5) - 1$ , deci fracția devine $1 - \frac{1}{( x - 2 ) ^{2} + 1}$ . O primitivă este $x - arctg (x - 2)$ , de unde $V = π (x - arctg (x - 2))_{2}^{3} = π [(3 - arctg 1) - (2 - arctg 0)] = π (1 - \frac{π}{4}) .$ Egalând cu $π (1 - \frac{π}{m})$ obținem $\frac{π}{m} = \frac{π}{4}$ , deci $m = 4$ .

Răspuns: $m = 4$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru calculul volumului $V = π (1 - \frac{π}{4})$ și 2 puncte pentru egalarea cu expresia dată și $m = 4$ .

Ce punctează baremul la Subiectul al III-lea. Se aplică aceleași reguli generale: orice soluție corectă este punctată, fără fracțiuni de punct, cu punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale în limitele indicate. Toate cele șase subpuncte au 5 puncte, împărțite 3 + 2. La studiul funcției de la III.1.c), treapta de 3 puncte privește semnul derivatei și monotonia, iar cea de 2 puncte este asociată cu valoarea $f (0) = 0$ , limita la $+ \infty$ , continuitatea și concluzia soluției unice. La integrale, prima treaptă de 3 puncte este pentru transformarea corectă a integrandului sau pentru primitivă, iar a doua pentru evaluarea între limite. La volum, calculul lui $V$ (cu pătratul funcției sub integrală) ocupă treapta de 3 puncte, iar egalarea cu expresia dată și aflarea lui $m$ treapta de 2 puncte.

Lecțiile din spate: Regula lui l'Hospital, Monotonia prin derivată, Metode de integrare, Aplicații ale integralelor

Matematică M_șt-nat (științele naturii): sesiunea august 2026

Varianta 4. Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii. Se acordă 90 de puncte pentru subiecte și 10 din oficiu; timpul de lucru efectiv este de trei ore.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5 puncte)

Se consideră numerele complexe $z_{1} = 2 - 3 i$ și $z_{2} = 1 - 2 i$ . Arătați că $i z_{1} + z_{2} = 4$ .

Rezolvare. Înmulțim $z_{1}$ cu $i$ și folosim $i^{2} = - 1$ : $i z_{1} = i (2 - 3 i) = 2 i - 3 i^{2} = 3 + 2 i$ . Adunăm $z_{2}$ : $i z_{1} + z_{2} = 3 + 2 i + 1 - 2 i = 4$ . Părțile imaginare se reduc, iar partea reală este $3 + 1 = 4$ .

Răspuns: $i z_{1} + z_{2} = 4$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru calculul lui $i z_{1} + z_{2}$ până la forma cu $i^{2}$ înlocuit, 3 puncte pentru reducerea termenilor și obținerea lui $4$ .

2. (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x + 3$ . Determinați numărul real $a$ pentru care $f (a + 2) = a + f (a)$ .

Rezolvare. Calculăm cele două părți: $f (a + 2) = (a + 2) + 3 = a + 5$ și $a + f (a) = a + a + 3 = 2 a + 3$ . Egalitatea devine $a + 5 = 2 a + 3$ , deci $a = 2$ .

Răspuns: $a = 2$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru expresiile $f (a + 2)$ și $f (a)$ , 3 puncte pentru ecuația $a + 5 = a + a + 3$ și soluția $a = 2$ .

3. (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2 x = x^{2} - x + 2$ .

Rezolvare. Ridicăm ecuația la pătrat: $2 x = x^{2} - x + 2$ , adică $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ , cu soluțiile $x = 1$ și $x = 2$ . Ridicarea la pătrat poate introduce soluții străine, de aceea verificăm: pentru $x = 1$ avem $2 = 1 - 1 + 2$ , iar pentru $x = 2$ avem $4 = 4 - 2 + 2$ . Ambele relații sunt adevărate, deci ambele valori convin.

Răspuns: $x \in {1, 2}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru ecuația de gradul al doilea $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ , 3 puncte pentru soluțiile $1$ și $2$ , care convin.

4. (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $3 n^{2} > 100$ .

Rezolvare. Numerele naturale de o cifră sunt $0, 1, \dots, 9$ , deci sunt $10$ cazuri posibile. Inegalitatea $3 n^{2} > 100$ este echivalentă cu $n^{2} > \frac{100}{3} \approx 33, 3$ . Pentru $n = 5$ avem $n^{2} = 25$ , care nu convine, iar pentru $n = 6$ avem $36$ , care convine. Cazurile favorabile sunt $n \in {6, 7, 8, 9}$ , adică $4$ cazuri. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și al celor posibile: $p = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ .

Răspuns: $p = \frac{2}{5}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru numărul cazurilor posibile ( $10$ ), 3 puncte pentru cele $4$ cazuri favorabile și probabilitatea $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ .

5. (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (6, 0)$ , $B (8, 2)$ și $C (1, 9)$ . Determinați distanța dintre punctul $C$ și mijlocul segmentului $A B$ .

Rezolvare. Notăm cu $M$ mijlocul lui $A B$ . Coordonatele sale sunt semisumele coordonatelor capetelor: $M (\frac{6 + 8}{2}, \frac{0 + 2}{2}) = M (7, 1)$ . Distanța dintre $C (1, 9)$ și $M (7, 1)$ este $C M = (7 - 1)^{2} + (1 - 9)^{2} = 36 + 64 = 100 = 10$ .

Răspuns: $C M = 10$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru mijlocul $M (7, 1)$ , 2 puncte pentru distanța $C M = 10$ .

6. (5 puncte)

Se consideră triunghiul $A B C$ , cu $A C = 9$ și $B = \frac{π}{3}$ . Arătați că raza cercului circumscris triunghiului $A B C$ este egală cu $33$ .

Rezolvare. Folosim teorema sinusurilor: într-un triunghi, raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus ei este egal cu $2 R$ . Latura $A C$ este opusă unghiului $B$ , deci $2 R = \frac{A C}{s i n B} = \frac{9}{s i n \frac{π}{3}}$ . Cum $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ , obținem $2 R = \frac{18}{3} = 63$ , deci $R = 33$ .

Răspuns: $R = 33$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru relația $2 R = \frac{A C}{s i n B}$ , 2 puncte pentru înlocuirea lui $sin \frac{π}{3}$ și rezultatul $R = 33$ .

Ce punctează baremul la Subiectul I. Baremul precizează că pentru orice soluție corectă, chiar diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat pentru fiecare cerință. Aici fiecare cerință are 5 puncte, împărțite în două etape (de exemplu 2 + 3 sau 3 + 2). La problema 3, ultima etapă (3 puncte) cuprinde soluțiile $1$ și $2$ care convin, deci rezultatul final depinde de verificarea soluțiilor. La problema 4, ultimele 3 puncte cer atât numărul cazurilor favorabile, cât și raportul final.

Lecțiile din spate: Operații cu numere complexe, Ecuații cu radicali, Probabilitatea clasică, Teorema sinusurilor și teorema cosinusului

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

II.1.

