Asimptotele graficului

O asimptotă este o dreaptă de care graficul funcției se apropie oricât de mult, când punctul graficului se îndepărtează de origine. Sunt trei tipuri. Dreapta $x=a$ este asimptotă verticală dacă cel puțin una dintre limitele laterale ale lui $f$ în $a$ este $+\infty$ sau $-\infty$. Dreapta $y=L$ este asimptotă orizontală la $+\infty$ (respectiv la $-\infty$) dacă ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=L$ (respectiv ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=L$), cu $L$ număr real. Dreapta $y=mx+n$, cu $m\ne 0$, este asimptotă oblică la $\pm \infty$ dacă $m={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{f(x)}{x}$ este un număr real nenul și $n={\lim }_{x\to \pm \infty }(f(x)-mx)$ este un număr real.

Exemplu rezolvat. Căutăm asimptotele funcției $f(x)=\frac{1}{x}$.

1. Pentru $x\to 0$, $x>0$, avem $f(x)\to +\infty$, deci $x=0$ este asimptotă verticală.
2. Pentru $x\to +\infty$, $\frac{1}{x}\to 0$; la fel pentru $x\to -\infty$.
3. Dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală la $+\infty$ și la $-\infty$.

Asimptote verticale. Candidații sunt capetele finite ale intervalelor domeniului care nu aparțin domeniului, de exemplu zerourile numitorului sau punctul $0$ pentru $\ln x$, și punctele în care o funcție definită pe ramuri este discontinuă. O funcție continuă într-un punct nu are asimptotă verticală în acel punct, deci polinoamele, $\sin$, $\cos$ și $e^x$ nu au asimptote verticale. Pentru $f(x)=\ln x$, domeniul este $(0;+\infty )$ și ${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$, deci $x=0$ este asimptotă verticală, studiată numai spre dreapta.

Asimptote orizontale și oblice. La fiecare capăt, $+\infty$ și $-\infty$, funcția are cel mult o asimptotă orizontală sau oblică, deoarece dreapta de care se apropie graficul la acel capăt este unică; asimptota orizontală corespunde valorii $m=0$ în formulele de mai sus. Cele două capete se studiază separat, iar dreptele găsite pot fi diferite. Dreapta $y=mx+n$ este asimptotă oblică la $+\infty$ dacă și numai dacă ${\lim }_{x\to +\infty }(f(x)-mx-n)=0$, adică distanța pe verticală dintre grafic și dreaptă tinde la zero. Dacă $m$ există și $n$ este infinit, graficul nu are asimptotă la acel capăt.

Funcții raționale. Fie $f=\frac{P}{Q}$ cu polinoame prime între ele. Zerourile reale ale lui $Q$ dau asimptote verticale. Dacă $\mathrm{grad}P<\mathrm{grad}Q$, atunci $y=0$ este asimptotă orizontală; dacă gradele sunt egale, asimptota orizontală este $y=\frac{a}{b}$, cu $a$ și $b$ coeficienții dominanți ai lui $P$ și $Q$; dacă $\mathrm{grad}P=\mathrm{grad}Q+1$, există asimptotă oblică, obținută prin împărțirea polinoamelor; dacă $\mathrm{grad}P\ge \mathrm{grad}Q+2$, nu există asimptotă orizontală sau oblică.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=\frac{2x^2+1}{x-1}$, împărțirea dă $f(x)=2x+2+\frac{3}{x-1}$. Ultimul termen tinde la $0$ când $x\to \pm \infty$, deci $y=2x+2$ este asimptotă oblică la ambele capete. În $x=1$, numărătorul tinde la $3$, iar numitorul la $0$ cu semne diferite pe cele două părți, deci limitele laterale sunt $-\infty$ la stânga și $+\infty$ la dreapta, iar $x=1$ este asimptotă verticală.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=\sqrt{x^2+2x}$, domeniul este $(-\infty ;-2]\cup [0;+\infty )$. Funcția este continuă pe domeniu, deci nu are asimptote verticale. La $+\infty$: $m=\lim \frac{\sqrt{x^2+2x}}{x}=1$ și $n=\lim (\sqrt{x^2+2x}-x)=\lim \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}=1$, deci $y=x+1$. La $-\infty$ avem $\sqrt{x^2}=-x$: $m=\lim \frac{\sqrt{x^2+2x}}{x}=-1$ și $n=\lim (\sqrt{x^2+2x}+x)=\lim \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}-x}=-1$, deci $y=-x-1$. Cele două asimptote oblice sunt diferite.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=x+\ln x$, domeniul este $(0;+\infty )$ și ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$, deci $x=0$ este asimptotă verticală. La $+\infty$, $m=\lim \left(1+\frac{\ln x}{x}\right)=1$, dar $n=\lim \ln x=+\infty$. Cum $n$ nu este număr real, graficul nu are asimptotă oblică la $+\infty$, deși $m$ există.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=\frac{e^x}{e^x+1}$, numitorul este pozitiv pe $\mathbb{R}$, deci nu există asimptote verticale. La $-\infty$, $e^x\to 0$ și $f(x)\to \frac{0}{1}=0$, deci $y=0$ este asimptotă orizontală spre stânga. La $+\infty$, $f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}\to 1$, deci $y=1$ este asimptotă orizontală spre dreapta. Cele două asimptote orizontale sunt diferite. Funcția $\mathrm{tg}x$ are, în schimb, asimptote verticale $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, deoarece $\cos x$ se anulează în aceste puncte, iar $\sin x\ne 0$ acolo.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=x+\mathrm{arctg}x$, domeniul este $\mathbb{R}$ și funcția este continuă, deci nu există asimptote verticale. Avem $m={\lim }_{x\to \pm \infty }\left(1+\frac{\mathrm{arctg}x}{x}\right)=1$, deoarece $\mathrm{arctg}x$ este mărginită. Pentru constantă, $n={\lim }_{x\to +\infty }\mathrm{arctg}x=\frac{\pi }{2}$ și $n={\lim }_{x\to -\infty }\mathrm{arctg}x=-\frac{\pi }{2}$. Asimptotele sunt $y=x+\frac{\pi }{2}$ la $+\infty$ și $y=x-\frac{\pi }{2}$ la $-\infty$, două drepte paralele.

