Simulare Bac matematică 2026: subiecte și rezolvări

Documentele oficiale

Subiectele și baremele oficiale sunt publicate de Ministerul Educației; mai jos sunt linkurile către ele, pe profiluri.

Profil	Subiect	Barem
M_mate-info	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_mate-info_2026_var_simulare_LRO.pdf`	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_mate-info_2026_bar_simulare_LRO.pdf`
M_șt-nat (științele naturii)	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_st-nat_2026_var_simulare_LRO.pdf`	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_st-nat_2026_bar_simulare_LRO.pdf`
M_tehnologic	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_tehnologic_2026_var_simulare_LRO.pdf`	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_tehnologic_2026_bar_simulare_LRO.pdf`
M_pedagogic	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_pedagogic_2026_var_simulare_LRO.pdf`	Arhiva oficială (ZIP) `E_c_matematica_M_pedagogic_2026_bar_simulare_LRO.pdf`

Data probei

Pagina oficială de arhivă a subiectelor: subiecte.edu.ro/2027/arhiva.

Proba E.c) din simularea examenului național de bacalaureat 2026 a avut loc pe 24 martie 2026; lucrarea are trei ore de lucru efectiv, cum scrie în antetul subiectului. Sursa: calendarul simulării din OMEC 6.059/2025, anexa 2.

Matematică M_mate-info: simularea din martie 2026

Simulare. Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică; Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică. Se acordă 90 de puncte pentru subiecte și 10 din oficiu; timpul de lucru efectiv este de trei ore.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5 puncte)

Se consideră numărul complex $z = 2 + i$ . Arătați că $z + z + z \cdot z = 9$ , unde $z$ este conjugatul numărului complex $z$ .

Rezolvare. Conjugatul lui $z = 2 + i$ este $z = 2 - i$ . Suma $z + z$ este $(2 + i) + (2 - i) = 4$ , iar produsul $z \cdot z = (2 + i) (2 - i) = 4 - i^{2} = 4 + 1 = 5$ , pentru că $i^{2} = - 1$ . Rezultă $z + z + z \cdot z = 4 + 5 = 9$ .

Răspuns: $z + z + z \cdot z = 9$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru scrierea expresiei cu valorile lui $z$ și $z$ și 3 puncte pentru efectuarea calculelor până la rezultatul 9.

2. (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 1$ și $g : R \to R$ , $g (x) = x^{2} - 4 x + m$ , unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care graficele funcțiilor $f$ și $g$ au exact un punct comun.

Rezolvare. Abscisele punctelor comune sunt soluțiile ecuației $f (x) = g (x)$ , adică $2 x - 1 = x^{2} - 4 x + m$ , care se aduce la forma $x^{2} - 6 x + m + 1 = 0$ . Graficele au exact un punct comun când această ecuație de gradul al doilea are o singură soluție, adică $Δ = 0$ . Avem $Δ = (- 6)^{2} - 4 (m + 1) = 32 - 4 m$ . Din $32 - 4 m = 0$ obținem $m = 8$ .

Răspuns: $m = 8$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru ecuația $f (x) = g (x)$ adusă la forma $x^{2} - 6 x + m + 1 = 0$ și 3 puncte pentru condiția $Δ = 0$ și valoarea lui $m$ .

3. (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $(1 + lo g_{x} 2) lo g_{2} x = 5$ .

Rezolvare. Baza logaritmului trebuie să fie pozitivă și diferită de 1, deci $x > 0$ și $x \neq = 1$ . Distribuim înmulțirea: $lo g_{2} x + lo g_{x} 2 \cdot lo g_{2} x = 5$ . Logaritmii $lo g_{x} 2$ și $lo g_{2} x$ sunt inverși unul altuia, deci produsul lor este 1 și ecuația devine $lo g_{2} x + 1 = 5$ , adică $lo g_{2} x = 4$ . De aici $x = 2^{4} = 16$ , valoare care respectă condițiile $x > 0$ și $x \neq = 1$ .

Răspuns: $x = 16$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru ajungerea la $lo g_{2} x = 4$ și 2 puncte pentru $x = 16$ și verificarea că soluția convine.

4. (5 puncte)

Se consideră $A$ , mulțimea numerelor naturale de două cifre, formate cu cifre nenule. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$ , acesta să aibă produsul cifrelor divizibil cu $5$ .

Rezolvare. Fiecare cifră se alege dintre $1, 2, \dots, 9$ , deci mulțimea $A$ are $9 \cdot 9 = 81$ de elemente, adică 81 de cazuri posibile. Cifrele sunt nenule, iar singura cifră de la 1 la 9 divizibilă cu 5 este 5. Prin urmare, produsul cifrelor se împarte la 5 exact când cel puțin una dintre cifre este 5. Numerele fără cifra 5 se formează din cifrele ${1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}$ și sunt $8 \cdot 8 = 64$ , deci cazurile favorabile sunt $81 - 64 = 17$ . Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și al celor posibile.

Răspuns: $p = \frac{17}{81}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru numărul cazurilor posibile (81) și 3 puncte pentru numărul cazurilor favorabile (17) și probabilitate.

5. (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (0, 5)$ și $B (4, 2)$ . Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $A$ și este perpendiculară pe dreapta $O B$ .

Rezolvare. Dreapta $O B$ trece prin $O (0, 0)$ și $B (4, 2)$ , deci panta ei este $m_{O B} = \frac{2 - 0}{4 - 0} = \frac{1}{2}$ . Două drepte perpendiculare, cu pante definite și nenule, au produsul pantelor egal cu $- 1$ , deci dreapta căutată are panta $m_{d} = - 2$ . Dreapta trece prin $A (0, 5)$ , deci ecuația ei este $y - 5 = - 2 (x - 0)$ , adică $y = - 2 x + 5$ .

Răspuns: $y = - 2 x + 5$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru panta dreptei $O B$ și panta dreptei perpendiculare și 2 puncte pentru ecuația dreptei.

6. (5 puncte)

Se consideră triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , cu $A B = 9$ și $A C = 12$ . Punctul $M$ este mijlocul segmentului $B C$ . Arătați că distanța de la punctul $C$ la dreapta $A M$ este egală cu $7, 2$ .

Rezolvare. Din teorema lui Pitagora, $B C = 9^{2} + 1 2^{2} = 15$ . În triunghiul dreptunghic $A B C$ , mediana $A M$ corespunzătoare ipotenuzei are lungimea jumătate din ipotenuză, deci $A M = C M$ . Aria triunghiului $A M C$ se poate scrie în două moduri: $\frac{A M \cdot d ( C , A M )}{2} = \frac{C M \cdot d ( A , C M )}{2}$ . Cum $A M = C M$ , rezultă $d (C, A M) = d (A, C M)$ . Punctul $M$ se află pe $B C$ , deci dreapta $C M$ este dreapta $B C$ , iar $d (A, C M)$ este înălțimea $A D$ din $A$ a triunghiului $A B C$ . Din egalitatea ariei triunghiului $A B C$ calculate cu catetele și cu ipotenuza, $\frac{B C \cdot A D}{2} = \frac{A B \cdot A C}{2}$ , obținem $A D = \frac{9 \cdot 12}{15} = 7, 2$ .

Răspuns: distanța de la $C$ la dreapta $A M$ este $7, 2$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru justificarea că $d (C, A M) = d (A, C M) = A D$ , cu $A D$ înălțime în triunghiul $A B C$ , și 2 puncte pentru $B C = 15$ și calculul lui $A D$ .

Ce punctează baremul la Subiectul I. Pentru orice soluție corectă, chiar diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat. Fiecare cerință valorează 5 puncte, împărțite în două trepte. La ecuația logaritmică (I.3), ultimele 2 puncte cer și verificarea soluției $x = 16$ în condițiile de existență. La probabilitate (I.4), 2 puncte sunt pentru numărul cazurilor posibile și 3 pentru cele favorabile, deci o numărare greșită a cazurilor favorabile costă 3 puncte. La I.2 și I.5, primele puncte se acordă pentru ecuația sau panta corect scrise, iar ultimele pentru încheierea calculului.

Lecțiile din spate: Operații cu numere complexe, Ecuații logaritmice, Probabilitatea clasică, Ecuația dreptei

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

II.1. (15 puncte)

Se consideră matricea $A (a) = a 13 1 - 1 2 1 a 1$ și sistemul de ecuații liniare $⎩ ⎨ ⎧ a x + y + z = 2 a x - y + a z = - 4 3 x + 2 y + z = 8$ , unde $a$ este număr real.

II.1.a) (5 puncte)

Arătați că $det (A (1)) = 4$ .

Rezolvare. Pentru $a = 1$ matricea este $A (1) = 113 1 - 1 2 111$ . Dezvoltăm determinantul după regula lui Sarrus: suma produselor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea este $1 \cdot (- 1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 2 = - 1 + 3 + 2 = 4$ , iar suma produselor de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei este $3 \cdot (- 1) \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 = - 3 + 2 + 1 = 0$ . Determinantul este diferența lor, $4 - 0 = 4$ .