Se consideră matricea $A (x, y) = (x + y 4 x y x + y)$ , unde $x$ și $y$ sunt numere reale.

II.1.a) (5 puncte)

Arătați că $det (A (1, 2)) = 1$ .

Rezolvare. Pentru $x = 1$ și $y = 2$ avem $A (1, 2) = (3423)$ . Determinantul unei matrici de ordinul al doilea este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară: $det (A (1, 2)) = 3 \cdot 3 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$ .

Răspuns: $det (A (1, 2)) = 1$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru scrierea matricei și a determinantului, 2 puncte pentru calculul $9 - 8 = 1$ .

II.1.b) (5 puncte)

Arătați că matricea $A (x, y)$ este inversabilă, pentru orice numere reale distincte $x$ și $y$ .

Rezolvare. O matrice pătratică este inversabilă exact atunci când determinantul ei este nenul. Calculăm $det (A (x, y)) = (x + y)^{2} - 4 x y = x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x y = (x - y)^{2}$ . Dacă $x \neq = y$ , atunci $x - y \neq = 0$ , deci $(x - y)^{2} > 0$ și $det (A (x, y)) \neq = 0$ . Prin urmare matricea $A (x, y)$ este inversabilă.

Răspuns: $det (A (x, y)) = (x - y)^{2} \neq = 0$ pentru $x \neq = y$ , deci $A (x, y)$ este inversabilă.

Punctaj în barem: 3 puncte pentru determinantul $(x + y)^{2} - 4 x y = (x - y)^{2}$ , 2 puncte pentru concluzia că este nenul pentru $x \neq = y$ și matricea este inversabilă.

II.1.c) (5 puncte)

Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A (x, 2) \cdot A (x, 2) = 4 A (y, 0)$ .

Rezolvare. Avem $A (x, 2) = (x + 2 4 2 x x + 2)$ și $A (y, 0) = (y 4 0 y)$ . Produsul este $A (x, 2) \cdot A (x, 2) = (x^{2} + 12 x + 4 8 x + 16 4 x^{2} + 8 x x^{2} + 12 x + 4)$ , iar $4 A (y, 0) = (4 y 16 0 4 y)$ . Două matrici sunt egale când elementele corespunzătoare sunt egale. Din elementul de pe linia a doua, coloana întâi: $8 x + 16 = 16$ , deci $x = 0$ . Din elementul de pe prima linie, coloana a doua: $4 x^{2} + 8 x = 0$ , care este satisfăcută de $x = 0$ . Din diagonală: $x^{2} + 12 x + 4 = 4 y$ , iar pentru $x = 0$ obținem $4 = 4 y$ , deci $y = 1$ .

Răspuns: $x = 0$ și $y = 1$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru calculul matricelor $A (x, 2) \cdot A (x, 2)$ și $4 A (y, 0)$ , 2 puncte pentru egalarea elementelor și soluția $x = 0$ , $y = 1$ .

II.2.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = 5 - \frac{x + y}{2} + x y$ .

II.2.a) (5 puncte)

Arătați că $1 * 3 = 6$ .

Rezolvare. Înlocuim $x = 1$ și $y = 3$ în definiția legii: $1 * 3 = 5 - \frac{1 + 3}{2} + 1 \cdot 3 = 5 - 2 + 3 = 6$ .

Răspuns: $1 * 3 = 6$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru înlocuirea în formula legii, 2 puncte pentru calculul $5 - 2 + 3 = 6$ .

II.2.b) (5 puncte)

Determinați numărul real $x$ pentru care $x * 5 = 2 x$ .

Rezolvare. Calculăm $x * 5 = 5 - \frac{x + 5}{2} + 5 x = \frac{10 - x - 5 + 10 x}{2} = \frac{9 x + 5}{2}$ . Ecuația $x * 5 = 2 x$ devine $\frac{9 x + 5}{2} = 2 x$ , adică $9 x + 5 = 4 x$ , deci $5 x = - 5$ și $x = - 1$ .

Răspuns: $x = - 1$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru $x * 5 = \frac{9 x + 5}{2}$ , 2 puncte pentru ecuația rezultată și soluția $x = - 1$ .

II.2.c) (5 puncte)

Determinați perechile $(m, n)$ de numere naturale pentru care $(m - n) * (m + n) = m^{2}$ .

Rezolvare. Suma celor două argumente este $(m - n) + (m + n) = 2 m$ , iar produsul lor este $(m - n) (m + n) = m^{2} - n^{2}$ . Atunci $(m - n) * (m + n) = 5 - \frac{2 m}{2} + m^{2} - n^{2} = 5 - m + m^{2} - n^{2}$ . Egalitatea cu $m^{2}$ conduce la $5 - m - n^{2} = 0$ , adică $m + n^{2} = 5$ . Cum $m$ este număr natural, $n^{2} \leq 5$ , deci $n \in {0, 1, 2}$ , iar $m = 5 - n^{2}$ . Se obțin $n = 0$ cu $m = 5$ , $n = 1$ cu $m = 4$ și $n = 2$ cu $m = 1$ .

Răspuns: $(m, n) \in {(5, 0), (4, 1), (1, 2)}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru reducerea ecuației la $m + n^{2} = 5$ , 3 puncte pentru stabilirea perechilor de numere naturale $(1, 2)$ , $(4, 1)$ și $(5, 0)$ .

Ce punctează baremul la Subiectul al II-lea. Se aplică aceleași reguli generale: orice soluție corectă este punctată integral, fără fracțiuni de punct, cu punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale. La II.1.b, baremul acordă 3 puncte pentru determinantul scris în forma $(x - y)^{2}$ și 2 puncte pentru concluzia inversabilității, deci un calcul corect al determinantului fără concluzie se punctează parțial. La II.1.c, 3 puncte revin calculului celor două matrici, iar 2 puncte egalării elementelor și soluției. La II.2.c, baremul acordă 3 puncte pentru lista perechilor de numere naturale, deci trebuie găsite toate cele trei perechi, nu doar una.

Lecțiile din spate: Determinanți, Matrice inversabile, Matrice, Legi de compoziție

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

III.1.

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} + 8 x - 2}{x ^{2} + 2}$ .

III.1.a) (5 puncte)

Arătați că $f^{'} (x) = \frac{8 ( x + 1 ) ( 2 - x )}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}}$ , $x \in R$ .

Rezolvare. Derivăm câtul cu formula $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , unde $u = x^{2} + 8 x - 2$ și $v = x^{2} + 2$ : $f^{'} (x) = \frac{( 2 x + 8 ) ( x ^{2} + 2 ) - ( x ^{2} + 8 x - 2 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}}$ . La numărător: $(2 x + 8) (x^{2} + 2) = 2 x^{3} + 8 x^{2} + 4 x + 16$ și $(x^{2} + 8 x - 2) \cdot 2 x = 2 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x$ . Diferența lor este $- 8 x^{2} + 8 x + 16 = - 8 (x^{2} - x - 2) = - 8 (x + 1) (x - 2) = 8 (x + 1) (2 - x)$ . Se obține forma cerută.

