Monotonia prin derivată

Pe un interval, dacă $f^{\prime }(x)>0$ peste tot, $f$ este strict crescătoare; dacă $f^{\prime }(x)<0$, este strict descrescătoare. Dacă $f^{\prime }(x)\ge 0$ pe tot intervalul, $f$ este crescătoare, iar dacă $f^{\prime }(x)\le 0$, descrescătoare. Semnul derivatei se stabilește după găsirea punctelor unde ea se anulează ori nu există, ținând cont de domeniul funcției.

Exemplu rezolvat. Studiem $f(x)=x^2$.

1. $f^{\prime }(x)=2x$.
2. Pentru $x<0$, derivata este negativă; pentru $x>0$, pozitivă.
3. Funcția descrește pe $(-\infty ;0]$ și crește pe $[0;\infty )$.

Fie $f$ continuă pe un interval $I$ și derivabilă pe interiorul lui. Atunci $f$ este crescătoare pe $I$ dacă și numai dacă $f^{\prime }(x)\ge 0$ în interiorul lui $I$, și descrescătoare dacă și numai dacă $f^{\prime }(x)\le 0$. Dacă $f^{\prime }(x)>0$ peste tot în interior, $f$ este strict crescătoare; același lucru se întâmplă când $f^{\prime }\ge 0$ și $f^{\prime }$ se anulează doar în puncte izolate. Reciproca strictă este falsă: $x^3$ este strict crescătoare, dar $f^{\prime }(0)=0$.

Justificarea folosește teorema lui Lagrange: pentru $x<y$ din $I$ există $c\in (x;y)$ cu $f(y)-f(x)=f^{\prime }(c)(y-x)$, iar semnul diferenței este semnul lui $f^{\prime }(c)$, deoarece $y-x>0$. Continuitatea contează în punctele unde derivata nu există: $\sqrt[3]{x}$ are derivata infinită în $0$, dar, fiind continuă, este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

Intervalele de monotonie se află astfel:

1. se stabilește domeniul, ca reuniune de intervale;
2. se calculează $f^{\prime }$ și se află punctele unde $f^{\prime }=0$ sau $f^{\prime }$ nu există;
3. se scrie semnul lui $f^{\prime }$ pe fiecare interval determinat de aceste puncte;
4. se formulează concluzia pe fiecare interval, incluzând un capăt dacă funcția este continuă în el.

Dacă $f$ este continuă în $x_0$ și $f^{\prime }$ își schimbă semnul în $x_0$, punctul $x_0$ este punct de extrem local; criteriul complet este în lecția „Extremele funcțiilor”. O funcție strict monotonă este injectivă, de aceea monotonia dovedește că o ecuație $f(x)=k$ are cel mult o soluție.

Un punct exclus din domeniu separă intervalele de studiu, chiar dacă derivata are același semn de ambele părți: monotonia se enunță pe fiecare interval separat, nu pe reuniune.

Exemplu rezolvat. Studiem $f(x)=x^3-3x$.

1. Derivata este $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x+1)$ și se anulează pentru $x\in \{-1;1\}$.
2. Semnele sunt plus pe $(-\infty ;-1)$, minus pe $(-1;1)$ și plus pe $(1;+\infty )$.
3. Funcția crește pe $(-\infty ;-1]$, descrește pe $[-1;1]$ și crește pe $[1;+\infty )$.
4. Valorile din puncte sunt $f(-1)=2$ și $f(1)=-2$.

Concluzia se verifică cu valori din fiecare interval. Pentru $f(x)=x^3-3x$ avem $f(-2)=-2<f(-1)=2$ (creștere), apoi $f(-1)=2>f(0)=0>f(1)=-2$ (descreștere). Capetele se includ în intervale deoarece funcția este continuă acolo: la $x^2$, derivata $2x$ este negativă pe $(-\infty ;0)$, iar funcția este continuă în $0$, deci $x^2$ descrește pe $(-\infty ;0]$, deși $f^{\prime }(0)=0$. Includerea capătului este justificată de enunțul teoremei, care cere continuitate pe intervalul închis și derivabilitate numai în interior.

Exemplu rezolvat. Studiem $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ pe $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

1. $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ pentru orice $x\ne 1$.
2. Funcția este strict descrescătoare pe $(-\infty ;1)$ și pe $(1;+\infty )$, separat.
3. Nu este descrescătoare pe tot domeniul: $f(0)=-1<3=f(2)$.