Răspuns: $det (A (1)) = 4$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru scrierea matricei $A (1)$ și a determinantului ei și 3 puncte pentru calcularea acestuia.

II.1.b) (5 puncte)

Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care matricea $A (a)$ este inversabilă.

Rezolvare. O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Calculăm, prin regula lui Sarrus, $det (A (a)) = a \cdot (- 1) \cdot 1 + 1 \cdot a \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 2 - (3 \cdot (- 1) \cdot 1 + 2 \cdot a \cdot a + 1 \cdot 1 \cdot 1) = (2 a + 2) - (2 a^{2} - 2)$ , adică $det (A (a)) = - 2 a^{2} + 2 a + 4$ , pentru orice $a$ real. Ecuația $det (A (a)) = 0$ se scrie $a^{2} - a - 2 = 0$ , adică $(a + 1) (a - 2) = 0$ , cu rădăcinile $a = - 1$ și $a = 2$ . Matricea este inversabilă pentru toate celelalte valori ale lui $a$ .

Răspuns: $a \in R ∖ {- 1, 2}$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru expresia determinantului $- 2 a^{2} + 2 a + 4$ și 2 puncte pentru rădăcinile $- 1$ și $2$ și mulțimea cerută.

II.1.c) (5 puncte)

Considerăm $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ soluția sistemului de ecuații liniare pentru $a = 1$ . Pentru $a = 2$ , determinați soluțiile $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ale sistemului de ecuații liniare pentru care $x_{0} y_{0} = y_{1}$ .

Rezolvare. Pentru $a = 1$ , scădem a doua ecuație din prima: $(x + y + z) - (x - y + z) = 2 - (- 4)$ , deci $2 y = 6$ și $y_{1} = 3$ . Pentru $a = 2$ sistemul este $⎩ ⎨ ⎧ 2 x + y + z = 4 x - y + 2 z = - 4 3 x + 2 y + z = 8$ și $det (A (2)) = 0$ , deci sistemul nu are soluție unică. Adunând primele două ecuații obținem $3 x + 3 z = 0$ , deci $z = - x$ . Din prima ecuație, $2 x + y - x = 4$ , deci $y = 4 - x$ . A treia ecuație este verificată: $3 x + 2 (4 - x) + (- x) = 8$ . Soluțiile sunt deci $(α, 4 - α, - α)$ , cu $α$ parametru. Condiția $x_{0} y_{0} = y_{1}$ devine $α (4 - α) = 3$ , adică $α^{2} - 4 α + 3 = 0$ , cu rădăcinile $α = 1$ și $α = 3$ . Pentru $α = 1$ obținem $(1, 3, - 1)$ , iar pentru $α = 3$ obținem $(3, 1, - 3)$ .

Răspuns: $(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \in {(1, 3, - 1), (3, 1, - 3)}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru soluțiile sistemului la $a = 2$ , de forma $(α, 4 - α, - α)$ , și 3 puncte pentru $y_{1} = 3$ , ecuația $α (4 - α) = 3$ și cele două soluții.

II.2. (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = (x^{2} + 2) (y^{2} + 2) + m$ , unde $m \in [- 4, + \infty)$ .

II.2.a) (5 puncte)

Pentru $m = 3$ , arătați că $0 * 1 = 3$ .

Rezolvare. Pentru $m = 3$ , $0 * 1 = (0^{2} + 2) (1^{2} + 2) + 3 = 2 \cdot 3 + 3 = 9 = 3$ .

Răspuns: $0 * 1 = 3$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru înlocuirea în formula legii și 2 puncte pentru calcul până la rezultatul 3.

II.2.b) (5 puncte)

Pentru $m = 7$ , determinați numerele reale $x$ pentru care $x * (2 x) = 5$ .

Rezolvare. Pentru $m = 7$ , $x * (2 x) = (x^{2} + 2) (4 x^{2} + 2) + 7$ . Ecuația $x * (2 x) = 5$ devine, prin ridicare la pătrat (ambii membri sunt pozitivi), $(x^{2} + 2) (4 x^{2} + 2) + 7 = 25$ . Desfacem parantezele: $4 x^{4} + 2 x^{2} + 8 x^{2} + 4 + 7 = 25$ , adică $4 x^{4} + 10 x^{2} - 14 = 0$ , care se simplifică la $2 x^{4} + 5 x^{2} - 7 = 0$ . Notăm $t = x^{2} \geq 0$ și obținem $2 t^{2} + 5 t - 7 = 0$ , cu rădăcinile $t = 1$ și $t = - \frac{7}{2}$ . Cum $t = x^{2}$ nu poate fi negativ, rămâne $x^{2} = 1$ , deci $x = - 1$ sau $x = 1$ .

Răspuns: $x \in {- 1, 1}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru expresia lui $x * (2 x)$ pentru $m = 7$ și 3 puncte pentru ecuația $2 x^{4} + 5 x^{2} - 7 = 0$ și soluțiile ei reale.

II.2.c) (5 puncte)

Determinați $m \in [- 4, + \infty)$ pentru care legea de compoziție „ $*$ ” este asociativă.

Rezolvare. Legea este asociativă dacă $(x * y) * z = x * (y * z)$ pentru orice numere reale $x, y, z$ . Cum $(x * y)^{2} = (x^{2} + 2) (y^{2} + 2) + m$ , avem $(x * y) * z = ((x^{2} + 2) (y^{2} + 2) + m + 2) (z^{2} + 2) + m$ și $x * (y * z) = (x^{2} + 2) ((y^{2} + 2) (z^{2} + 2) + m + 2) + m$ . Egalitatea celor două expresii este echivalentă cu egalitatea expresiilor de sub radical. După desfacerea parantezelor, termenul $(x^{2} + 2) (y^{2} + 2) (z^{2} + 2) + m$ apare în ambele și se reduce, iar rămâne $(m + 2) (z^{2} + 2) = (x^{2} + 2) (m + 2)$ , adică $(m + 2) (z^{2} - x^{2}) = 0$ . Egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice $x$ și $z$ reali, deci $m + 2 = 0$ și $m = - 2$ , valoare care aparține intervalului $[- 4, + \infty)$ . Pentru $m = - 2$ legea este bine definită, pentru că $(x^{2} + 2) (y^{2} + 2) \geq 4$ și deci expresia de sub radical este pozitivă.

Răspuns: $m = - 2$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru scrierea egalității $(x * y) * z = x * (y * z)$ și desfacerea parantezelor și 2 puncte pentru $(m + 2) (z^{2} + 2) = (x^{2} + 2) (m + 2)$ pentru orice $x$ și $z$ și concluzia $m = - 2$ .

Ce punctează baremul la Subiectul al II-lea. Se acceptă orice rezolvare corectă, chiar diferită de cea din barem, și nu se acordă fracțiuni de punct. Fiecare subpunct valorează 5 puncte, în două trepte, de 2 și 3 puncte. La II.1.b, 3 puncte sunt pentru expresia determinantului, deci o greșeală în calculul determinantului costă mai mult decât o greșeală la rezolvarea ecuației $- 2 a^{2} + 2 a + 4 = 0$ (2 puncte). La II.1.c, soluțiile pentru $a = 2$ valorează 2 puncte, iar legătura cu $y_{1}$ valorează 3 puncte. La II.2.c, tot ce se obține din egalitatea expresiilor de sub radical se punctează cu 3 puncte, iar concluzia $m = - 2$ cu 2 puncte.

Lecțiile din spate: Determinanți, Matrice inversabile, Sisteme de ecuații liniare, Legi de compoziție

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

III.1. (15 puncte)

Se consideră funcția $f : (1, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{e ^{x - 2}}{x - 1}$ .

III.1.a) (5 puncte)

Arătați că $f^{'} (x) = \frac{e ^{x - 2} ( 2 x - 3 )}{2 ( x - 1 ) x - 1}$ , $x \in (1, + \infty)$ .

Rezolvare. Aplicăm formula derivatei unui raport, $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , cu $u = e^{x - 2}$ și $v = x - 1$ . Avem $u^{'} = e^{x - 2}$ , $v^{'} = \frac{1}{2 x - 1}$ și $v^{2} = x - 1$ . Atunci $f^{'} (x) = \frac{e ^{x - 2} x - 1 - e ^{x - 2} \cdot \frac{1}{2 x - 1}}{x - 1}$ . Scoatem factor comun $e^{x - 2}$ și aducem la același numitor, înmulțind prima fracție cu $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ : numitorul fracției din numărător devine $2 x - 1$ , iar numărătorul $e^{x - 2} (2 (x - 1) - 1) = e^{x - 2} (2 x - 3)$ . Rezultă $f^{'} (x) = \frac{e ^{x - 2} ( 2 x - 3 )}{2 ( x - 1 ) x - 1}$ , pentru $x \in (1, + \infty)$ .

Răspuns: formula cerută este adevărată.