Răspuns: $f^{'} (x) = \frac{8 ( x + 1 ) ( 2 - x )}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}}$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru aplicarea formulei de derivare a câtului, 2 puncte pentru simplificarea numărătorului și forma factorizată.

III.1.b) (5 puncte)

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ .

Rezolvare. Asimptota orizontală spre $+ \infty$ este dreapta $y = ℓ$ , unde $ℓ = lim_{x \to + \infty} f (x)$ , dacă limita este finită. Dăm factor comun $x^{2}$ la numărător și la numitor: $lim_{x \to + \infty} \frac{x ^{2} + 8 x - 2}{x ^{2} + 2} = lim_{x \to + \infty} \frac{1 + \frac{8}{x} - \frac{2}{x ^{2}}}{1 + \frac{2}{x ^{2}}} = 1$ , deoarece fracțiile cu $x$ la numitor tind la $0$ .

Răspuns: $y = 1$ este asimptota orizontală spre $+ \infty$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru calculul limitei $lim_{x \to + \infty} f (x) = 1$ , 2 puncte pentru concluzia privind ecuația asimptotei.

III.1.c) (5 puncte)

Demonstrați că $- 2 \leq f (x) - f (y) \leq 2$ , pentru orice $x, y \in [- 4, 0]$ .

Rezolvare. Studiem monotonia lui $f$ pe $[- 4, 0]$ cu semnul derivatei de la punctul a). Numitorul $(x^{2} + 2)^{2}$ este pozitiv, deci semnul lui $f^{'}$ este semnul lui $8 (x + 1) (2 - x)$ . Pe $[- 4, - 1]$ avem $x + 1 \leq 0$ și $2 - x > 0$ , deci $f^{'} (x) \leq 0$ și $f$ este descrescătoare. Pe $[- 1, 0]$ avem $x + 1 \geq 0$ și $2 - x > 0$ , deci $f^{'} (x) \geq 0$ și $f$ este crescătoare. Valoarea minimă pe $[- 4, 0]$ este deci $f (- 1) = \frac{1 - 8 - 2}{3} = - 3$ . Valorile la capete sunt $f (- 4) = \frac{16 - 32 - 2}{18} = - 1$ și $f (0) = \frac{- 2}{2} = - 1$ , deci valoarea maximă este $- 1$ . Așadar $- 3 \leq f (t) \leq - 1$ pentru orice $t \in [- 4, 0]$ . Pentru $x, y \in [- 4, 0]$ avem $- 3 \leq f (x) \leq - 1$ și $1 \leq - f (y) \leq 3$ ; adunând, $- 2 \leq f (x) - f (y) \leq 2$ .

Răspuns: pe $[- 4, 0]$ valorile lui $f$ sunt în $[- 3, - 1]$ , deci diferența a două valori ale funcției este cuprinsă între $- 2$ și $2$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru monotonia lui $f$ pe $[- 4, - 1]$ și pe $[- 1, 0]$ , 3 puncte pentru valorile $f (- 4) = - 1$ , $f (- 1) = - 3$ , $f (0) = - 1$ , încadrarea $- 3 \leq f \leq - 1$ și concluzia.

III.2.

Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = 5 x^{2} - 3 + ln x$ .

III.2.a) (5 puncte)

Arătați că $\int_{1}^{2} (f (x) - ln x) d x = \frac{26}{3}$ .

Rezolvare. Termenul $ln x$ se reduce: $f (x) - ln x = 5 x^{2} - 3$ . Atunci $\int_{1}^{2} (5 x^{2} - 3) d x = (\frac{5 x ^{3}}{3} - 3 x)_{1}^{2} = (\frac{40}{3} - 6) - (\frac{5}{3} - 3) = \frac{35}{3} - 3 = \frac{26}{3}$ .

Răspuns: $\int_{1}^{2} (f (x) - ln x) d x = \frac{26}{3}$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru primitiva lui $5 x^{2} - 3$ și formula Leibniz-Newton, 2 puncte pentru calculul final $\frac{35}{3} - 3 = \frac{26}{3}$ .

III.2.b) (5 puncte)

Arătați că $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \cdot (f (x) - 5 x^{2} + 3) d x = \frac{1}{2}$ .

Rezolvare. Avem $f (x) - 5 x^{2} + 3 = ln x$ , deci integrala este $\int_{1}^{e} \frac{l n x}{x} d x$ . Cum $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ , integrandul este de forma $ln x \cdot (ln x)^{'}$ , a cărui primitivă este $\frac{l n ^{2} x}{2}$ . Rezultă $\frac{l n ^{2} x}{2}_{1}^{e} = \frac{l n ^{2} e}{2} - \frac{l n ^{2} 1}{2} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ .

Răspuns: $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} (f (x) - 5 x^{2} + 3) d x = \frac{1}{2}$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru reducerea la $\int_{1}^{e} \frac{l n x}{x} d x$ și primitiva $\frac{l n ^{2} x}{2}$ , 2 puncte pentru calculul valorilor la limite.

III.2.c) (5 puncte)

Determinați numărul real $m$ pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g : (0, + \infty) \to R$ , $g (x) = \frac{f ( x ) + 3}{x}$ , axa $O x$ și dreptele de ecuații $x = 1$ și $x = 4$ este egală cu $58 + m ln 2$ .

Rezolvare. Avem $g (x) = \frac{5 x ^{2} + l n x}{x} = 5 x x + \frac{l n x}{x}$ . Pe $[1, 4]$ , $x^{2} > 0$ și $ln x \geq 0$ , deci $g (x) > 0$ și aria este $A = \int_{1}^{4} g (x) d x$ . Primitiva primului termen este $2 x^{2} x$ , pentru că $(2 x^{5/2})^{'} = 5 x^{3/2}$ . Pentru al doilea termen observăm că $(2 x)^{'} = \frac{1}{x}$ și integrăm prin părți: $\int \frac{l n x}{x} d x = 2 x ln x - \int \frac{2 x}{x} d x = 2 x ln x - 4 x$ . Așadar $A = (2 x^{2} x + 2 x ln x - 4 x)_{1}^{4}$ . Valoarea la $x = 4$ este $64 + 4 ln 4 - 8 = 56 + 8 ln 2$ , iar la $x = 1$ este $2 + 0 - 4 = - 2$ . Diferența este $A = 58 + 8 ln 2$ . Egalând cu $58 + m ln 2$ , obținem $m = 8$ .

Răspuns: $m = 8$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru scrierea ariei ca integrală din $g$ pe $[1, 4]$ și forma integrandului, 3 puncte pentru calculul integralei, rezultatul $58 + 8 ln 2$ și valoarea $m = 8$ .

