Operații cu numere complexe

Numerele complexe se adună pe componente: $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$. La înmulțire se distribuie și se folosește $i^2=-1$: $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$.

Exemplu rezolvat. Calculăm $(2+3i)(1-i)$.

1. Distribuim: $2-2i+3i-3i^2$.
2. Înlocuim $i^2$ cu $-1$.
3. Rezultă $5+i$.

Conjugatul lui $z=a+bi$ este $\bar{z}=a-bi$; punctele asociate sunt simetrice față de axa reală. Modulul $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ reprezintă distanța până la origine. Avem $|z|=0$ dacă și numai dacă $z=0$, iar $z\bar{z}=|z{|}^2$. Conjugarea respectă suma și produsul: $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$ și $\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}$. Pentru module, $|zw|=|z||w|$ și $\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}$, cu $w\ne 0$ în formula câtului. Împărțirea se face prin amplificarea cu conjugatul numitorului: pentru $w=c+di\ne 0$, $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$. Numitorul obținut este real strict pozitiv. Această transformare aduce câtul la forma algebrică și permite separarea părții reale de cea imaginară.

Pentru $z=a+bi$ avem $z+\bar{z}=2a$ și $z-\bar{z}=2bi$. Rezultă criteriile $z\in \mathbb{R}$ dacă și numai dacă $z=\bar{z}$, respectiv $z$ pur imaginar dacă și numai dacă $z=-\bar{z}$ (pentru $z\ne 0$). Inversul unui număr nenul este $z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$, deoarece $z\bar{z}=|z{|}^2$. De exemplu, pentru $z=2-3i$ avem $|z{|}^2=13$ și $z^{-1}=\frac{2+3i}{13}$; într-adevăr, $(2-3i)(2+3i)=4+9=13$. Geometric, adunarea se face după regula paralelogramului, iar $|z-w|$ este distanța dintre punctele asociate lui $z$ și $w$.

Câteva identități folosite des sunt $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$, $(a+bi{)}^2=a^2-b^2+2abi$ și $z^2+1=(z+i)(z-i)$, ultima arătând că suma de pătrate se descompune în factori de gradul întâi în $\mathbb{C}$. Cu ele, ecuația $z^2=w$ se rezolvă pe componente: dacă $z=x+yi$, egalitatea $z^2=w$ cere $x^2-y^2=\mathrm{Re}w$ și $2xy=\mathrm{Im}w$.

Exemplu rezolvat. Aflăm numerele $z$ cu $z^2=5+12i$.

1. Notăm $z=x+yi$ cu $x,y\in \mathbb{R}$; atunci $z^2=x^2-y^2+2xyi$.
2. Egalând părțile reale și imaginare, obținem $x^2-y^2=5$ și $2xy=12$, adică $xy=6$.
3. Cum $|z{|}^2=|5+12i|=13$, avem și $x^2+y^2=13$; împreună cu $x^2-y^2=5$ rezultă $x^2=9$ și $y^2=4$.
4. Din $xy=6>0$, numerele $x$ și $y$ au același semn: $z=3+2i$ sau $z=-3-2i$. Verificare: $(3+2i{)}^2=9-4+12i=5+12i$.

Exemplu rezolvat. Determinăm $z\in \mathbb{C}$ din $2z+3\bar{z}=5-4i$.

1. Notăm $z=x+yi$, cu $x,y\in \mathbb{R}$; atunci $\bar{z}=x-yi$.
2. $2z+3\bar{z}=2x+2yi+3x-3yi=5x-yi$.
3. Din $5x-yi=5-4i$ rezultă $5x=5$ și $-y=-4$, deci $x=1$ și $y=4$.
4. Soluția este $z=1+4i$. Verificare: $2(1+4i)+3(1-4i)=5-4i$.

Exemplu rezolvat. Verificăm multiplicativitatea modulului pentru $z=1+2i$ și $w=3-i$.

1. Produsul este $zw=3-i+6i-2i^2=5+5i$, deci $|zw|=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$.
2. Modulele factorilor sunt $|z|=\sqrt{5}$ și $|w|=\sqrt{10}$.
3. Produsul lor este $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, egal cu $|zw|$.

Distanța dintre punctele asociate numerelor $1+2i$ și $4-2i$ este $|(1+2i)-(4-2i)|=|-3+4i|=5$.

Exemplu rezolvat. Calculăm $(1+i{)}^{10}$. Avem $(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$, deci $(1+i{)}^{10}=(2i{)}^5=32i^5=32i$. Pentru $(1+i{)}^8$ rezultă $(2i{)}^4=16$, iar $|1+i{|}^8=(\sqrt{2}{)}^8=16$ confirmă modulul rezultatului.