Punctaj în barem: 3 puncte pentru aplicarea corectă a derivatei raportului și 2 puncte pentru simplificarea până la forma din enunț.

III.1.b) (5 puncte)

Arătați că $x \to 2 lim (f (x))^{\frac{1}{x - 2}} = e$ .

Rezolvare. Avem $f (2) = \frac{e ^{0}}{1} = 1$ , deci limita este o nedeterminare de forma $1^{\infty}$ . Scriem $f (x) = 1 + (f (x) - 1)$ și grupăm exponentul astfel încât să apară limita remarcabilă $(1 + u)^{1/ u} \to e$ pentru $u \to 0$ , cu $u = f (x) - 1$ , care tinde la 0 când $x \to 2$ :

(f (x))^{\frac{1}{x - 2}} = [(1 + (f (x) - 1))^{\frac{1}{f ( x ) - 1}}]^{\frac{f ( x ) - 1}{x - 2}} .

Paranteza dreaptă tinde la $e$ . Exponentul este $\frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2}$ , care tinde la $f^{'} (2)$ , definiția derivatei în punctul 2. Din punctul a), $f^{'} (2) = \frac{e ^{0} \cdot ( 4 - 3 )}{2 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{1}{2}$ . Prin urmare limita este $e^{f^{'} (2)} = e^{\frac{1}{2}} = e$ .

Răspuns: $x \to 2 lim (f (x))^{\frac{1}{x - 2}} = e$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru aducerea limitei la forma cu limita remarcabilă a lui $e$ și 2 puncte pentru calculul exponentului prin derivata în 2 și rezultatul $e$ .

III.1.c) (5 puncte)

Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care ecuația $f (x) = m x$ are exact două soluții.

Rezolvare. Pentru $x > 1$ , ecuația $f (x) = m x$ este echivalentă cu $\frac{f ( x )}{x} = m$ . Definim $g : (1, + \infty) \to R$ , $g (x) = \frac{f ( x )}{x}$ , și căutăm valorile lui $m$ pentru care ecuația $g (x) = m$ are exact două soluții. Derivata este $g^{'} (x) = \frac{x f ^{'} ( x ) - f ( x )}{x ^{2}}$ . Folosind punctul a), $x f^{'} (x) - f (x) = \frac{e ^{x - 2} ( x ( 2 x - 3 ) - 2 ( x - 1 ) )}{2 ( x - 1 ) x - 1} = \frac{e ^{x - 2} ( 2 x ^{2} - 5 x + 2 )}{2 ( x - 1 ) x - 1}$ , deci

g^{'} (x) = \frac{e ^{x - 2} ( 2 x ^{2} - 5 x + 2 )}{2 x ^{2} ( x - 1 ) x - 1} .

Numitorul și $e^{x - 2}$ sunt pozitive pe $(1, + \infty)$ , deci semnul lui $g^{'}$ este semnul lui $2 x^{2} - 5 x + 2 = (2 x - 1) (x - 2)$ . Pe $(1, + \infty)$ avem $2 x - 1 > 0$ , deci $g^{'} (x) < 0$ pentru $x \in (1, 2)$ , $g^{'} (2) = 0$ și $g^{'} (x) > 0$ pentru $x \in (2, + \infty)$ . Funcția $g$ este strict descrescătoare pe $(1, 2]$ și strict crescătoare pe $[2, + \infty)$ , deci are minim în $x = 2$ , cu $g (2) = \frac{f ( 2 )}{2} = \frac{1}{2}$ . Limitele la capete sunt $x \to 1, x > 1 lim g (x) = + \infty$ (numitorul $x - 1$ tinde la 0, iar numărătorul la $e^{- 1}$ ) și $x \to + \infty lim g (x) = + \infty$ (exponențiala crește mai repede decât orice putere). Fiind continuă, $g$ ia pe $(1, 2)$ fiecare valoare din $(\frac{1}{2}, + \infty)$ exact o dată și, la fel, pe $(2, + \infty)$ . Ecuația $g (x) = m$ are deci exact două soluții când $m > \frac{1}{2}$ , o singură soluție ( $x = 2$ ) pentru $m = \frac{1}{2}$ și nicio soluție pentru $m < \frac{1}{2}$ .

Răspuns: $m \in (\frac{1}{2}, + \infty)$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru funcția $g$ , derivata ei și monotonia (descrescătoare pe $(1, 2)$ , crescătoare pe $(2, + \infty)$ ) și 2 puncte pentru limitele $+ \infty$ , valoarea $g (2) = \frac{1}{2}$ și concluzia.

III.2. (15 puncte)

Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = (4 x + \frac{6}{x ^{2}}) ln x$ .

III.2.a) (5 puncte)

Arătați că $\int_{2}^{3} \frac{f ( x )}{ln x} d x = 11$ .

Rezolvare. Prin simplificarea cu $ln x$ (nenul pe $[2, 3]$ ), $\frac{f ( x )}{ln x} = 4 x + \frac{6}{x ^{2}}$ . O primitivă a acestei funcții este $2 x^{2} - \frac{6}{x}$ , pentru că derivata lui $- \frac{6}{x}$ este $\frac{6}{x ^{2}}$ . Cu formula Leibniz–Newton,

\int_{2}^{3} (4 x + \frac{6}{x ^{2}}) d x = (2 x^{2} - \frac{6}{x})_{2}^{3} = (18 - 2) - (8 - 3) = 16 - 5 = 11.

Răspuns: integrala este $11$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru simplificarea integrandului și aflarea unei primitive și 2 puncte pentru aplicarea formulei Leibniz–Newton și valoarea 11.

III.2.b) (5 puncte)

Arătați că $\int_{1}^{e} x (f (x) - 4 x ln x) d x = 3$ .

Rezolvare. Avem $f (x) - 4 x ln x = \frac{6}{x ^{2}} ln x$ , deci $x (f (x) - 4 x ln x) = \frac{6 ln x}{x}$ . Integrala devine $\int_{1}^{e} \frac{6 ln x}{x} d x$ . Cum $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ , funcția de integrat este $6 ln x \cdot (ln x)^{'}$ , iar o primitivă a ei este $3 ln^{2} x$ . Rezultă $3 ln^{2} x_{1}^{e} = 3 ln^{2} e - 3 ln^{2} 1 = 3 \cdot 1 - 0 = 3$ .

Răspuns: integrala este $3$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru reducerea integrandului la $\frac{6 ln x}{x}$ și aflarea unei primitive și 2 puncte pentru calculul final.

III.2.c) (5 puncte)

Determinați primitiva $F : (0, + \infty) \to R$ a funcției $f$ , pentru care axa $O x$ este tangentă la graficul funcției $F$ .

Rezolvare. Axa $O x$ este tangentă graficului lui $F$ într-un punct $A (a, F (a))$ cu $a > 0$ când $F (a) = 0$ și panta tangentei este nulă, $F^{'} (a) = 0$ . Cum $F$ este primitivă a lui $f$ , $F^{'} (a) = f (a)$ , deci trebuie ca $f (a) = 0$ . Factorul $4 a + \frac{6}{a ^{2}}$ este strict pozitiv pentru $a > 0$ , deci $f (a) = 0$ exact când $ln a = 0$ , adică $a = 1$ . Condiția devine $F (1) = 0$ , de unde $F (x) = \int_{1}^{x} f (t) d t$ . Calculăm prin părți, cu $u = ln t$ și $v^{'} = 4 t + \frac{6}{t ^{2}}$ , deci $v = 2 t^{2} - \frac{6}{t}$ :

\int (4 t + \frac{6}{t ^{2}}) ln t d t = (2 t^{2} - \frac{6}{t}) ln t - \int (2 t^{2} - \frac{6}{t}) \frac{1}{t} d t = (2 t^{2} - \frac{6}{t}) ln t - t^{2} - \frac{6}{t} .

Evaluăm de la $1$ la $x$ . În $t = 1$ valoarea este $0 - 1 - 6 = - 7$ , deci

F (x) = (2 x^{2} - \frac{6}{x}) ln x - x^{2} - \frac{6}{x} + 7, x \in (0, + \infty) .

Răspuns: $F (x) = (2 x^{2} - \frac{6}{x}) ln x - x^{2} - \frac{6}{x} + 7$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru condițiile de tangență $F (a) = 0$ și $F^{'} (a) = 0$ , de unde $a = 1$ , și 3 puncte pentru calculul primitivei $F$ .

Ce punctează baremul la Subiectul al III-lea. Orice soluție corectă se punctează cu punctajul corespunzător, fără fracțiuni de punct, dar cu punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele indicate. La III.1.a, 3 puncte sunt pentru aplicarea corectă a regulii de derivare a raportului și 2 pentru aducerea expresiei la forma din enunț. La III.1.c, 3 puncte sunt pentru studiul monotoniei funcției $g$ și 2 pentru limite, valoarea minimă $g (2) = \frac{1}{2}$ și concluzia, deci omiterea limitelor la capetele intervalului costă punctele de concluzie. La III.2.c, determinarea punctului de tangență $a = 1$ valorează 2 puncte, iar integrarea prin părți și forma finală a lui $F$ valorează 3 puncte.