Ce punctează baremul la Subiectul al III-lea. Se aplică aceleași reguli generale ale baremului: orice rezolvare corectă este punctată, fără fracțiuni de punct, cu punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale. La III.1.a, baremul acordă 3 puncte pentru derivata scrisă prin formula câtului și 2 puncte pentru forma simplificată. La III.1.c, baremul cere monotonia lui $f$ și valorile $f (- 4)$ , $f (- 1)$ , $f (0)$ , deci demonstrația trebuie să încadreze valorile funcției pe $[- 4, 0]$ . La III.2.c, baremul scrie aria ca $\int_{1}^{4} ∣ g (x) ∣ d x$ , cu $g (x) > 0$ pe interval, deci modulul nu schimbă integrandul.

Lecțiile din spate: Reguli de derivare, Asimptotele graficului, Monotonia prin derivată, Aplicații ale integralelor

Matematică M_tehnologic: sesiunea august 2026

Varianta 4. Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale. Se acordă 90 de puncte pentru subiecte și 10 din oficiu; timpul de lucru efectiv este de trei ore.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5 puncte)

Arătați că $\frac{1}{5} \cdot (3 + \frac{1}{3}) + \frac{4}{3} = 2$ .

Rezolvare. Se calculează întâi paranteza, aducând termenii la același numitor: $3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ . Apoi $\frac{1}{5} \cdot \frac{10}{3} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ , iar $\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2$ .

Răspuns: egalitatea este adevărată, valoarea expresiei fiind $2$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru calculul parantezei și al produsului cu $\frac{1}{5}$ , 2 puncte pentru adunarea finală și obținerea lui $2$ .

2. (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 3$ . Determinați numărul real $a$ pentru care $f (a) - f (4) = 4$ .

Rezolvare. Se calculează $f (4) = 2 \cdot 4 - 3 = 5$ și se scrie $f (a) = 2 a - 3$ . Ecuația devine $2 a - 3 - 5 = 4$ , adică $2 a = 12$ , deci $a = 6$ .

Răspuns: $a = 6$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru $f (4) = 5$ și expresia lui $f (a)$ , 2 puncte pentru rezolvarea ecuației și obținerea lui $a = 6$ .

3. (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{1 - x} = 2^{3 + x}$ .

Rezolvare. Funcția exponențială de bază $2$ este injectivă, deci două puteri ale lui $2$ sunt egale numai dacă exponenții sunt egali: $1 - x = 3 + x$ . Rezultă $- 2 x = 2$ , deci $x = - 1$ . Verificare: pentru $x = - 1$ ambele părți sunt egale cu $2^{2} = 4$ .

Răspuns: $x = - 1$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru egalarea exponenților, 2 puncte pentru rezolvarea ecuației de gradul întâi.

4. (5 puncte)

După o scumpire cu $20%$ , un obiect costă $48$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Rezolvare. Fie $x$ prețul înainte de scumpire. O scumpire cu $20%$ adaugă la preț $\frac{20}{100} \cdot x$ , deci prețul nou este $x + \frac{20}{100} x = 1, 2 x$ . Din $1, 2 x = 48$ rezultă $x = 40$ .

Răspuns: $40$ de lei.

Punctaj în barem: 3 puncte pentru scrierea ecuației, 2 puncte pentru rezolvarea ei.

5. (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (2, 5)$ și $B (6, 8)$ . Arătați că $O B = 2 A B$ .

Rezolvare. Distanța dintre două puncte este $(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ . Cu $O (0, 0)$ : $O B = 6^{2} + 8^{2} = 100 = 10$ . Apoi $A B = (6 - 2)^{2} + (8 - 5)^{2} = 16 + 9 = 5$ . Deoarece $10 = 2 \cdot 5$ , avem $O B = 2 A B$ .

Răspuns: $O B = 10$ , $A B = 5$ , deci $O B = 2 A B$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru $O B = 10$ , 3 puncte pentru $A B = 5$ și concluzia $O B = 2 \cdot 5 = 2 A B$ .

6. (5 puncte)

Se consideră triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , cu $A B = 4$ și $B C = 6$ . Arătați că aria triunghiului $A B C$ este egală cu $45$ .

Rezolvare. Unghiul drept este în $A$ , deci $B C = 6$ este ipotenuza. Din teorema lui Pitagora, $A C = B C^{2} - A B^{2} = 36 - 16 = 20 = 25$ . Catetele sunt perpendiculare, deci aria este $\frac{A B \cdot A C}{2} = \frac{4 \cdot 2 5}{2} = 45$ .

Răspuns: aria este $45$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru calculul lui $A C$ , 2 puncte pentru formula ariei și valoarea ei.

Ce punctează baremul la Subiectul I. Fiecare cerință valorează 5 puncte și este împărțită în două părți (3 + 2 puncte, la a 5-a cerință 2 + 3 puncte), deci rezolvarea trebuie să arate pașii, nu doar rezultatul. Baremul precizează că orice soluție corectă, chiar dacă diferă de cea din barem, primește punctajul corespunzător, că nu se acordă fracțiuni de punct și că se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat. La aceste cerințe, prima parte cuprinde construirea ecuației sau a mărimii intermediare (de exemplu $f (4) = 5$ , ecuația $x + \frac{20}{100} x = 48$ sau $A C = 25$ ), iar a doua rezolvarea și valoarea finală.

Lecțiile din spate: Ecuații exponențiale, Procente, Distanța dintre două puncte, Teorema lui Pitagora

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A (a) = (1 3 a - 3 a - 1 3 a - 2)$ , unde $a$ este număr real.

II.1.a) (5 puncte)

Arătați că $det (A (2)) = 1$ .

Rezolvare. Pentru $a = 2$ se obține $A (2) = (1314)$ . Determinantul unei matrice de ordinul doi este produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare: $det (A (2)) = 1 \cdot 4 - 1 \cdot 3 = 1$ .

Răspuns: $det (A (2)) = 1$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru $A (2)$ și scrierea determinantului, 2 puncte pentru calcul.

II.1.b) (5 puncte)

Arătați că $2 A (2) + A (5) = 3 A (3)$ .

Rezolvare. Se calculează $A (5) = (112413)$ și $A (3) = (1627)$ . Atunci $2 A (2) + A (5) = (2628) + (112413) = (318621) = 3 (1627) = 3 A (3)$ .

Răspuns: egalitatea este adevărată, ambii membri fiind $(318621)$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru $A (5)$ și suma $2 A (2) + A (5)$ , 2 puncte pentru scoaterea factorului $3$ și compararea cu $3 A (3)$ .

II.1.c) (5 puncte)

Determinați matricea $X \in M_{2} (R)$ pentru care $2 X \cdot A (2) - A (2) = A (6)$ .

