Integrala definită

Integrala definită ${\int }_a^{b}f(x)dx$ acumulează valorile funcției pe intervalul $[a;b]$, cu semn: ea este numărul spre care tind sumele Riemann, descrise în lecția „Integrala Riemann”. Dacă $f$ este continuă și $F^{\prime }=f$ pe interval, formula Newton–Leibniz (numită în manuale și Leibniz–Newton) dă ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. Pentru $f\ge 0$, numărul este aria dintre grafic și axa $Ox$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\int }_1^{3}2xdx$.

1. O primitivă este $F(x)=x^2$.
2. Evaluăm $F(3)=9$, $F(1)=1$.
3. Integrala este $9-1=8$.

Convenții și existență. Pentru o funcție integrabilă $f$ pe $[a;b]$, se folosesc convențiile ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$ și ${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$. Orice funcție continuă pe $[a;b]$ este integrabilă. Valoarea integralei nu depinde de litera variabilei: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt$.

Proprietăți. Fie $f$ și $g$ integrabile pe $[a;b]$, cu $a<b$.

• Liniaritate: ${\int }_a^b(\alpha f+\beta g)dx=\alpha {\int }_a^{b}fdx+\beta {\int }_a^{b}gdx$, pentru $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$.
• Aditivitate în raport cu intervalul: ${\int }_a^{b}fdx={\int }_a^{c}fdx+{\int }_c^{b}fdx$, pentru orice $c\in [a;b]$.
• Monotonie: dacă $f\le g$ pe $[a;b]$, atunci ${\int }_a^{b}fdx\le {\int }_a^{b}gdx$. În particular, $f\ge 0$ implică ${\int }_a^{b}fdx\ge 0$, iar $\left|{\int }_a^{b}fdx\right|\le {\int }_a^b|f|dx$.
• Evaluare: dacă $m\le f\le M$ pe $[a;b]$, atunci $m(b-a)\le {\int }_a^{b}fdx\le M(b-a)$.

Monotonia servește la comparații fără calcul: pe $[0;1]$ avem $x^2\le x$, deci ${\int }_0^1{x}^{2}dx\le {\int }_0^{1}xdx$, ceea ce concordă cu valorile $\frac{1}{3}\le \frac{1}{2}$. Dacă $f$ este continuă, $f\ge 0$ și ${\int }_a^{b}fdx=0$, atunci $f=0$ pe tot intervalul: o valoare pozitivă într-un punct ar rămâne pozitivă pe un subinterval și ar face integrala strict pozitivă.

Formula Leibniz–Newton. Dacă $f$ este continuă pe $[a;b]$ și $F$ este o primitivă oarecare a lui $f$, atunci ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, notat și $F(x){|}_a^b$. Dacă primitiva se schimbă în $F+C$, constanta se reduce în diferență, deci rezultatul rămâne același. Motivul formulei este următorul: funcția $\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ este o primitivă a lui $f$, iar două primitive diferă printr-o constantă, deci $F(x)=\Phi (x)+C$ și $F(b)-F(a)=\Phi (b)-\Phi (a)={\int }_a^{b}f(x)dx$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\int }_0^{\pi /2}(\sin x+2\cos x)dx$.

1. Primitivele sunt $-\cos x$ pentru $\sin x$ și $2\sin x$ pentru $2\cos x$, deci $F(x)=-\cos x+2\sin x$.
2. Evaluăm $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=0+2=2$ și $F(0)=-1+0=-1$.
3. Integrala este $2-(-1)=3$.

Exemplu rezolvat. Arătăm că $\frac{1}{2}\le {\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}\le 1$.

1. Pentru $x\in [0;1]$ avem $1\le 1+x^2\le 2$, deci $\frac{1}{2}\le \frac{1}{1+x^2}\le 1$.
2. Evaluarea cu $m=\frac{1}{2}$, $M=1$ și $b-a=1$ dă $\frac{1}{2}\le {\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}\le 1$.
3. Valoarea exactă, $\mathrm{arctg}1-\mathrm{arctg}0=\frac{\pi }{4}\approx 0,785$, se află în acest interval.

Integrala și aria. Integrala are semn; aria dintre grafic și axa $Ox$ este ${\int }_a^b|f(x)|dx$. Exemplu rezolvat. Calculăm ${\int }_0^2(3x^2-2x)dx$. O primitivă este $F(x)=x^3-x^2$. Atunci $F(2)-F(0)=8-4=4$. Deoarece $3x^2-2x=x(3x-2)$ schimbă semnul la $2/3$, aria geometrică nu este $4$: aria de sub axă este $-{\int }_0^{2/3}(3x^2-2x)dx=4/27$, iar cea de deasupra este ${\int }_{2/3}^2(3x^2-2x)dx=112/27$. Aria totală este $116/27$ unități pătrate. Aditivitatea este cea care permite această separare: intervalul se împarte în punctul unde expresia își schimbă semnul.

Modulul în integrală. Pentru ${\int }_a^b|g(x)|dx$ se studiază întâi semnul lui $g$ pe $[a;b]$: se rezolvă $g(x)=0$, intervalul se împarte în punctele găsite, iar pe fiecare subinterval modulul se scoate cu semnul rămas constant.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\int }_{-1}^2|x^2-1|dx$.

