Ecuații cu radicali

Într-o ecuație cu radical, numită și ecuație irațională, necunoscuta apare sub semnul rădăcinii. Un radical de ordin par există numai pentru radicand nenegativ și are valoare nenegativă: $\sqrt{9}=3$, nu $\pm 3$. De aceea, ecuația $\sqrt{f(x)}=g(x)$ are soluții numai pentru valorile lui $x$ cu $f(x)\ge 0$ și $g(x)\ge 0$.

Metoda este ridicarea la pătrat, care elimină radicalul. Ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă: din $A=B$ rezultă $A^2=B^2$, dar din $A^2=B^2$ rezultă doar $A=B$ sau $A=-B$. Ecuația $\sqrt{f(x)}=g(x)$ este echivalentă cu sistemul format din $g(x)\ge 0$ și $f(x)=g(x{)}^2$. Soluțiile care nu respectă condiția $g(x)\ge 0$ se numesc soluții străine și se resping; ele se descoperă prin condiții notate înainte sau prin verificare în ecuația inițială.

Radicalii de ordin impar, cum este radicalul cubic, nu pun condiții de existență, iar ridicarea la putere impară este echivalentă. Tipurile mai complicate, cu doi radicali sau cu substituție, sunt prezentate în secțiunea următoare.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $\sqrt{x+1}=x-1$.

1. Condițiile dau $x+1\ge 0$ și $x-1\ge 0$, deci $x\ge 1$.
2. Ridicăm la pătrat: $x+1=x^2-2x+1$, adică $x(x-3)=0$.
3. Candidații sunt $0$ și $3$; numai $3$ respectă $x\ge 1$.
4. Verificăm: $\sqrt{3+1}=2$ și $3-1=2$.

Soluția este $x=3$.

Rădăcinile de ordin par impun radicand nenegativ; cele de ordin impar sunt definite pentru orice radicand real. O ecuație cu radical pătrat se rezolvă în patru pași:

1. Se notează condițiile de existență ale radicalilor și, la $\sqrt{f(x)}=g(x)$, condiția $g(x)\ge 0$.
2. Se izolează radicalul într-un membru.
3. Se ridică ambii membri la pătrat; dacă rămâne un radical, pașii 2 și 3 se repetă.
4. Se rezolvă ecuația obținută și se păstrează numai valorile care respectă condițiile, apoi se verifică în ecuația inițială.

Condiția $f(x)\ge 0$ nu trebuie notată separat în $\sqrt{f(x)}=g(x)$: din $f(x)=g(x{)}^2$ rezultă automat $f(x)\ge 0$. Pentru $\sqrt[3]{f(x)}=g(x)$, ridicarea la cub este echivalentă pe $\mathbb{R}$, deoarece funcția cubică este strict crescătoare. Dacă într-un membru apare un radical de ordin par egalat cu o valoare negativă, ecuația nu are soluții și nu mai trebuie calculat nimic: $\sqrt{x-3}=-2$ este imposibilă, pentru că un radical pătrat nu este negativ.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $\sqrt[3]{x-1}=2$.

1. Ridicăm la cub: $x-1=8$.
2. Obținem $x=9$.
3. Verificăm $\sqrt[3]{8}=2$.

Ecuația $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ este echivalentă cu $f(x)=g(x)$ și $f(x)\ge 0$; condiția $g(x)\ge 0$ rezultă din egalitate, deci ajunge să fie verificată una dintre cele două expresii de sub radical. Exemplu rezolvat. Rezolvă $\sqrt{x+3}=\sqrt{2x-1}$. Egalăm radicanzii: $x+3=2x-1$, deci $x=4$. Condițiile sunt îndeplinite: $4+3=7\ge 0$ și $2\cdot 4-1=7\ge 0$. Soluția este $x=4$.

La doi radicali pătrați într-o sumă, izolăm unul înainte de pătrare, pentru că astfel calculul se scurtează, iar fiecare pătrare adaugă candidați care trebuie verificați. Exemplu rezolvat. Rezolvăm $\sqrt{x+4}+\sqrt{x}=4$. Domeniul este $x\ge 0$. Izolăm $\sqrt{x+4}=4-\sqrt{x}$, cu $4-\sqrt{x}\ge 0$, adică $x\le 16$. Pătrăm: $x+4=16-8\sqrt{x}+x$, de unde $\sqrt{x}=\frac{3}{2}$ și $x=\frac{9}{4}$. Verificăm în ecuația inițială: $\sqrt{\frac{25}{4}}+\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}=4$. Soluția este $x=\frac{9}{4}$.

Când ecuația conține atât $x$, cât și $\sqrt{x}$, se folosește substituția $t=\sqrt{x}$, cu $t\ge 0$. Exemplu rezolvat. Rezolvă $x+\sqrt{x}-6=0$.

1. Punem $t=\sqrt{x}\ge 0$; atunci $x=t^2$ și ecuația devine $t^2+t-6=0$.
2. Factorizăm: $(t-2)(t+3)=0$, deci $t=2$ sau $t=-3$.
3. Valoarea $t=-3$ se respinge, deoarece $t\ge 0$.
4. Din $\sqrt{x}=2$ rezultă $x=4$. Verificare: $4+2-6=0$.

