Valori trigonometrice remarcabile

Valorile uzuale pentru unghiurile din primul cadran și de pe axele care îl mărginesc sunt:

Tangenta este sinusul împărțit la cosinus, iar cotangenta cosinusul împărțit la sinus; un numitor nul face raportul nedefinit. Pentru a reține tabelul: sinusurile unghiurilor $0^{\circ };30^{\circ };45^{\circ };60^{\circ };90^{\circ }$ sunt $\frac{\sqrt{0}}{2};\frac{\sqrt{1}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{4}}{2}$, iar cosinusurile sunt aceleași numere în ordine inversă.

Exemplu rezolvat. Calculăm $\sin 60^{\circ }+\cos 60^{\circ }$.

1. Din triunghiul echilateral înjumătățit, $\sin 60^{\circ }=\sqrt{3}/2$.
2. $\cos 60^{\circ }=1/2$.
3. Suma este $(\sqrt{3}+1)/2$.

Valorile din tabel se deduc din triunghiuri speciale. Înjumătățirea unui triunghi echilateral de latură $2$ produce un triunghi dreptunghic cu catetele $1$ și $\sqrt{3}$. Un triunghi dreptunghic isoscel cu catetele $1$ are ipotenuza $\sqrt{2}$. Rapoartele laturilor justifică valorile, fără aproximări zecimale.

Valorile de pe axe se citesc din punctele $(1;0)$, $(0;1)$, $(-1;0)$ și $(0;-1)$ ale cercului trigonometric. Pentru $\pi$: $\sin \pi =0$, $\cos \pi =-1$, $\mathrm{tg}\pi =0$, iar $\mathrm{ctg}\pi$ nu există. Pentru $\frac{3\pi }{2}$: $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$, $\cos \frac{3\pi }{2}=0$, $\mathrm{ctg}\frac{3\pi }{2}=0$, iar $\mathrm{tg}\frac{3\pi }{2}$ nu există. La $2\pi$ valorile sunt cele de la $0$.

Reducerea la primul cadran. Un unghi se scrie sub forma $k\cdot \frac{\pi }{2}\pm x$, cu $k\in \mathbb{Z}$ și $0<x<\frac{\pi }{2}$. Dacă $k$ este par, funcția rămâne aceeași; dacă $k$ este impar, $\sin$ devine $\cos$ și invers, iar $\mathrm{tg}$ devine $\mathrm{ctg}$ și invers. Semnul este cel pe care îl are funcția inițială în cadranul unghiului dat, când $x$ se privește ca unghi ascuțit. Tabelul adună cazurile uzuale, cu argumentele în radiani.

Pentru $k\in \mathbb{Z}$, periodicitatea dă $\sin (x+2k\pi )=\sin x$, $\cos (x+2k\pi )=\cos x$, $\mathrm{tg}(x+k\pi )=\mathrm{tg}x$ și $\mathrm{ctg}(x+k\pi )=\mathrm{ctg}x$, pe domeniile funcțiilor. Un unghi mare se aduce întâi în $[0;2\pi )$ prin această periodicitate, apoi se aplică tabelul.

Exemplu rezolvat. Calculăm sinusul, tangenta și cotangenta pentru $210^{\circ }=7\pi /6$.

1. Scriem $7\pi /6=\pi +\pi /6$; unghiul este în cadranul III.
2. Aplicăm formulele: $\sin (7\pi /6)=-\sin (\pi /6)=-1/2$ și $\cos (7\pi /6)=-\cos (\pi /6)=-\sqrt{3}/2$.
3. Rezultă $\mathrm{tg}(7\pi /6)=\mathrm{tg}(\pi /6)=\sqrt{3}/3$.
4. Cotangenta este $\mathrm{ctg}(7\pi /6)=\mathrm{ctg}(\pi /6)=\sqrt{3}$; produsul tangentei cu cotangenta este $1$.

Exemplu rezolvat. Calculăm $S=\sin 120^{\circ }+\cos 150^{\circ }+\mathrm{tg}225^{\circ }+\mathrm{ctg}300^{\circ }$.

1. $120^{\circ }=180^{\circ }-60^{\circ }$ este în cadranul II: $\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. $150^{\circ }=180^{\circ }-30^{\circ }$ este în cadranul II, unde cosinusul este negativ: $\cos 150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
3. $225^{\circ }=180^{\circ }+45^{\circ }$ este în cadranul III, unde tangenta este pozitivă: $\mathrm{tg}225^{\circ }=\mathrm{tg}45^{\circ }=1$.
4. $300^{\circ }=360^{\circ }-60^{\circ }$ este în cadranul IV, unde cotangenta este negativă: $\mathrm{ctg}300^{\circ }=-\mathrm{ctg}60^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
5. Suma este $S=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}+1-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3-\sqrt{3}}{3}$.

Exemplu rezolvat. Calculăm $\cos \frac{19\pi }{4}$ și $\mathrm{tg}\left(-\frac{5\pi }{3}\right)$.

1. Scriem $\frac{19\pi }{4}=4\pi +\frac{3\pi }{4}$, iar $4\pi$ este multiplu de $2\pi$, deci $\cos \frac{19\pi }{4}=\cos \frac{3\pi }{4}$.
2. Unghiul $\frac{3\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{4}$ este în cadranul II, unde cosinusul este negativ: $\cos \frac{3\pi }{4}=-\cos \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
3. Pentru tangentă, $-\frac{5\pi }{3}+2\pi =\frac{\pi }{3}$, iar $2\pi$ este multiplu al perioadei $\pi$: $\mathrm{tg}\left(-\frac{5\pi }{3}\right)=\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$.

Exemplu rezolvat. Simplificăm $E=\sin (\pi -x)\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\cos (\pi +x)\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$ pentru $0<x<\frac{\pi }{2}$ și calculăm $E$ la $x=\frac{\pi }{3}$.

1. $\pi -x$ are $k=2$, par: $\sin (\pi -x)=\sin x$. Unghiul $\frac{\pi }{2}-x$ are $k=1$, impar, și este în cadranul I: $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$.
2. Unghiul $\pi +x$ este în cadranul III, unde cosinusul este negativ: $\cos (\pi +x)=-\cos x$. Unghiul $\frac{\pi }{2}+x$ are $k=1$ și este în cadranul II, unde sinusul este pozitiv: $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x$.
3. Rezultă $E={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x$, iar pentru $x=\frac{\pi }{3}$ obținem $\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $\sin 210^{\circ }=1/2$ prin păstrarea semnului din primul cadran.
  Corect: în cadranul al treilea sinusul este negativ.
• Greșit: $\mathrm{tg}30^{\circ }=\sqrt{3}$.
  Corect: $\mathrm{tg}30^{\circ }=\sqrt{3}/3$; valoarea $\sqrt{3}$ aparține lui $\mathrm{tg}60^{\circ }$ și lui $\mathrm{ctg}30^{\circ }$.
• Greșit: $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\sin x$, deoarece unghiul este tot în partea de sus a cercului.
  Corect: $\frac{\pi }{2}$ este un număr impar de unghiuri drepte, deci funcția se schimbă: $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x$.
• Greșit: $\mathrm{tg}(\pi -x)=\mathrm{tg}x$, prin analogie cu $\mathrm{tg}(\pi +x)=\mathrm{tg}x$.
  Corect: în cadranul II tangenta este negativă, deci $\mathrm{tg}(\pi -x)=-\mathrm{tg}x$.

Înainte și după

Întrebări frecvente