Rezolvare. Ecuația se scrie $2 X \cdot A (2) = A (6) + A (2)$ . Cum $det (A (2)) = 1 \neq = 0$ (cerința a), matricea $A (2)$ este inversabilă, iar înmulțirea la dreapta cu $(A (2))^{- 1}$ dă $X = \frac{1}{2} (A (6) + A (2)) \cdot (A (2))^{- 1}$ . Inversa unei matrice $(p r q s)$ cu determinantul $1$ este $(s - r - q p)$ , deci $(A (2))^{- 1} = (4 - 3 - 1 1)$ . Cu $A (6) = (115516)$ rezultă $A (6) + A (2) = (218620)$ și

X = \frac{1}{2} (218620) (4 - 3 - 1 1) = \frac{1}{2} (- 10 12 42) = (- 5 6 21) .

Răspuns: $X = (- 5 6 21)$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru exprimarea lui $X$ cu ajutorul inversei (justificată prin $det (A (2)) \neq = 0$ ), 3 puncte pentru inversă, suma $A (6) + A (2)$ și matricea $X$ .

2. Se consideră polinomul $f = X^{3} - 3 X^{2} - 2 X + m$ , unde $m$ este număr real.

II.2.a) (5 puncte)

Pentru $m = 9$ , arătați că $f (- 1) = 7$ .

Rezolvare. Pentru $m = 9$ , $f = X^{3} - 3 X^{2} - 2 X + 9$ , deci $f (- 1) = (- 1)^{3} - 3 \cdot (- 1)^{2} - 2 \cdot (- 1) + 9 = - 1 - 3 + 2 + 9 = 7$ .

Răspuns: $f (- 1) = 7$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru înlocuirea lui $X$ cu $- 1$ , 2 puncte pentru calcul.

II.2.b) (5 puncte)

Determinați numărul real $m$ pentru care $2$ este rădăcină a polinomului $f$ .

Rezolvare. Numărul $2$ este rădăcină dacă $f (2) = 0$ . Se calculează $f (2) = 8 - 12 - 4 + m = m - 8$ , deci $m - 8 = 0$ și $m = 8$ .

Răspuns: $m = 8$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru $f (2) = - 8 + m$ , 2 puncte pentru ecuația $- 8 + m = 0$ și valoarea lui $m$ .

II.2.c) (5 puncte)

Știind că restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g = X - 4$ este egal cu $14$ , determinați rădăcinile polinomului $f$ .

Rezolvare. Restul împărțirii lui $f$ la $X - 4$ este $f (4)$ (teorema restului). Cum $f (4) = 64 - 48 - 8 + m = m + 8$ , din $m + 8 = 14$ rezultă $m = 6$ . Atunci $f = X^{3} - 3 X^{2} - 2 X + 6$ , iar prin grupare, $f = X^{2} (X - 3) - 2 (X - 3) = (X - 3) (X^{2} - 2)$ . Rădăcinile sunt $3$ și soluțiile ecuației $x^{2} = 2$ .

Răspuns: $x_{1} = 3$ , $x_{2} = - 2$ , $x_{3} = 2$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru $m = 6$ și descompunerea $f = (X - 3) (X^{2} - 2)$ , 3 puncte pentru determinarea celor trei rădăcini.

Ce punctează baremul la Subiectul al II-lea. Fiecare subpunct valorează 5 puncte, cu împărțirea 3 + 2 la majoritatea lor, iar la II.1.c) și II.2.c) 2 + 3. Se aplică aceleași reguli generale: orice soluție corectă primește punctajul corespunzător, nu există fracțiuni de punct, iar rezolvările parțiale pot primi punctaje intermediare în limitele indicate. La II.1.c) baremul acordă separat 2 puncte pentru scrierea lui $X$ prin inversă (cu observația $det (A (2)) \neq = 0$ ) și 3 puncte pentru calculul efectiv al matricelor. La II.2.c) prima parte cuprinde valoarea lui $m$ și forma factorizată a polinomului, iar a doua cele trei rădăcini.

Lecțiile din spate: Matrice, Matrice inversabile, Divizibilitatea polinoamelor, Rădăcinile polinoamelor

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f : (- 3, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} - 5}{x + 3}$ .

III.1.a) (5 puncte)

Arătați că $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} + 6 x + 5}{( x + 3 ) ^{2}}$ , $x \in (- 3, + \infty)$ .

Rezolvare. Se folosește regula de derivare a câtului, $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , cu $u = x^{2} - 5$ și $v = x + 3$ :

f^{'} (x) = \frac{2 x ( x + 3 ) - ( x ^{2} - 5 ) \cdot 1}{( x + 3 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{2} + 6 x - x ^{2} + 5}{( x + 3 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 6 x + 5}{( x + 3 ) ^{2}} .

Răspuns: formula derivatei este cea cerută.

Punctaj în barem: 2 puncte pentru aplicarea formulei de derivare a câtului, 3 puncte pentru calculele care duc la forma finală.

III.1.b) (5 puncte)

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = - 1$ , situat pe graficul funcției $f$ .

Rezolvare. Tangenta în punctul de abscisă $x_{0}$ are ecuația $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ . Pentru $x_{0} = - 1$ : $f (- 1) = \frac{1 - 5}{2} = - 2$ și, folosind subpunctul a), $f^{'} (- 1) = \frac{1 - 6 + 5}{4} = 0$ . Ecuația devine $y + 2 = 0 \cdot (x + 1)$ , adică $y = - 2$ (tangentă orizontală).

Răspuns: $y = - 2$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru $f (- 1) = - 2$ și $f^{'} (- 1) = 0$ , 3 puncte pentru scrierea ecuației tangentei și forma ei finală.

III.1.c) (5 puncte)

Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $f$ .

Rezolvare. Domeniul este $(- 3, + \infty)$ , deci singura asimptotă oblică posibilă este spre $+ \infty$ , de forma $y = m x + n$ . Panta este $m = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = x \to + \infty lim \frac{x ^{2} - 5}{x ( x + 3 )} = 1$ (se împarte la $x^{2}$ ). Apoi $n = x \to + \infty lim (f (x) - x) = x \to + \infty lim \frac{x ^{2} - 5 - x ^{2} - 3 x}{x + 3} = x \to + \infty lim \frac{- 3 x - 5}{x + 3} = - 3$ .

Răspuns: $y = x - 3$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru limita care dă panta $m = 1$ , 3 puncte pentru limita care dă $n = - 3$ și ecuația asimptotei.

2. Se consideră funcția $f : (- 2, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{e ^{x}}{x + 2}$ .

III.2.a) (5 puncte)

Arătați că $\int_{0}^{1} (x + 2) \cdot f (x) d x = e - 1$ .

Rezolvare. Produsul se simplifică: $(x + 2) \cdot f (x) = e^{x}$ . Atunci $\int_{0}^{1} e^{x} d x = e^{x}_{0}^{1} = e - 1$ .

Răspuns: integrala este $e - 1$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru simplificare și primitiva $e^{x}$ , 2 puncte pentru evaluarea cu formula Leibniz-Newton.

III.2.b) (5 puncte)

Arătați că $\int_{0}^{6} \frac{f ( x )}{e ^{x}} d x = 2 ln 2$ .