Exemplu rezolvat. Ecuația $x^3+x=10$ are o singură soluție reală. Funcția $f(x)=x^3+x$ are $f^{\prime }(x)=3x^2+1>0$, deci este strict crescătoare, adică injectivă. Valoarea $f(2)=10$ arată că soluția este $x=2$.

Exemplu rezolvat. Demonstrăm că $e^x>1+x$ pentru orice $x>0$.

1. Considerăm $g(x)=e^x-1-x$, cu $g(0)=0$.
2. Derivata $g^{\prime }(x)=e^x-1$ este pozitivă pentru $x>0$, deci $g$ este strict crescătoare pe $[0;+\infty )$.
3. Pentru $x>0$ rezultă $g(x)>g(0)=0$, adică $e^x>1+x$.

Monotonia pe $\mathbb{R}$ cu un parametru se reduce la un semn constant al derivatei. Pentru o derivată de gradul al doilea, cu coeficientul dominant pozitiv, condiția $f^{\prime }(x)\ge 0$ pentru orice $x$ este echivalentă cu $\Delta \le 0$. Dacă $\Delta >0$, derivata are două rădăcini distincte și își schimbă semnul, deci funcția nu mai este monotonă pe $\mathbb{R}$; dacă $\Delta =0$, rădăcina este dublă și semnul rămâne constant.

Problemă. Funcția $f(x)=x^3-3x^2+ax+1$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$ dacă și numai dacă $a$ aparține mulțimii:

• a) $[0;+\infty )$
• b) $(3;+\infty )$
• c) $[12;+\infty )$
• d) $[3;+\infty )$
• e) $(-\infty ;3]$
• f) $[-3;+\infty )$

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=3x^2-6x+a$, cu coeficientul dominant $3>0$. Condiția $f^{\prime }(x)\ge 0$ pentru orice $x$ cere $\Delta =36-12a\le 0$, adică $a\ge 3$. Pentru $a=3$ avem $f^{\prime }(x)=3(x-1{)}^2\ge 0$, cu un singur zero, deci funcția rămâne crescătoare. Răspunsul corect este d). Varianta a) verifică numai $f^{\prime }(0)=a\ge 0$. Varianta b) exclude valoarea $a=3$. Varianta c) scrie $\Delta =36-3a$, uitând factorul $4$. Varianta e) inversează sensul inegalității. Varianta f) mută termenul $36$ fără a schimba semnul: $12a\ge -36$.

Alt exemplu. Funcția $f(x)=x^2-2\ln x$, definită pe $(0;+\infty )$, are $f^{\prime }(x)=2x-\frac{2}{x}=\frac{2(x-1)(x+1)}{x}$. Pe $(0;+\infty )$, factorii $x$ și $x+1$ sunt pozitivi, deci semnul este cel al lui $x-1$. Funcția descrește pe $(0;1]$ și crește pe $[1;+\infty )$, iar valoarea minimă este $f(1)=1$.

Alt exemplu. Funcția $f(x)=x-\sin x$ are $f^{\prime }(x)=1-\cos x\ge 0$, iar $f^{\prime }$ se anulează numai în punctele izolate $2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Deci $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, iar ecuația $x-\sin x=0$, care are soluția $x=0$, nu are altă soluție reală.

Greșeli frecvente

• Greșit: la $f(x)=x^3$, anularea derivatei în zero produce un extrem.
  Corect: derivata este pozitivă de ambele părți, iar funcția continuă să crească.
• Greșit: $\frac{1}{x}$ este descrescătoare pe întregul său domeniu fiindcă derivata este negativă.
  Corect: descrește separat pe fiecare interval; pentru $-1<1$ avem $f(-1)=-1<1=f(1)$, deci valorile cresc.
• Greșit: dacă $f$ este strict crescătoare, atunci $f^{\prime }(x)>0$ peste tot.
  Corect: $x^3$ este strict crescătoare, dar $f^{\prime }(0)=0$.
• Greșit: pentru $f(x)=x^3-3x$, derivata se anulează în $\pm 1$, deci $f$ crește pe $[-1;1]$.
  Corect: semnul se citește din tabel, nu din zerouri; pe $(-1;1)$ avem $f^{\prime }<0$, deci $f$ descrește.

Înainte și după

Întrebări frecvente