La o fracție cu numărătorul de un grad mai mare cu $1$ decât numitorul, constanta $n$ din asimptota oblică se află cel mai sigur prin împărțirea polinoamelor; ea nu se citește direct din numărător.

Problemă. Asimptota oblică la $+\infty$ a graficului funcției $f(x)=\frac{x^2+3x}{x-1}$ este:

• a) $y=x+3$
• b) $y=x+4$
• c) $y=x$
• d) $y=x-4$
• e) $y=x-1$
• f) graficul nu are asimptotă oblică

Rezolvare. Împărțim: $x^2+3x=(x-1)(x+4)+4$, deci $f(x)=x+4+\frac{4}{x-1}$. Termenul $\frac{4}{x-1}$ tinde la $0$, deci $m=1$ și $n=\lim (f(x)-x)=4$, iar asimptota este $y=x+4$. Numeric, pentru $x=1000$ diferența $f(x)-x$ este aproximativ $4,004$. Răspunsul corect este b). Varianta a) citește constanta $3$ din numărător. Varianta c) calculează $m=1$ și uită să calculeze $n$. Varianta d) schimbă semnul în $\lim \frac{4x}{x-1}$. Varianta e) copiază numitorul $x-1$. Varianta f) conchide din gradul $2$ al numărătorului că nu există asimptotă, deși gradul este doar cu $1$ mai mare decât cel al numitorului.

Alt exemplu. Determinăm numărul asimptotelor graficului $f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}$. Numitorul se anulează în $\pm 2$, iar numărătorul nu, deci $x=2$ și $x=-2$ sunt asimptote verticale (de pildă, $f$ tinde la $+\infty$ pentru $x\to 2$, $x>2$). Gradul numărătorului depășește cu $1$ pe cel al numitorului: $f(x)=x+\frac{2}{x+2}+\frac{2}{x-2}$, deci $m=1$, $n=0$ la ambele capete și $y=x$ este asimptotă oblică, aceeași la $+\infty$ și $-\infty$. Graficul are trei asimptote.

Alt exemplu. Aflăm $a$ pentru care dreapta $y=2x+1$ este asimptotă oblică la $+\infty$ a lui $f(x)=\sqrt{4x^2+ax+5}$. Avem $m=\lim \frac{f(x)}{x}=2$. Constanta este $n=\lim (\sqrt{4x^2+ax+5}-2x)=\lim \frac{ax+5}{\sqrt{4x^2+ax+5}+2x}=\frac{a}{4}$. Condiția $\frac{a}{4}=1$ dă $a=4$.

Greșeli frecvente

• Greșit: orice zero al numitorului este asimptotă verticală.
  Corect: limita trebuie să fie infinită pe cel puțin o parte; pentru $\frac{x^2-1}{x-1}$, zeroul $x=1$ nu dă asimptotă, fiindcă limita este $2$.
• Greșit: asimptotele la $+\infty$ și la $-\infty$ sunt neapărat aceleași.
  Corect: se calculează separat; $\sqrt{x^2+2x}$ are $y=x+1$ la $+\infty$ și $y=-x-1$ la $-\infty$.
• Greșit: graficul nu poate intersecta o asimptotă orizontală.
  Corect: o poate intersecta la valori finite ale lui $x$; $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ are asimptota $y=0$ și trece prin origine.
• Greșit: dacă $\lim \frac{f(x)}{x}=1$, atunci $y=x$ este asimptotă.
  Corect: trebuie ca și $n=\lim (f(x)-x)$ să fie finit; $f(x)=x+\ln x$ nu are asimptotă oblică.
• Greșit: funcția $\ln x$ are asimptota verticală $x=0$ la stânga și la dreapta.
  Corect: domeniul este $(0;+\infty )$, deci se studiază numai limita la dreapta.

Înainte și după

Întrebări frecvente