Rezolvare. Se simplifică prin $e^{x}$ : $\frac{f ( x )}{e ^{x}} = \frac{1}{x + 2}$ . O primitivă este $ln (x + 2)$ (pe domeniu $x + 2 > 0$ ), deci integrala este $ln (x + 2)_{0}^{6} = ln 8 - ln 2 = ln 4 = 2 ln 2$ .

Răspuns: integrala este $2 ln 2$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru simplificare și primitivă, 2 puncte pentru evaluare și rezultat.

III.2.c) (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care $\int_{0}^{1} (a - \frac{1}{f ( x )}) d x = \frac{4}{e}$ .

Rezolvare. Avem $\frac{1}{f ( x )} = (x + 2) e^{- x}$ . Integrala se desparte în $a \cdot 1 - \int_{0}^{1} (x + 2) e^{- x} d x$ . Se integrează prin părți, cu $u = x + 2$ și $v^{'} = e^{- x}$ (deci $v = - e^{- x}$ ):

\int_{0}^{1} (x + 2) e^{- x} d x = [- (x + 2) e^{- x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x = (- \frac{3}{e} + 2) + (1 - \frac{1}{e}) = 3 - \frac{4}{e} .

Ecuația devine $a - 3 + \frac{4}{e} = \frac{4}{e}$ , deci $a = 3$ .

Răspuns: $a = 3$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru calculul integralei prin părți, 2 puncte pentru ecuația în $a$ și valoarea $a = 3$ .

Ce punctează baremul la Subiectul al III-lea. Toate subpunctele au 5 puncte, împărțite 2 + 3 la a), b) și c) din problema 1 și 3 + 2 la problema 2. Se păstrează regulile generale: se acceptă orice soluție corectă, nu se acordă fracțiuni de punct și sunt posibile punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale. La III.1.c) cele două limite (panta și termenul liber) sunt punctate separat, cu 2, respectiv 3 puncte. La III.2.c) baremul pune cele 3 puncte pe calculul integralei (inclusiv integrarea prin părți), iar ecuația finală în $a$ primește 2 puncte.

Lecțiile din spate: Reguli de derivare, Asimptotele graficului, Integrala definită, Metode de integrare

Matematică M_pedagogic: sesiunea august 2026

Varianta 4. Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Se acordă 90 de puncte pentru subiecte și 10 din oficiu; timpul de lucru efectiv este de trei ore.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5 puncte)

Determinați termenul $a_{3}$ al progresiei aritmetice $(a_{n})_{n \geq 1}$ , în care $a_{1} = 2$ și $a_{2} = 16$ .

Rezolvare. Într-o progresie aritmetică diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă. Rația este $r = a_{2} - a_{1} = 16 - 2 = 14$ , iar $a_{3} = a_{2} + r = 16 + 14 = 30$ .

Răspuns: $a_{3} = 30$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru rația $r = 14$ , 2 puncte pentru $a_{3} = 30$ .

2. (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x - 2$ . Determinați numărul real $m$ pentru care $f (3) + f (5) = f (m)$ .

Rezolvare. Avem $f (3) = 1$ , $f (5) = 3$ și $f (m) = m - 2$ . Ecuația devine $1 + 3 = m - 2$ , deci $m = 6$ .

Răspuns: $m = 6$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru $f (3)$ , $f (5)$ și $f (m)$ , 2 puncte pentru ecuația $1 + 3 = m - 2$ și valoarea lui $m$ .

3. (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3 x = 12 - x$ .

Rezolvare. Radicalii există pentru $3 x \geq 0$ și $12 - x \geq 0$ . Ridicând la pătrat ambii membri (care sunt nenegativi) se obține $3 x = 12 - x$ , deci $4 x = 12$ și $x = 3$ . Soluția trebuie verificată pe domeniul ecuației: pentru $x = 3$ avem $3 x = 9 \geq 0$ și $12 - x = 9 \geq 0$ , iar ambii membri sunt egali cu $3$ .

Răspuns: $x = 3$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru ecuația $3 x = 12 - x$ , 2 puncte pentru $x = 3$ și verificarea că soluția convine.

4. (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A = {20, 21, 22, \dots, 35}$ . Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$ , acesta să fie multiplu de $5$ .

Rezolvare. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și cel al cazurilor posibile. Mulțimea $A$ are $35 - 20 + 1 = 16$ elemente, deci sunt $16$ cazuri posibile. Multiplii lui $5$ din $A$ sunt $20, 25, 30, 35$ , adică $4$ cazuri favorabile. Probabilitatea este $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ .

Răspuns: $\frac{1}{4}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru numărul cazurilor posibile, 3 puncte pentru cazurile favorabile și probabilitate.

5. (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $M (1, 3)$ și $N (7, 1)$ . Arătați că triunghiul $O M N$ este dreptunghic.

Rezolvare. Cu $O (0, 0)$ se calculează lungimile laturilor: $O M = 1^{2} + 3^{2} = 10$ , $O N = 7^{2} + 1^{2} = 50$ , $M N = (7 - 1)^{2} + (1 - 3)^{2} = 40$ . Cea mai lungă latură este $O N$ și $O N^{2} = 50 = 10 + 40 = O M^{2} + M N^{2}$ . Conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul $O M N$ este dreptunghic, cu unghiul drept în $M$ .

Răspuns: triunghiul $O M N$ este dreptunghic în $M$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru $O M$ și $O N$ , 3 puncte pentru $M N$ și verificarea relației $O N^{2} = O M^{2} + M N^{2}$ .

6. (5 puncte)

Se consideră triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , cu $B C = 8$ și măsura unghiului $B$ egală cu $4 5^{\circ}$ . Arătați că perimetrul triunghiului $A B C$ este egal cu $8 (1 + 2)$ .

Rezolvare. Unghiul $A$ este de $9 0^{\circ}$ și $B = 4 5^{\circ}$ , deci și $C = 4 5^{\circ}$ : triunghiul este dreptunghic isoscel, cu $A B = A C$ . În triunghiul dreptunghic, $A B = B C \cdot cos 4 5^{\circ} = 8 \cdot \frac{2}{2} = 42$ , deci $A B = A C = 42$ . Perimetrul este $B C + A B + A C = 8 + 82 = 8 (1 + 2)$ .

Răspuns: perimetrul este $8 (1 + 2)$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru $A B = A C = 42$ , 3 puncte pentru calculul perimetrului.

Ce punctează baremul la Subiectul I. Fiecare cerință valorează 5 puncte, împărțite în două părți: 3 + 2 la cerințele 1, 2 și 3, respectiv 2 + 3 la cerințele 4, 5 și 6. Baremul precizează că orice soluție corectă, chiar dacă diferă de cea din barem, primește punctajul corespunzător, că nu se acordă fracțiuni de punct și că se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat. La cerința 3, cele 2 puncte din a doua parte acoperă atât valoarea $x = 3$ , cât și precizarea că ea convine, deci verificarea soluției face parte din rezolvare. La cerința 5 cele 3 puncte includ, pe lângă lungimea $M N$ , verificarea relației lui Pitagora $O N^{2} = O M^{2} + M N^{2}$ , nu doar calculul lungimilor.