1. Expresia $x^2-1$ se anulează în $-1$ și $1$; este negativă pe $(-1;1)$ și pozitivă pe $(1;2]$.
2. Pe $[-1;1]$ modulul este $1-x^2$, iar ${\int }_{-1}^1(1-x^2)dx={\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1=\frac{4}{3}$.
3. Pe $[1;2]$ modulul este $x^2-1$, iar ${\int }_1^2(x^2-1)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x\right]}_1^2=\frac{4}{3}$.
4. Suma este $\frac{8}{3}$, în timp ce ${\int }_{-1}^2(x^2-1)dx=0$ nu ar fi dat aria.

Intervale simetrice. Fie $f$ continuă pe $[-a;a]$. Dacă $f$ este impară, adică $f(-x)=-f(x)$, atunci ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$. Dacă $f$ este pară, adică $f(-x)=f(x)$, atunci ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$. Ambele rezultă din aditivitate și din substituția $t=-x$. De exemplu, ${\int }_{-2}^2(x^3+3x^2)dx=0+2{\int }_0^{2}3x^{2}dx=2\cdot 8=16$.

La grilă, integrala definită se întâlnește la funcții definite pe ramuri sau cu modul. Se împarte intervalul în punctele de schimbare a expresiei, se aplică aditivitatea și se calculează fiecare parte cu primitiva ei. Pentru aria geometrică se integrează valoarea absolută.

Problemă. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$ pentru $x\le 1$ și $f(x)=2-x$ pentru $x>1$. Funcția este continuă, deoarece ambele expresii dau $1$ în $x=1$. Valoarea integralei ${\int }_0^{2}f(x)dx$ este:

• a) $\frac{8}{3}$
• b) $\frac{5}{6}$
• c) $2$
• d) $-\frac{1}{6}$
• e) $\frac{1}{3}$
• f) $\frac{1}{2}$

Rezolvare. Aditivitatea dă ${\int }_0^1{x}^{2}dx+{\int }_1^2(2-x)dx$. Prima integrală este $\frac{1}{3}$. A doua este ${\left[2x-\frac{x^2}{2}\right]}_1^2=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$. Suma este $\frac{5}{6}$, deci răspunsul corect este b). Variantele greșite: a) folosește $x^2$ pe tot intervalul $[0;2]$; c) folosește $2-x$ pe tot intervalul; d) ia pe $[1;2]$ primitiva lui $x-2$, deci greșește semnul celei de-a doua părți; e) calculează numai prima parte; f) calculează numai a doua parte.

Alt exemplu. Pentru ${\int }_0^2|x-1|dx$ împărțim intervalul: pe $[0;1]$, $|x-1|=1-x$; pe $[1;2]$, $|x-1|=x-1$. Rezultă ${\int }_0^1(1-x)dx+{\int }_1^2(x-1)dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. Fără modul, ${\int }_0^2(x-1)dx=0$, deoarece ariile orientate se anulează; aria geometrică rămâne $1$ unitate pătrată.

Alt exemplu. Funcția $\sin x$ este pozitivă pe $(0;\pi )$ și negativă pe $(\pi ;2\pi )$, deci ${\int }_0^{2\pi }|\sin x|dx={\int }_0^{\pi }\sin xdx-{\int }_{\pi }^{2\pi }\sin xdx=2+2=4$, în timp ce ${\int }_0^{2\pi }\sin xdx=0$.

Alt exemplu. Pe un interval simetric, termenii impari dispar: ${\int }_{-1}^1(x^5+x^2+x)dx=2{\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{2}{3}$, fiindcă $x^5$ și $x$ sunt funcții impare, iar $x^2$ este pară.

Alt exemplu. Dacă ${\int }_0^{3}f(x)dx=5$ și ${\int }_1^{3}f(x)dx=2$, aditivitatea dă ${\int }_0^{1}f(x)dx=5-2=3$. Atunci, prin liniaritate, ${\int }_0^1(2f(x)+1)dx=2\cdot 3+1=7$.

Greșeli frecvente

• Greșit: ${\int }_a^{b}f=F(a)-F(b)$.
  Corect: ordinea este $F(b)-F(a)$.
• Greșit: schimbarea capetelor păstrează integrala.
  Corect: îi schimbă semnul.
• Greșit: integrală negativă înseamnă calcul imposibil.
  Corect: integrala poate fi negativă când aria regiunilor de sub axa $Ox$ este mai mare decât aria celor de deasupra.
• Greșit: ${\int }_{-1}^1\frac{dx}{x^2}={\left[-\frac{1}{x}\right]}_{-1}^1=-2$.
  Corect: funcția nu este definită în $0\in (-1;1)$, deci formula Leibniz–Newton nu se aplică; un rezultat negativ pentru o funcție pozitivă este semnalul acestei greșeli.
• Greșit: ${\int }_0^{1}x\cdot xdx={\int }_0^{1}xdx\cdot {\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{4}$.
  Corect: integrala unui produs nu este produsul integralelor; ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$.

Înainte și după