Lecțiile din spate: Reguli de derivare, Limite remarcabile, Monotonia prin derivată, Metode de integrare

Matematică M_șt-nat (științele naturii): simularea din martie 2026

Simulare. Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii. Se acordă 90 de puncte pentru subiecte și 10 din oficiu; timpul de lucru efectiv este de trei ore.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5 puncte)

Determinați termenul $a_{4}$ al progresiei aritmetice $(a_{n})_{n \geq 1}$ , în care $a_{1} = 2$ și $a_{3} = 14$ .

Rezolvare. Într-o progresie aritmetică, doi termeni aflați la distanță de doi pași diferă prin de două ori rația: $a_{3} - a_{1} = 2 r$ . Rezultă $2 r = 14 - 2 = 12$ , deci $r = 6$ . Termenul cerut se obține adăugând rația la $a_{3}$ : $a_{4} = a_{3} + r = 14 + 6 = 20$ .

Răspuns: $a_{4} = 20$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru aflarea rației, 2 puncte pentru calculul lui $a_{4}$ .

2. (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = a x + 3$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care $f (0) + (f \circ f) (0) = 0$ .

Rezolvare. Avem $f (0) = 3$ . Apoi $(f \circ f) (0) = f (f (0)) = f (3) = 3 a + 3$ . Condiția devine $3 + 3 a + 3 = 0$ , adică $3 a = - 6$ , deci $a = - 2$ .

Răspuns: $a = - 2$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru valorile $f (0)$ și $(f \circ f) (0)$ , 2 puncte pentru rezolvarea ecuației în $a$ .

3. (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{x} - 4 \cdot 5^{x - 2} = 105$ .

Rezolvare. Scoatem factor comun $5^{x - 2}$ , deoarece $5^{x} = 5^{x - 2} \cdot 25$ . Ecuația devine $5^{x - 2} (25 - 4) = 105$ , adică $21 \cdot 5^{x - 2} = 105$ , deci $5^{x - 2} = 5$ . Funcția exponențială de bază $5$ este injectivă, așa că $x - 2 = 1$ și $x = 3$ .

Răspuns: $x = 3$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru reducerea la $5^{x - 2} = 5$ , 2 puncte pentru determinarea lui $x$ .

4. (5 puncte)

Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea $A = {1, 2, 3, 9}$ .

Rezolvare. Numărul este impar dacă ultima cifră este impară, deci cifra unităților se alege dintre $1$ , $3$ , $9$ : $3$ moduri. Cifra zecilor se alege dintre cele $3$ cifre rămase, iar cifra sutelor dintre cele $2$ rămase, pentru că cifrele trebuie să fie distincte. Regula produsului dă $3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$ numere.

Răspuns: $18$ numere.

Punctaj în barem: 2 puncte pentru alegerea cifrei unităților, 3 puncte pentru alegerea celorlalte două cifre și rezultatul.

5. (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 0)$ și $B (5, 4)$ și dreapta $d$ de ecuație $2 x + a y = 0$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care mijlocul segmentului $A B$ aparține dreptei $d$ .

Rezolvare. Mijlocul $M$ al lui $A B$ are coordonatele medii aritmetice ale capetelor: $M (\frac{1 + 5}{2}, \frac{0 + 4}{2}) = M (3, 2)$ . Punctul $M$ aparține dreptei $d$ dacă coordonatele lui verifică ecuația: $2 \cdot 3 + a \cdot 2 = 0$ , deci $2 a = - 6$ și $a = - 3$ .

Răspuns: $a = - 3$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru coordonatele mijlocului, 2 puncte pentru înlocuirea în ecuația dreptei și aflarea lui $a$ .

6. (5 puncte)

Se consideră triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , cu $B C = 12$ și $C = \frac{π}{6}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $A C$ astfel încât $3 A M = A C$ . Arătați că $B M = 43$ .

Rezolvare. În triunghiul dreptunghic $A B C$ , ipotenuza este $B C = 12$ , iar latura $A B$ este opusă unghiului $C = \frac{π}{6}$ . Deci $A B = B C sin C = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ și $A C = B C cos C = 12 \cdot \frac{3}{2} = 63$ . Din $3 A M = A C$ rezultă $A M = 23$ . Punctul $M$ se află pe $A C$ , deci triunghiul $A B M$ este dreptunghic în $A$ și teorema lui Pitagora dă $B M^{2} = A B^{2} + A M^{2} = 36 + 12 = 48$ . Cum $B M > 0$ , obținem $B M = 48 = 43$ .

Răspuns: $B M = 43$ , ceea ce era de arătat.

Punctaj în barem: 2 puncte pentru lungimile $A B$ și $A C$ , 3 puncte pentru $A M$ și calculul lui $B M$ cu teorema lui Pitagora.

Ce punctează baremul la Subiectul I. Pentru orice soluție corectă, chiar dacă diferă de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat. Fiecare cerință valorează 5 puncte, împărțite în două trepte (3 și 2 puncte la cerințele 1, 2, 3, 5, respectiv 2 și 3 puncte la cerințele 4 și 6): prima treaptă se obține pentru pasul intermediar corect (rația, valoarea $(f \circ f) (0)$ , forma $5^{x - 2} = 5$ , alegerea cifrei unităților, coordonatele mijlocului, lungimile $A B$ și $A C$ ), a doua pentru ducerea calculului până la rezultat. La cerința 4, baremul pornește de la condiția ca ultima cifră să fie impară, deci ignorarea parității schimbă numărul de alegeri încă de la primul pas.

Lecțiile din spate: Progresii aritmetice, Ecuații exponențiale, Principiile adunării și înmulțirii, Rapoarte trigonometrice în triunghiul dreptunghic

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

II.1.

Se consideră matricea $A (a) = (1 - a a 1 - a)$ , unde $a$ este număr real.

II.1.a) (5 puncte)

Arătați că $det (A (1)) = 1$ .

Rezolvare. Pentru $a = 1$ avem $A (1) = (1 - 1 10)$ . Determinantul unei matrice de ordinul doi este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe cealaltă diagonală: $det (A (1)) = 1 \cdot 0 - 1 \cdot (- 1) = 0 + 1 = 1$ .

Răspuns: $det (A (1)) = 1$ , ceea ce era de arătat.

Punctaj în barem: 3 puncte pentru scrierea matricei $A (1)$ și a determinantului, 2 puncte pentru calcul.

II.1.b) (5 puncte)

Arătați că $A (a + b) - A (a) \cdot A (b) = ab A (1)$ , pentru orice numere reale $a$ și $b$ .

Rezolvare. Calculăm produsul:

A (a) \cdot A (b) = (1 - a a 1 - a) (1 - b b 1 - b) = (1 - ab - a - b + ab b + a - ab - ab + 1 - a - b + ab) .

Elementul din dreapta jos se simplifică la $1 - a - b$ . Scăzând din $A (a + b) = (1 - a - b a + b 1 - a - b)$ , obținem

A (a + b) - A (a) A (b) = (ab - ab ab 0) = ab (1 - 1 10) = ab A (1) .

Răspuns: egalitatea este adevărată pentru orice $a, b \in R$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru calculul diferenței matricelor, 2 puncte pentru scoaterea factorului $ab$ și identificarea lui $A (1)$ .

II.1.c) (5 puncte)

Determinați numerele reale $a$ pentru care $2 A (2 a) - A (a) \cdot A (a) - A (1) \cdot A (2 a - 1) = 2 A (1)$ .

Rezolvare. Grupăm termenii și folosim relația de la punctul b) de două ori:

pentru $b = a$ (în loc de $a, b$ punem $a, a$ ): $A (2 a) - A (a) A (a) = a^{2} A (1)$ ;
pentru perechea $1$ și $2 a - 1$ , a căror sumă este $2 a$ : $A (2 a) - A (1) A (2 a - 1) = 1 \cdot (2 a - 1) A (1)$ .

Membrul stâng este suma celor două diferențe, adică $(a^{2} + 2 a - 1) A (1)$ . Ecuația devine $(a^{2} + 2 a - 1) A (1) = 2 A (1)$ . Matricea $A (1)$ nu este matricea nulă (determinantul ei este $1$ ), deci scalarii coincid: $a^{2} + 2 a - 1 = 2$ , adică $a^{2} + 2 a - 3 = 0$ , cu rădăcinile $a = - 3$ și $a = 1$ .

Răspuns: $a \in {- 3, 1}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru reducerea membrului stâng la $(a^{2} + 2 a - 1) A (1)$ , 3 puncte pentru ecuația $a^{2} + 2 a - 1 = 2$ și cele două soluții.

II.2.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = \frac{1}{6} (x - 5) (y - 5) + 5$ , cu elementul neutru $e = 11$ .

II.2.a) (5 puncte)

Arătați că $7 \circ 8 = 6$ .