Lecțiile din spate: Progresii aritmetice, Ecuații cu radicali, Probabilitatea clasică, Distanța dintre două puncte

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = \frac{1}{3} (x - 2) (y - 2) + 2$ .

1. (5 puncte)

Arătați că $4 \circ 8 = 6$ .

Rezolvare. Se înlocuiește $x = 4$ și $y = 8$ : $4 \circ 8 = \frac{1}{3} (4 - 2) (8 - 2) + 2 = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 6 + 2 = 4 + 2 = 6$ .

Răspuns: $4 \circ 8 = 6$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru înlocuirea în definiția legii, 2 puncte pentru calcul.

2. (5 puncte)

Determinați numărul real $x$ pentru care $(- 1) \circ x = x$ .

Rezolvare. $(- 1) \circ x = \frac{1}{3} (- 1 - 2) (x - 2) + 2 = - (x - 2) + 2 = - x + 4$ . Ecuația $- x + 4 = x$ dă $2 x = 4$ , deci $x = 2$ .

Răspuns: $x = 2$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru expresia $(- 1) \circ x = - x + 4$ , 2 puncte pentru rezolvarea ecuației.

3. (5 puncte)

Arătați că $e = 5$ este elementul neutru al legii de compoziție „ $\circ$ ”.

Rezolvare. Elementul neutru trebuie să satisfacă $x \circ e = e \circ x = x$ pentru orice $x$ real. Se calculează $x \circ 5 = \frac{1}{3} (x - 2) (5 - 2) + 2 = (x - 2) + 2 = x$ și $5 \circ x = \frac{1}{3} (5 - 2) (x - 2) + 2 = x$ . Ambele egalități sunt verificate pentru orice $x \in R$ , deci $e = 5$ este elementul neutru.

Răspuns: $x \circ 5 = 5 \circ x = x$ pentru orice $x \in R$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru $x \circ 5 = x$ , 3 puncte pentru $5 \circ x = x$ și concluzia că $e = 5$ este element neutru.

4. (5 puncte)

Determinați numerele naturale $n$ pentru care numărul $N = n \circ (- n)$ este natural.

Rezolvare. Se calculează $N = n \circ (- n) = \frac{1}{3} (n - 2) (- n - 2) + 2 = \frac{4 - n ^{2}}{3} + 2 = \frac{10 - n ^{2}}{3}$ . Pentru ca $N$ să fie natural, trebuie ca $N \geq 0$ , deci $n^{2} \leq 10$ , adică $n \in {0, 1, 2, 3}$ , și ca $10 - n^{2}$ să fie divizibil cu $3$ . Valorile sunt: $n = 0$ dă $\frac{10}{3}$ , $n = 1$ dă $3$ , $n = 2$ dă $2$ , $n = 3$ dă $\frac{1}{3}$ . Convin doar $n = 1$ și $n = 2$ .

Răspuns: $n \in {1, 2}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru $N = \frac{10 - n ^{2}}{3}$ , 3 puncte pentru stabilirea valorilor $n = 1$ și $n = 2$ .

5. (5 puncte)

Determinați numărul real $x$ , știind că $1$ este simetricul lui $x$ în raport cu legea de compoziție „ $\circ$ ”.

Rezolvare. Simetricul lui $x$ este elementul $x^{'}$ cu $x \circ x^{'} = x^{'} \circ x = e$ , iar $e = 5$ (cerința 3). Legea este comutativă, deoarece expresia $\frac{1}{3} (x - 2) (y - 2) + 2$ este simetrică în $x$ și $y$ , deci este suficientă o singură egalitate. Pentru $x^{'} = 1$ se obține $x \circ 1 = 5$ , adică $\frac{1}{3} (x - 2) (1 - 2) + 2 = 5$ . Rezultă $- \frac{1}{3} (x - 2) = 3$ , deci $x - 2 = - 9$ și $x = - 7$ .

Răspuns: $x = - 7$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru scrierea condiției $x \circ 1 = 1 \circ x = 5$ și a ecuației, 2 puncte pentru $x = - 7$ .

6. (5 puncte)

Determinați numerele naturale $m$ și $p$ pentru care $2^{m} \circ 3^{p} = 4$ .

Rezolvare. Ecuația este $\frac{1}{3} (2^{m} - 2) (3^{p} - 2) + 2 = 4$ , adică $(2^{m} - 2) (3^{p} - 2) = 6$ . Numerele $2^{m} - 2$ și $3^{p} - 2$ sunt întregi, iar produsul lor este pozitiv. Cazul ambelor negative apare doar pentru $m = p = 0$ și dă produsul $1 \neq = 6$ . Rămân ambele pozitive: $2^{m} - 2$ trebuie să fie un divizor pozitiv al lui $6$ , deci $2^{m} \in {3, 4, 5, 8}$ , adică $m = 2$ sau $m = 3$ . Pentru $m = 2$ ar trebui $3^{p} - 2 = 3$ , adică $3^{p} = 5$ , imposibil. Pentru $m = 3$ se obține $3^{p} - 2 = 1$ , deci $p = 1$ . Verificare: $2^{3} \circ 3 = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 1 + 2 = 4$ .

Răspuns: $m = 3$ și $p = 1$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru reducerea la $(2^{m} - 2) (3^{p} - 2) = 6$ , 3 puncte pentru determinarea lui $m$ și $p$ .

Ce punctează baremul la Subiectul al II-lea. Fiecare cerință are 5 puncte; împărțirea este 3 + 2 la cerințele 1, 2 și 5, respectiv 2 + 3 la 3, 4 și 6. Se aplică regulile generale ale baremului: orice soluție corectă primește punctajul corespunzător, nu se acordă fracțiuni de punct, iar pentru rezolvări parțiale se pot acorda punctaje intermediare în limitele indicate. La cerințele 4 și 6 prima parte (2 puncte) este obținerea expresiei în care apar necunoscutele ( $N = \frac{10 - n ^{2}}{3}$ , respectiv $(2^{m} - 2) (3^{p} - 2) = 6$ ), iar restul punctajului revine determinării valorilor naturale ale necunoscutelor. La cerința 3 baremul cere ambele egalități, $x \circ 5 = x$ și $5 \circ x = x$ .

Lecțiile din spate: Legi de compoziție, Structuri algebrice — introducere

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $I_{2} = (1001)$ și $A (x) = (2 x 0 x - 3)$ , unde $x$ este număr real.

1. (5 puncte)

Arătați că $det (A (5)) = 4$ .

Rezolvare. Pentru $x = 5$ : $A (5) = (2502)$ , iar $det (A (5)) = 2 \cdot 2 - 0 \cdot 5 = 4$ .

Răspuns: $det (A (5)) = 4$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru $A (5)$ și scrierea determinantului, 2 puncte pentru calcul.