Conjugat și modul, pas cu pas. Pentru $z=-3+4i$, avem $\bar{z}=-3-4i$. Calculăm $|z|=\sqrt{9+16}=5$ și $z\bar{z}=(-3{)}^2+4^2=25=|z{|}^2$. Punctele $(-3;4)$ și $(-3;-4)$ sunt simetrice față de axa reală.

Exemplu rezolvat. Calculăm $\frac{3+i}{1-i}$.

1. Numitorul este nenul; conjugatul său este $1+i$.
2. Amplificăm fracția: $\frac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$.
3. Numărătorul este $3+4i+i^2=2+4i$, iar numitorul este $1-i^2=2$.
4. Împărțim ambii termeni la $2$ și obținem $1+2i$. Înmulțirea $(1+2i)(1-i)=3+i$ confirmă rezultatul.

Exemplu rezolvat. Calculăm $S=1+i+i^2+\cdots +i^{2026}$.

1. Puterile lui $i$ se repetă din patru în patru: $1,i,-1,-i$, cu suma $0$ pe fiecare grup.
2. Suma are $2027=4\cdot 506+3$ termeni, deci primii $2024$ se anulează.
3. Rămân $i^{2024}+i^{2025}+i^{2026}=1+i-1=i$.

La admitere, operațiile cu numere complexe apar în expresii de forma câtului ridicat la putere. Strategia este aceeași: aduci mai întâi câtul la forma $a+bi$ prin amplificare cu conjugatul, apoi folosești ciclul puterilor lui $i$. Dacă expresia conține $z$ și $\bar{z}$ în aceeași ecuație, scrii $z=x+yi$ și egalezi părțile reale și imaginare. Dacă ecuația conține $z+\frac{1}{z}$, o aduci la o ecuație de gradul al doilea în $z$ și cauți o putere a lui $z$ egală cu $1$ sau $-1$.

Problemă. Valoarea expresiei ${\left(\frac{1+2i}{2-i}\right)}^{2026}$ este:

• a) $1$
• b) $-1$
• c) $i$
• d) $-i$
• e) $0$
• f) $2026$

Rezolvare. Amplificăm cu conjugatul numitorului, $2+i$: numărătorul este $(1+2i)(2+i)=2+i+4i+2i^2=5i$, iar numitorul este $(2-i)(2+i)=4+1=5$. Deci câtul este $i$. Deoarece $2026=4\cdot 506+2$, avem $i^{2026}=i^2=-1$, răspunsul b). Varianta a) rezultă din $i^{2026}=i^0$, adică din ignorarea restului împărțirii la $4$. Varianta c) folosește restul $1$, adică citește exponentul ca $2026\equiv 1$. Varianta d) folosește restul $3$. Varianta e) apare la cine confundă $i$ cu partea sa reală $0$ și ridică $0$ la putere. Varianta f) este exponentul, nu valoarea expresiei.

Alt exemplu. Calculăm $(1+i{)}^8+i^{2026}$. Mai întâi $(1+i{)}^2=2i$, apoi $(1+i{)}^4=-4$ și $(1+i{)}^8=16$. Deoarece $2026=4\cdot 506+2$, avem $i^{2026}=-1$. Suma cerută este $16-1=15$.

Alt exemplu. Dacă $z\in \mathbb{C}$ și $z+\frac{1}{z}=1$, calculăm $z^{2026}$. Din $z^2-z+1=0$ și $z^3+1=(z+1)(z^2-z+1)$ rezultă $z^3=-1$. Cum $2026=3\cdot 675+1$, avem $z^{2026}=(z^3{)}^{675}\cdot z=(-1{)}^{675}z=-z$. Ecuația $z^2-z+1=0$ dă $z=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$, deci $z^{2026}=\frac{-1\mp i\sqrt{3}}{2}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $(2+i)(3-i)=6-i$.
  Corect: dezvoltarea dă $6-2i+3i-i^2=7+i$.
• Greșit: $\frac{3+i}{1-i}$ se amplifică doar la numitor.
  Corect: și numărătorul se înmulțește cu $1+i$, iar rezultatul este $1+2i$.
• Greșit: $(1+i{)}^2=1+i^2=0$.
  Corect: $(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$; termenul din mijloc nu dispare.
• Greșit: $z^2=|z{|}^2$.
  Corect: egalitatea corectă este $z\bar{z}=|z{|}^2$; de exemplu, pentru $z=i$ avem $z^2=-1$, dar $|z{|}^2=1$.
• Greșit: $|3+4i|=3+4=7$.
  Corect: $|3+4i|=\sqrt{9+16}=5$.

Înainte și după