Rezolvare. Înlocuim $x = 7$ , $y = 8$ : $7 \circ 8 = \frac{1}{6} (7 - 5) (8 - 5) + 5 = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 3 + 5 = 1 + 5 = 6$ .

Răspuns: $7 \circ 8 = 6$ , ceea ce era de arătat.

Punctaj în barem: 3 puncte pentru înlocuirea în definiția legii, 2 puncte pentru calcul.

II.2.b) (5 puncte)

Determinați numerele reale $x$ pentru care $x \circ (6 x - 1) = 10$ .

Rezolvare. Avem $x \circ (6 x - 1) = \frac{1}{6} (x - 5) (6 x - 1 - 5) + 5 = \frac{1}{6} (x - 5) (6 x - 6) + 5 = (x - 5) (x - 1) + 5 = x^{2} - 6 x + 10$ . Ecuația $x^{2} - 6 x + 10 = 10$ se reduce la $x^{2} - 6 x = 0$ , adică $x (x - 6) = 0$ , deci $x = 0$ sau $x = 6$ .

Răspuns: $x \in {0, 6}$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru forma $x^{2} - 6 x + 10$ a expresiei, 2 puncte pentru rezolvarea ecuației.

II.2.c) (5 puncte)

Determinați numerele naturale $n$ , $n \neq = 5$ , ale căror simetrice în raport cu legea de compoziție „ $\circ$ ” sunt numere naturale pare.

Rezolvare. Fie $n^{'}$ simetricul lui $n$ . Prin definiție, $n \circ n^{'} = n^{'} \circ n = e = 11$ , adică $\frac{1}{6} (n - 5) (n^{'} - 5) + 5 = 11$ , de unde $(n - 5) (n^{'} - 5) = 36$ .

Numărul $n^{'}$ este par, deci $n^{'} - 5$ este impar și, fiind natural, $n^{'} \geq 0$ dă $n^{'} - 5 \geq - 5$ . Numerele întregi impare care divid $36$ sunt $\pm 1, \pm 3, \pm 9$ ; cu $n^{'} - 5 \geq - 5$ rămân $- 3, - 1, 1, 3, 9$ , adică $n^{'} \in {2, 4, 6, 8, 14}$ . Pentru fiecare valoare, $n - 5 = \frac{36}{n ^{'} - 5}$ dă:

$n^{'} - 5 = 1$ dă $n - 5 = 36$ , deci $n = 41$ (și $n^{'} = 6$ );
$n^{'} - 5 = 3$ dă $n - 5 = 12$ , deci $n = 17$ (și $n^{'} = 8$ );
$n^{'} - 5 = 9$ dă $n - 5 = 4$ , deci $n = 9$ (și $n^{'} = 14$ );
$n^{'} - 5 = - 1$ dă $n - 5 = - 36$ , deci $n = - 31$ , care nu este natural;
$n^{'} - 5 = - 3$ dă $n - 5 = - 12$ , deci $n = - 7$ , care nu este natural.

Singurele valori convenabile sunt $n \in {9, 17, 41}$ .

Răspuns: $n \in {9, 17, 41}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru relația $(n - 5) (n^{'} - 5) = 36$ , 3 puncte pentru stabilirea valorilor $n = 9$ , $n = 17$ , $n = 41$ din condițiile despre $n$ și $n^{'}$ .

Ce punctează baremul la Subiectul II. Se aplică aceleași reguli generale: soluție corectă oarecare este punctată corespunzător, fără fracțiuni de punct, cu puncte intermediare pentru rezolvări parțiale. Baremul împarte fiecare subpunct în două trepte. La II.1.b prima treaptă (3 puncte) este calculul diferenței de matrice, iar a doua (2 puncte) identificarea rezultatului cu $ab A (1)$ . La II.1.c cele 2 puncte pentru reducerea la $(a^{2} + 2 a - 1) A (1)$ se obțin dacă se folosește relația de la b) pentru ambele grupări de termeni, iar la II.2.c baremul pornește de la relația $(n - 5) (n^{'} - 5) = 36$ și acordă ultimele 3 puncte pentru valorile lui $n$ care respectă ambele condiții (naturale, $n^{'}$ par).

Lecțiile din spate: Matrice, Determinanți, Legi de compoziție, Ecuații de gradul al doilea

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

III.1.

Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{1}{x} - 1 + 4 ln (x + 3)$ .

III.1.a) (5 puncte)

Arătați că $f^{'} (x) = \frac{( x - 1 ) ( 4 x + 3 )}{x ^{2} ( x + 3 )}$ , $x \in (0, + \infty)$ .

Rezolvare. Derivăm termen cu termen: $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ , constanta $- 1$ are derivata $0$ , iar $(4 ln (x + 3))^{'} = \frac{4}{x + 3}$ . Deci $f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}} + \frac{4}{x + 3}$ . Aducem la numitor comun $x^{2} (x + 3)$ :

f^{'} (x) = \frac{- ( x + 3 ) + 4 x ^{2}}{x ^{2} ( x + 3 )} = \frac{4 x ^{2} - x - 3}{x ^{2} ( x + 3 )} = \frac{( x - 1 ) ( 4 x + 3 )}{x ^{2} ( x + 3 )},

ultima egalitate rezultând din $(x - 1) (4 x + 3) = 4 x^{2} + 3 x - 4 x - 3 = 4 x^{2} - x - 3$ .

Răspuns: formula dată este adevărată pentru orice $x > 0$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru calculul derivatei, 2 puncte pentru aducerea la forma factorizată.

III.1.b) (5 puncte)

Arătați că $x \to 1 lim \frac{4 ln ( x + 3 ) - f ( x )}{ln x} = 1$ .

Rezolvare. Numărătorul se simplifică: $4 ln (x + 3) - f (x) = 4 ln (x + 3) - \frac{1}{x} + 1 - 4 ln (x + 3) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ . Fracția din limită devine

\frac{x - 1}{x ln x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x - 1}{ln x} .

Pentru $x \to 1$ avem $\frac{1}{x} \to 1$ , iar $\frac{l n x}{x - 1} \to 1$ (limită remarcabilă $\frac{l n ( 1 + t )}{t} \to 1$ pentru $t = x - 1 \to 0$ ), deci $\frac{x - 1}{l n x} \to 1$ . Limita este $1 \cdot 1 = 1$ . Aceeași valoare se obține cu regula lui l'Hospital pe forma $\frac{0}{0}$ , după simplificarea numărătorului.

Răspuns: limita este $1$ , ceea ce era de arătat.

Punctaj în barem: 3 puncte pentru simplificarea numărătorului și reducerea limitei la o formă ușor de calculat (baremul o rezolvă cu regula lui l'Hospital, dar orice cale corectă se punctează), 2 puncte pentru calculul limitei.

III.1.c) (5 puncte)

Demonstrați că $\frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{x} \geq 4 ln \frac{x + 3}{x ^{2} + 3}$ , pentru orice $x \in (0, 1]$ .

Rezolvare. Din punctul a), pentru $x \in (0, 1]$ factorul $x - 1$ este negativ sau nul, iar $4 x + 3$ , $x^{2}$ și $x + 3$ sunt pozitivi, deci $f^{'} (x) \leq 0$ . Funcția $f$ este descrescătoare pe $(0, 1]$ . Pentru $x \in (0, 1]$ avem $x^{2} \leq x$ , iar ambele numere aparțin lui $(0, 1]$ , așadar $f (x^{2}) \geq f (x)$ . Scriem inegalitatea explicit:

\frac{1}{x ^{2}} - 1 + 4 ln (x^{2} + 3) \geq \frac{1}{x} - 1 + 4 ln (x + 3),

adică $\frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{x} \geq 4 ln (x + 3) - 4 ln (x^{2} + 3) = 4 ln \frac{x + 3}{x ^{2} + 3}$ .

Răspuns: inegalitatea este demonstrată pe $(0, 1]$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru semnul derivatei și monotonia lui $f$ pe $(0, 1]$ , 3 puncte pentru comparația $f (x) \leq f (x^{2})$ și forma finală a inegalității.

III.2.

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (x^{2} + 4 x) e^{- x}$ .

III.2.a) (5 puncte)

Arătați că $\int_{0}^{3} f (x) e^{x} d x = 27$ .

Rezolvare. Factorul $e^{- x}$ se reduce cu $e^{x}$ : $f (x) e^{x} = x^{2} + 4 x$ . Atunci

\int_{0}^{3} (x^{2} + 4 x) d x = (\frac{x ^{3}}{3} + 2 x^{2})_{0}^{3} = 9 + 18 = 27.

Răspuns: integrala este $27$ , ceea ce era de arătat.

Punctaj în barem: 3 puncte pentru primitiva funcției $x^{2} + 4 x$ , 2 puncte pentru aplicarea formulei Leibniz–Newton și rezultat.

III.2.b) (5 puncte)

Arătați că $\int_{- 1}^{0} \frac{f ( x )}{x + 4} d x = - 1$ .