2. (5 puncte)

Determinați numărul real $x$ pentru care $3 A (5) - A (1) = 2 A (x)$ .

Rezolvare. $A (1) = (21 0 - 2)$ , deci $3 A (5) - A (1) = (61506) - (21 0 - 2) = (41408)$ . Această matrice este $2 A (7) = 2 (2704)$ . Ecuația $2 A (x) = 2 A (7)$ implică $A (x) = A (7)$ , de unde, din elementul de pe poziția $(2, 1)$ , $x = 7$ .

Răspuns: $x = 7$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru calculul lui $3 A (5) - A (1)$ și scrierea lui ca $2 A (7)$ , 2 puncte pentru $x = 7$ .

3. (5 puncte)

Determinați numărul real $m$ pentru care $A (4) \cdot A (4) + 2 I_{2} = m A (4)$ .

Rezolvare. $A (4) = (2401)$ și $A (4) \cdot A (4) = (41201)$ . Atunci $A (4) \cdot A (4) + 2 I_{2} = (61203) = 3 (2401) = 3 A (4)$ . Egalitatea $3 A (4) = m A (4)$ dă $m = 3$ .

Răspuns: $m = 3$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru calculul membrului stâng și scrierea lui ca $3 A (4)$ , 2 puncte pentru $m = 3$ .

4. (5 puncte)

Determinați numerele reale $x$ pentru care $det (A (x) + A (x^{2})) = 0$ .

Rezolvare. $A (x) + A (x^{2}) = (4 x + x^{2} 0 x + x^{2} - 6)$ . Matricea are zero deasupra diagonalei principale, deci determinantul este $4 (x + x^{2} - 6)$ . Ecuația $x^{2} + x - 6 = 0$ are discriminantul $25$ și soluțiile $x = \frac{- 1 \pm 5}{2}$ , adică $x = - 3$ și $x = 2$ .

Răspuns: $x \in {- 3, 2}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru matricea sumă și determinantul ei, 3 puncte pentru rezolvarea ecuației de gradul al doilea.

5. (5 puncte)

Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care suma elementelor matricei $A (x) \cdot A (a)$ este egală cu $b$ , pentru orice număr real $x$ .

Rezolvare. Produsul este $A (x) \cdot A (a) = (4 2 x + a x - 3 a 0 a x - 3 x - 3 a + 9)$ . Suma elementelor este $4 + 0 + 2 x + a x - 3 a + a x - 3 x - 3 a + 9 = 2 a x - x - 6 a + 13 = x (2 a - 1) - 6 a + 13$ . Această expresie este egală cu $b$ pentru orice $x$ real doar dacă termenul în $x$ dispare, adică $2 a - 1 = 0$ (dacă $2 a - 1 \neq = 0$ , expresia ar lua valori diferite pentru valori diferite ale lui $x$ ). Rezultă $a = \frac{1}{2}$ și $b = - 6 \cdot \frac{1}{2} + 13 = 10$ .

Răspuns: $a = \frac{1}{2}$ și $b = 10$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru suma elementelor, $2 a x - x - 6 a + 13$ , 3 puncte pentru condiția valabilă pentru orice $x$ și valorile $a$ și $b$ .

6. (5 puncte)

Se consideră matricea $B = (40)$ . Determinați matricea $C \in M_{2, 1} (R)$ pentru care $A (5) \cdot C = B$ .

Rezolvare. Fie $C = (a b)$ , cu $a, b$ reale. Atunci $A (5) \cdot C = (2502) (a b) = (2 a 5 a + 2 b)$ . Egalitatea cu $B$ dă sistemul $2 a = 4$ , $5 a + 2 b = 0$ , deci $a = 2$ și $b = - 5$ .

Răspuns: $C = (2 - 5)$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru produsul $A (5) \cdot C$ , 3 puncte pentru rezolvarea sistemului și matricea $C$ .

Ce punctează baremul la Subiectul al III-lea. Toate cele șase cerințe au 5 puncte; împărțirea este 3 + 2 la cerințele 1, 2 și 3, respectiv 2 + 3 la 4, 5 și 6. Se păstrează regulile generale: orice soluție corectă primește punctajul corespunzător, nu se acordă fracțiuni de punct și pot exista punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale. La cerințele 4, 5 și 6 prima parte (2 puncte) este calculul matricei sau al expresiei (suma matricelor, suma elementelor produsului, produsul $A (5) \cdot C$ ), iar cele 3 puncte rămase revin rezolvării ecuației sau a sistemului care urmează.

Lecțiile din spate: Matrice, Determinanți, Ecuații de gradul al doilea

Mai departe

Bacalaureat la matematică: programa, structura probei și lecțiile
Simulare Bac matematică 2026: subiectele de la simularea din 24 martie 2026
Simularea Bacalaureatului, pe probe

Întrebări frecvente

De ce a fost proba la matematică pe 1 iulie 2026, nu pe 30 iunie?

Ministerul Educației a mutat proba E.c) cu o zi, prin Ordinul 4.270 din 29.06.2026, după prognoza Administrației Naționale de Meteorologie de cod roșu de caniculă pentru 30 iunie. Celelalte date din calendarul examenului au rămas neschimbate.

Ce a venit la Subiectul al III-lea la matematică M_mate-info în iunie 2026?

Prima problemă a pornit de la funcția f(x) = (x³ − 4x)/(x² + 5): derivata, asimptota oblică spre +∞ și mulțimea valorilor m pentru care ecuația f(x) = m are exact trei soluții. A doua problemă a cerut integrale cu f(x) = (x² − 4)/(x ln x) și o limită cu integrală.

Câte profiluri de matematică au avut subiecte în 2026?

Patru: M_mate-info, M_șt-nat (științele naturii), M_tehnologic și M_pedagogic, atât în sesiunea iunie–iulie (Varianta 3), cât și în sesiunea din august (Varianta 4).

în contul tăuPremium

Încearcă simularea cu grile la matematică, cu timpul probei.

Simularea este o adaptare cu grile a probei, în cont: gratuit ai o simulare pe lună, iar cu Premium nu ai limită. Subiectele de pe această pagină rămân gratuite.

Vezi ce include Premium

Subiecte Bac matematică 2026: subiectele, baremul și rezolvarea

Documentele oficiale

Sesiunea iunie–iulie: 1 iulie 2026

Sesiunea din august: 11 august 2026

Datele probei

Matematică M_mate-info: sesiunea iunie–iulie 2026

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Matematică M_șt-nat (științele naturii): sesiunea iunie–iulie 2026

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Matematică M_tehnologic: sesiunea iunie–iulie 2026

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Matematică M_pedagogic: sesiunea iunie–iulie 2026

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Sesiunea din august 2026

Matematică M_mate-info: sesiunea august 2026

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Matematică M_șt-nat (științele naturii): sesiunea august 2026

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Matematică M_tehnologic: sesiunea august 2026

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Matematică M_pedagogic: sesiunea august 2026

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Mai departe

Întrebări frecvente