Condiția $g(x)\ge 0$ poate lăsa o infinitate de soluții. Exemplu rezolvat. Rezolvă $\sqrt{x^2-4x+4}=x-2$. Radicandul este $(x-2{)}^2$, iar $\sqrt{(x-2{)}^2}=|x-2|$, deci ecuația este $|x-2|=x-2$. Ea este adevărată dacă și numai dacă $x-2\ge 0$, adică $x\ge 2$. Mulțimea soluțiilor este $[2;+\infty )$. Verificări: pentru $x=2$ avem $0=0$; pentru $x=5$, $\sqrt{9}=3=5-2$; pentru $x=0$, $\sqrt{4}=2\ne -2$.

Ecuațiile cu radicali apar și în probleme de geometrie. Exemplu rezolvat. Un dreptunghi are lățimea $x$ și lungimea $x+7$, iar diagonala $13$. Care este lățimea?

1. Din teorema lui Pitagora, diagonala este $\sqrt{x^2+(x+7{)}^2}$, deci $\sqrt{x^2+(x+7{)}^2}=13$.
2. Ridicăm la pătrat: $2x^2+14x+49=169$, adică $x^2+7x-60=0$.
3. Descompunem: $(x+12)(x-5)=0$, deci $x=-12$ sau $x=5$.
4. Lățimea este pozitivă, deci $x=5$; lungimea este $12$.
5. Verificăm: $\sqrt{25+144}=13$.

Pătrarea nu este echivalentă: ecuația obținută are și soluțiile ecuației $\sqrt{f(x)}=-g(x)$. De aceea condițiile și verificarea fac parte din rezolvare. Un răspuns care cuprinde tot domeniul radicalului, în loc de mulțimea soluțiilor, este o greșeală frecventă la variantele de răspuns.

Problemă. Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $\sqrt{2x+5}=x+1$ este:

• a) $\{-2;2\}$
• b) $\{-2\}$
• c) $\{2\}$
• d) $\varnothing$
• e) $\{1-\sqrt{5};1+\sqrt{5}\}$
• f) $\left[-\frac{5}{2};+\infty \right)$

Rezolvare. Ecuația este echivalentă cu $x+1\ge 0$ și $2x+5=(x+1{)}^2$. A doua relație dă $x^2=4$, deci $x=2$ sau $x=-2$. Condiția $x\ge -1$ elimină $-2$: la $x=-2$ avem $\sqrt{1}=1$, iar $x+1=-1$. Pentru $x=2$ avem $\sqrt{9}=3=2+1$. Răspunsul corect este c). Varianta a) apare când se pătrează fără verificare, b) când se reține tocmai soluția străină, e) când pătratul se dezvoltă greșit ca $x^2+1$, iar f) înlocuiește mulțimea soluțiilor cu domeniul radicalului.

Ca verificare, valorile se înlocuiesc direct în ecuația dată, nu în cea obținută după pătrare: ecuația $x^2=4$ este verificată de ambele valori $2$ și $-2$, dar ecuația cu radical doar de $2$. Dacă enunțul cere „suma soluțiilor reale”, se adună numai soluțiile acceptate, deci aici suma este $2$, nu $0$. Când variantele sunt numere, înlocuirea fiecărui număr în ecuația dată este cea mai sigură cale.

Alt exemplu. Rezolvăm $\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}=3$. Domeniul este $[-1;4]$. Pătrăm suma: $x+1+4-x+2\sqrt{(x+1)(4-x)}=9$, deci $\sqrt{(x+1)(4-x)}=2$. Pătrăm din nou: $(x+1)(4-x)=4$, adică $x(3-x)=0$. Candidații sunt $0$ și $3$. Verificăm: la $x=0$, suma este $1+2=3$; la $x=3$, este $2+1=3$. Ambele sunt soluții.

Greșeli frecvente

• Greșit: se ridică la pătrat și se păstrează orice rădăcină rezultată; din $\sqrt{2x+5}=x+1$ se acceptă și $x=-2$.
  Corect: se verifică $x+1\ge 0$ și ecuația inițială; la $x=-2$, membrul stâng este $1$, iar cel drept $-1$.
• Greșit: $\sqrt{f(x)}$ poate fi negativ.
  Corect: rădăcina pătrată principală este nenegativă, deci $\sqrt{x-3}=-2$ nu are soluții.
• Greșit: pentru radicalul cubic se impune radicand pozitiv.
  Corect: radicalul de ordin impar este definit și pentru valori negative; $\sqrt[3]{-8}=-2$.
• Greșit: $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
  Corect: $\sqrt{9+16}=5$, dar $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$.
• Greșit: ${\left(\sqrt{x}+2\right)}^2=x+4$.
  Corect: ${\left(\sqrt{x}+2\right)}^2=x+4\sqrt{x}+4$; la ecuații cu doi radicali, produsul dublu rămâne în ecuație.

Înainte și după