Rezolvare. Cum $x^{2} + 4 x = x (x + 4)$ , pe intervalul $[- 1, 0]$ avem $\frac{f ( x )}{x + 4} = x e^{- x}$ . Integrăm prin părți, cu $u = x$ și $d v = e^{- x} d x$ (deci $v = - e^{- x}$ ):

\int_{- 1}^{0} x e^{- x} d x = - x e^{- x}_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} e^{- x} d x = - x e^{- x}_{- 1}^{0} - e^{- x}_{- 1}^{0} .

Cu primitiva $H (x) = - x e^{- x} - e^{- x}$ obținem $H (0) = - 1$ și $H (- 1) = e - e = 0$ , deci integrala este $H (0) - H (- 1) = - 1$ .

Răspuns: integrala este $- 1$ , ceea ce era de arătat.

Punctaj în barem: 3 puncte pentru integrarea prin părți, 2 puncte pentru calculul final.

III.2.c) (5 puncte)

Se consideră funcția $g : (0, + \infty) \to R$ , $g (x) = \frac{f ( x ^{2} )}{x ^{2}}$ . Demonstrați că orice primitivă $G : (0, + \infty) \to R$ a funcției $g$ este concavă.

Rezolvare. Scriem mai întâi $g$ explicit: $f (x^{2}) = (x^{4} + 4 x^{2}) e^{- x^{2}}$ , deci $g (x) = (x^{2} + 4) e^{- x^{2}}$ . Pentru o primitivă $G$ avem $G^{'} = g$ , de unde $G^{''} = g^{'}$ . Derivăm produsul:

g^{'} (x) = 2 x e^{- x^{2}} + (x^{2} + 4) (- 2 x) e^{- x^{2}} = - 2 x (x^{2} + 3) e^{- x^{2}} .

Pentru $x > 0$ , toți factorii $2 x$ , $x^{2} + 3$ , $e^{- x^{2}}$ sunt pozitivi, deci $G^{''} (x) = g^{'} (x) < 0$ . Funcția $G$ are derivata a doua negativă pe $(0, + \infty)$ , deci este concavă.

Răspuns: orice primitivă a lui $g$ este concavă pe $(0, + \infty)$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru calculul lui $G^{''} = g^{'}$ , 2 puncte pentru stabilirea semnului și concluzia privind concavitatea.

Ce punctează baremul la Subiectul III. Regulile generale sunt aceleași: orice soluție corectă se punctează, nu există fracțiuni de punct, iar rezolvările parțiale primesc punctaje intermediare în limita celor din barem. La III.1.a baremul acordă 3 puncte pentru derivata în forma $- \frac{1}{x ^{2}} + \frac{4}{x + 3}$ , iar la III.1.c cele 2 puncte pentru semnul derivatei și monotonia pe $(0, 1]$ sunt condiția pentru comparația $f (x) \leq f (x^{2})$ de la ultimele 3 puncte. La III.2.b prima treaptă (3 puncte) cuprinde schimbarea integrandului în $x e^{- x}$ și integrarea prin părți, iar la III.2.c baremul cere calculul lui $G^{''}$ și stabilirea semnului ei pe tot intervalul $(0, + \infty)$ .

Lecțiile din spate: Reguli de derivare, Monotonia prin derivată, Metode de integrare, Convexitate și concavitate

Matematică M_tehnologic: simularea din martie 2026

Simulare. Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale. Se acordă 90 de puncte pentru subiecte și 10 din oficiu; timpul de lucru efectiv este de trei ore.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5 puncte)

Arătați că $(3 + \frac{3}{5}) : 4 + \frac{1}{10} = 1$ .

Rezolvare. Se efectuează întâi paranteza: $3 + \frac{3}{5} = \frac{15}{5} + \frac{3}{5} = \frac{18}{5}$ . Împărțirea la $4$ înseamnă înmulțire cu $\frac{1}{4}$ , deci $\frac{18}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$ . Rămâne adunarea $\frac{9}{10} + \frac{1}{10} = \frac{10}{10} = 1$ .

Răspuns: expresia este egală cu $1$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru transformarea împărțirii în înmulțire și calculul produsului, 2 puncte pentru adunarea finală și rezultatul $1$ .

2. (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x + 6$ . Determinați numărul real $a$ pentru care $f (1) + f (a) = 2 f (0)$ .

Rezolvare. Se calculează valorile cunoscute: $f (0) = 6$ , $f (1) = 3 + 6 = 9$ , iar $f (a) = 3 a + 6$ . Egalitatea din enunț devine $9 + 3 a + 6 = 2 \cdot 6 = 12$ , adică $3 a + 15 = 12$ , de unde $3 a = - 3$ .

Răspuns: $a = - 1$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru $f (0)$ , $f (1)$ și $f (a)$ , 2 puncte pentru ecuația în $a$ și soluția ei.

3. (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4 x - x^{2} = 3 x$ .

Rezolvare. Ecuația are radicali de ordin doi, deci se ridică ambii membri la pătrat, ceea ce dă $4 x - x^{2} = 3 x$ , adică $x^{2} - x = 0$ și $x (x - 1) = 0$ . Soluțiile posibile sunt $x = 0$ și $x = 1$ . Fiindcă ridicarea la pătrat poate introduce soluții străine, se verifică: pentru $x = 0$ ambii radicali sunt $0$ , iar pentru $x = 1$ ambii radicali sunt $3$ . Amândouă valorile convin.

Răspuns: $x \in {0, 1}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru ecuația $x^{2} - x = 0$ obținută după ridicarea la pătrat, 3 puncte pentru soluțiile $x = 0$ și $x = 1$ , care convin.

4. (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A = {0, 1, 2, \dots, 26}$ . Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$ , acesta să fie pătratul unui număr natural.

Rezolvare. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și al celor posibile. Mulțimea $A$ are $27$ de elemente (de la $0$ la $26$ ), deci sunt $27$ de cazuri posibile. Pătratele perfecte din $A$ sunt $0, 1, 4, 9, 16, 25$ , adică $6$ numere ( $6^{2} = 36$ depășește $26$ ). Probabilitatea este $\frac{6}{27} = \frac{2}{9}$ .

Răspuns: $p = \frac{2}{9}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru numărul cazurilor posibile, 3 puncte pentru numărul cazurilor favorabile și valoarea probabilității.

5. (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (0, 4)$ , $B (3, 0)$ și $C (4, 7)$ . Arătați că triunghiul $A B C$ este dreptunghic isoscel.

Rezolvare. Se calculează lungimile laturilor cu formula distanței dintre două puncte: $A B = 3^{2} + 4^{2} = 5$ , $A C = 4^{2} + 3^{2} = 5$ și $B C = 1^{2} + 7^{2} = 50$ . Două laturi sunt egale ( $A B = A C$ ), deci triunghiul este isoscel. În plus, $A B^{2} + A C^{2} = 25 + 25 = 50 = B C^{2}$ , iar reciproca teoremei lui Pitagora arată că unghiul $A$ este drept.

Răspuns: triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ și isoscel, cu $A B = A C = 5$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru lungimile $A B$ și $A C$ , 3 puncte pentru $B C$ și verificarea relației $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ , cu concluzia dreptunghic isoscel.

6. (5 puncte)

Arătați că $2 sin 6 0^{\circ} + 3 sin 3 0^{\circ} - 3 cos 3 0^{\circ} = 0$ .

Rezolvare. Se folosesc valorile remarcabile $sin 6 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ și $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ . Expresia devine $2 \cdot \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{3}{2} = 3 + \frac{3}{2} - \frac{3 3}{2} = \frac{3 3}{2} - \frac{3 3}{2} = 0$ .

Răspuns: expresia este egală cu $0$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru valorile funcțiilor trigonometrice, 2 puncte pentru calculul care duce la $0$ .

Ce punctează baremul la Subiectul I. Baremul acordă punctajul corespunzător oricărei soluții corecte, chiar dacă diferă de cea din barem. Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele indicate la fiecare cerință. Fiecare cerință are 5 puncte, împărțite între etapa de pregătire (valori, formule, ecuația rezultată) și etapa de încheiere (calculul final, soluția, concluzia): 3 + 2 la cerințele 1, 2 și 6, 2 + 3 la cerințele 3, 4 și 5. La cerința 3 baremul trece explicit soluțiile $x = 0$ și $x = 1$ ca „convin”, deci verificarea lor face parte din rezolvare, iar la cerința 5 concluzia „dreptunghic isoscel” cere atât egalitatea laturilor, cât și relația lui Pitagora pentru $B C$ .

Lecțiile din spate: Ecuații cu radicali, Probabilitatea clasică, Distanța dintre două puncte, Valori trigonometrice remarcabile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

În problema 1 se folosesc matricele $I_{2} = (1001)$ și $M (a) = (2 a a a a - 2)$ , cu $a$ număr real.

II.1.a) (5 puncte)

Arătați că $det (M (4)) = 0$ .

Rezolvare. Pentru $a = 4$ se obține $M (4) = (8442)$ . Determinantul unei matrice de ordin doi este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe cea secundară: $det (M (4)) = 8 \cdot 2 - 4 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$ .

Răspuns: $det (M (4)) = 0$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru matricea $M (4)$ și scrierea determinantului, 2 puncte pentru calculul $16 - 16 = 0$ .

II.1.b) (5 puncte)

Arătați că $M (1) \cdot M (1) - M (1) = 3 I_{2}$ .

Rezolvare. Pentru $a = 1$ rezultă $M (1) = (21 1 - 1)$ . Produsul este $M (1) \cdot M (1) = (2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 1 \cdot 2 + (- 1) \cdot 1 2 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) 1 \cdot 1 + (- 1) \cdot (- 1)) = (5112)$ . Atunci $M (1) \cdot M (1) - M (1) = (5 - 2 1 - 1 1 - 1 2 - (- 1)) = (3003) = 3 I_{2}$ .

Răspuns: $M (1) \cdot M (1) - M (1) = 3 I_{2}$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru $M (1)$ și diferența $M (1) \cdot M (1) - M (1)$ scrisă cu matricele calculate, 2 puncte pentru rezultatul $3 I_{2}$ .

II.1.c) (5 puncte)

Demonstrați că numărul $N = det (M (n) - 3 (M (1))^{- 1})$ este natural impar, pentru orice număr natural nenul $n$ , unde $(M (1))^{- 1}$ este inversa matricei $M (1)$ .

Rezolvare. Matricea $M (1)$ are determinantul $2 \cdot (- 1) - 1 \cdot 1 = - 3 \neq = 0$ , deci este inversabilă, iar inversa ei este $(M (1))^{- 1} = \frac{1}{- 3} (- 1 - 1 - 1 2) = (\frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{3} - \frac{2}{3})$ . Rezultă $3 (M (1))^{- 1} = (11 1 - 2)$ . Atunci

M (n) - 3 (M (1))^{- 1} = (2 n - 1 n - 1 n - 1 n),

iar $N = (2 n - 1) \cdot n - (n - 1)^{2} = 2 n^{2} - n - n^{2} + 2 n - 1 = n^{2} + n - 1$ . Se scrie $N = n (n + 1) - 1$ . Numerele $n$ și $n + 1$ sunt naturale consecutive, deci unul dintre ele este par și produsul $n (n + 1)$ este par. Scăzând $1$ dintr-un număr par se obține un număr impar, iar $N$ este natural pentru $n \geq 1$ (deoarece $n^{2} + n - 1 \geq 1$ ). Așadar $N$ este natural impar, pentru orice $n$ natural nenul.

Răspuns: $N = n^{2} + n - 1 = n (n + 1) - 1$ , număr natural impar.

Punctaj în barem: 3 puncte pentru calculul lui $3 (M (1))^{- 1}$ , al matricei $M (n) - 3 (M (1))^{- 1}$ și al lui $N = n^{2} + n - 1$ , 2 puncte pentru forma $n (n + 1) - 1$ și argumentul că $n$ și $n + 1$ au paritate diferită, deci $N$ este impar.

În problema 2 se folosește legea de compoziție $x * y = x y - 3 x - 3 y + 12$ , definită pe mulțimea numerelor reale.

II.2.a) (5 puncte)

Arătați că $2 * 5 = 1$ .

Rezolvare. Se înlocuiesc $x = 2$ și $y = 5$ în definiția legii: $2 * 5 = 2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 - 3 \cdot 5 + 12 = 10 - 6 - 15 + 12 = 1$ .

Răspuns: $2 * 5 = 1$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru înlocuirea în formula legii, 2 puncte pentru calculul $10 - 6 - 15 + 12 = 1$ .

II.2.b) (5 puncte)

Arătați că $e = 4$ este elementul neutru al legii de compoziție „ $*$ ”.

Rezolvare. Un element $e$ este neutru dacă $x * e = e * x = x$ pentru orice $x$ real. Se calculează $x * 4 = 4 x - 3 x - 12 + 12 = x$ și $4 * x = 4 x - 12 - 3 x + 12 = x$ , pentru orice număr real $x$ . Ambele egalități sunt adevărate, deci $4$ este element neutru bilateral.

Răspuns: $e = 4$ este elementul neutru al legii „ $*$ ”.

Punctaj în barem: 2 puncte pentru $x * 4 = x$ , 3 puncte pentru $4 * x = x$ și concluzia că $e = 4$ este elementul neutru.

II.2.c) (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care $(a - x)_{(} a - x) = (a + x)_{(} a + x)$ , pentru orice număr real $x$ .

Rezolvare. Din definiție, $t * t = t^{2} - 6 t + 12$ pentru orice real $t$ . Prin urmare $(a - x) * (a - x) = (a - x)^{2} - 6 (a - x) + 12$ și $(a + x) * (a + x) = (a + x)^{2} - 6 (a + x) + 12$ . Egalitatea cerută este echivalentă cu

(a - x)^{2} - 6 (a - x) = (a + x)^{2} - 6 (a + x) .

Diferența membrului stâng și a celui drept este $- 4 a x + 12 x = - 4 x (a - 3)$ . Ea trebuie să fie nulă pentru orice $x$ real, deci $a - 3 = 0$ (în caz contrar, expresia ar fi nenulă pentru orice $x \neq = 0$ ).

Răspuns: $a = 3$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru scrierea celor doi termeni cu formula $t * t = t^{2} - 6 t + 12$ , 3 puncte pentru reducerea la o relație de forma $x (a - 3) = 0$ valabilă pentru orice $x$ și pentru $a = 3$ .

Ce punctează baremul la Subiectul al II-lea. Se aplică aceleași reguli generale ca la primul subiect: orice soluție corectă se punctează, fără fracțiuni de punct, cu punctaje intermediare pentru etape parțiale. Fiecare dintre cele șase cerințe are 5 puncte, împărțite 3 + 2 la II.1.a), II.1.b), II.1.c) și II.2.a), respectiv 2 + 3 la II.2.b) și II.2.c). La II.1.c) cele 3 puncte se obțin după calculul corect al matricei $M (n) - 3 (M (1))^{- 1}$ și al determinantului ei, iar ultimele 2 puncte cer și argumentul de paritate ( $n$ și $n + 1$ de paritate diferită). La II.2.c) baremul cere o relație valabilă pentru orice $x$ , nu doar pentru o valoare aleasă a lui $x$ .

Lecțiile din spate: Determinanți, Matrice, Matrice inversabile, Legi de compoziție

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

În problema 1 se folosește funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} - 3}{x ^{3}}$ .

III.1.a) (5 puncte)

Arătați că $f^{'} (x) = \frac{9 - x ^{2}}{x ^{4}}$ , $x \in (0, + \infty)$ .

Rezolvare. Se derivează prin formula câtului, $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , cu $u = x^{2} - 3$ și $v = x^{3}$ :

f^{'} (x) = \frac{2 x \cdot x ^{3} - ( x ^{2} - 3 ) \cdot 3 x ^{2}}{( x ^{3} ) ^{2}} = \frac{x ^{2} ( 2 x ^{2} - 3 x ^{2} + 9 )}{x ^{6}} = \frac{x ^{2} ( 9 - x ^{2} )}{x ^{6}} = \frac{9 - x ^{2}}{x ^{4}} .

Răspuns: $f^{'} (x) = \frac{9 - x ^{2}}{x ^{4}}$ , pentru $x \in (0, + \infty)$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru aplicarea formulei de derivare a câtului, 2 puncte pentru simplificarea până la forma cerută.

III.1.b) (5 puncte)

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 1$ , situat pe graficul funcției $f$ .

Rezolvare. Tangenta în punctul de abscisă $x = 1$ are ecuația $y - f (1) = f^{'} (1) (x - 1)$ . Se calculează $f (1) = \frac{1 - 3}{1} = - 2$ și, din punctul a), $f^{'} (1) = \frac{9 - 1}{1} = 8$ . Atunci $y + 2 = 8 (x - 1)$ , adică $y = 8 x - 10$ .

Răspuns: $y = 8 x - 10$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru $f (1)$ și $f^{'} (1)$ , 3 puncte pentru scrierea ecuației tangentei și forma $y = 8 x - 10$ .

III.1.c) (5 puncte)

Demonstrați că $9 f (2 x) - f (x) \leq 4$ , pentru orice $x \in [1, 2]$ .

Rezolvare. Din punctul a), $f^{'} (x) = 0$ dă $9 - x^{2} = 0$ , adică $x = 3$ pe intervalul $(0, + \infty)$ . Pentru $x \in (0, 3)$ avem $f^{'} (x) > 0$ , deci $f$ este crescătoare pe $(0, 3]$ , iar pentru $x > 3$ avem $f^{'} (x) < 0$ , deci $f$ este descrescătoare pe $[3, + \infty)$ . Rezultă că $f (3) = \frac{9 - 3}{27} = \frac{2}{9}$ este valoarea maximă a funcției pe $(0, + \infty)$ .

Dacă $x \in [1, 2]$ , atunci $2 x \in [2, 4] \subset (0, + \infty)$ , deci $f (2 x) \leq f (3) = \frac{2}{9}$ și $9 f (2 x) \leq 2$ . Totodată $[1, 2] \subset (0, 3]$ , unde $f$ este crescătoare, deci $f (x) \geq f (1) = - 2$ , adică $- f (x) \leq 2$ . Adunând cele două inegalități se obține $9 f (2 x) - f (x) \leq 2 + 2 = 4$ , pentru orice $x \in [1, 2]$ .

Răspuns: inegalitatea $9 f (2 x) - f (x) \leq 4$ este demonstrată, folosind $f (2 x) \leq f (3) = \frac{2}{9}$ și $f (x) \geq f (1) = - 2$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru semnul derivatei și monotonia funcției (punct de maxim în $x = 3$ ), 3 puncte pentru comparațiile $f (x) \geq f (1)$ și $f (2 x) \leq f (3)$ și concluzia.

În problema 2 se folosește funcția $f : (- 3, + \infty) \to R$ , $f (x) = x + 2 + \frac{2}{x + 3}$ .

III.2.a) (5 puncte)

Arătați că $\int_{0}^{4} (f (x) - \frac{2}{x + 3}) d x = 16$ .

Rezolvare. Prin definiția lui $f$ , diferența de sub integrală este $f (x) - \frac{2}{x + 3} = x + 2$ . Atunci

\int_{0}^{4} (x + 2) d x = (\frac{x ^{2}}{2} + 2 x)_{0}^{4} = \frac{16}{2} + 8 - 0 = 8 + 8 = 16.

Răspuns: integrala este egală cu $16$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru reducerea integrandului la $x + 2$ și găsirea unei primitive, 2 puncte pentru aplicarea formulei Leibniz-Newton și valoarea $16$ .

III.2.b) (5 puncte)

Arătați că $\int_{1}^{6} (f (x) - x - 2) d x = 4$ .

Rezolvare. Aici $f (x) - x - 2 = \frac{2}{x + 3}$ . Cum $(x + 3)^{'} = \frac{1}{2 x + 3}$ , avem $\frac{2}{x + 3} = 4 (x + 3)^{'}$ , deci o primitivă a integrandului este $4 x + 3$ . Rezultă

\int_{1}^{6} \frac{2}{x + 3} d x = 4 x + 3_{1}^{6} = 4 \cdot 3 - 4 \cdot 2 = 12 - 8 = 4.

Răspuns: integrala este egală cu $4$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru reducerea la $\frac{2}{x + 3}$ și primitiva $4 x + 3$ , 2 puncte pentru calculul $12 - 8 = 4$ .

III.2.c) (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care $\int_{- 2}^{1} f^{'} (x) (1 + \frac{1}{f ( x )}) d x = ln (2 e^{a})$ .

Rezolvare. Integrandul se desparte în $f^{'} (x) + \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$ . Pe intervalul $[- 2, 1]$ funcția $f$ este strict pozitivă, fiindcă $x + 2 \geq 0$ și $\frac{2}{x + 3} > 0$ . Prin urmare o primitivă este $f (x) + ln f (x)$ , deoarece $(ln f (x))^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$ . Cu $f (1) = 1 + 2 + \frac{2}{2} = 4$ și $f (- 2) = 0 + \frac{2}{1} = 2$ :

\int_{- 2}^{1} f^{'} (x) (1 + \frac{1}{f ( x )}) d x = (f (x) + ln f (x))_{- 2}^{1} = 4 + ln 4 - 2 - ln 2 = 2 + ln 2.

Membrul drept este $ln (2 e^{a}) = ln 2 + a$ . Din $2 + ln 2 = ln 2 + a$ rezultă $a = 2$ .

Răspuns: $a = 2$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru calculul integralei, cu valoarea $2 + ln 2$ , 2 puncte pentru $ln (2 e^{a}) = a + ln 2$ și obținerea lui $a = 2$ .

Ce punctează baremul la Subiectul al III-lea. Regulile generale sunt aceleași: soluție corectă oarecare, fără fracțiuni de punct, cu punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale. Fiecare cerință are 5 puncte, împărțite 3 + 2 la III.1.a), III.2.a), III.2.b) și III.2.c), respectiv 2 + 3 la III.1.b) și III.1.c). La derivată, 2 puncte (III.1.a) revin simplificării, nu doar aplicării formulei. La integrale, 3 puncte revin găsirii primitivei și scrierii calculului, iar ultimele 2 puncte revin valorii numerice sau determinării lui $a$ . La III.1.c) baremul cere atât studiul monotoniei, cât și comparația valorilor în punctele $1$ și $3$ .

Lecțiile din spate: Reguli de derivare, Derivata într-un punct, Monotonia prin derivată, Integrala definită

Matematică M_pedagogic: simularea din martie 2026

Simulare. Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Se acordă 90 de puncte pentru subiecte și 10 din oficiu; timpul de lucru efectiv este de trei ore.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5 puncte)

Arătați că $0, 25 \cdot 6 + (3 - 0, 5) : 5 = 2$ .

Rezolvare. Se respectă ordinea operațiilor: întâi paranteza, apoi înmulțirea și împărțirea, la sfârșit adunarea. Avem $0, 25 \cdot 6 = 1, 5$ și $3 - 0, 5 = 2, 5$ , deci $(3 - 0, 5) : 5 = 2, 5 : 5 = 0, 5$ . Suma este $1, 5 + 0, 5 = 2$ .

Răspuns: expresia este egală cu $2$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru calculul termenilor $0, 25 \cdot 6$ și $(3 - 0, 5) : 5$ , 2 puncte pentru adunarea $1, 5 + 0, 5 = 2$ .

2. (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ și numărul real $m$ , ordonata punctului de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $O y$ . Calculați $f (m)$ .

Rezolvare. Graficul intersectează axa $O y$ în punctul de abscisă $0$ , iar ordonata lui este $f (0) = - 3$ . Deci $m = - 3$ . Atunci $f (m) = f (- 3) = (- 3)^{2} - 2 \cdot (- 3) - 3 = 9 + 6 - 3 = 12$ .

Răspuns: $f (m) = 12$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru $m = f (0) = - 3$ , 3 puncte pentru calculul lui $f (- 3) = 12$ .

3. (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x = 2 2 x$ .

Rezolvare. Membrul drept este un număr pozitiv sau nul, deci soluțiile trebuie să verifice $x \geq 0$ . Se ridică ambii membri la pătrat: $x^{2} = 4 \cdot 2 x = 8 x$ , adică $x^{2} - 8 x = 0$ și $x (x - 8) = 0$ . Se obțin $x = 0$ și $x = 8$ , ambele nenegative. Verificare: pentru $x = 0$ ambii membri sunt $0$ , iar pentru $x = 8$ avem $216 = 8$ . Cele două valori convin.

Răspuns: $x \in {0, 8}$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru ecuația $x^{2} = 8 x$ și forma $x^{2} - 8 x = 0$ , 2 puncte pentru soluțiile $x = 0$ și $x = 8$ , care convin.

4. (5 puncte)

După o scumpire cu $20%$ , un obiect costă $600$ de lei. Obiectul este scumpit din nou, cu $5%$ . Calculați diferența dintre prețul obiectului după cele două scumpiri și prețul înainte de cele două scumpiri.

Rezolvare. Fie $x$ prețul înainte de prima scumpire. După scumpirea cu $20%$ prețul este $x + \frac{20}{100} x = 600$ , adică $1, 2 x = 600$ și $x = 500$ de lei. A doua scumpire se aplică prețului de $600$ de lei: $600 + \frac{5}{100} \cdot 600 = 600 + 30 = 630$ de lei. Diferența cerută este $630 - 500 = 130$ de lei.

Răspuns: $130$ de lei.

Punctaj în barem: 2 puncte pentru ecuația care dă prețul inițial $x = 500$ , 3 puncte pentru prețul de $630$ de lei după a doua scumpire și diferența $630 - 500 = 130$ .

5. (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (3, 3)$ , $B (4, 6)$ și $C$ , astfel încât $A$ este mijlocul segmentului $B C$ . Determinați lungimea segmentului $O C$ .

Rezolvare. Fie $C (x_{C}, y_{C})$ . Fiindcă $A$ este mijlocul lui $B C$ , coordonatele lui $A$ sunt semisumele coordonatelor capetelor: $3 = \frac{4 + x _{C}}{2}$ și $3 = \frac{6 + y _{C}}{2}$ . Rezultă $x_{C} = 2$ și $y_{C} = 0$ , deci $C (2, 0)$ . Punctul $C$ se află pe axa $O x$ , așa că $O C = 2^{2} + 0^{2} = 2$ .

Răspuns: $O C = 2$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru coordonatele punctului $C (2, 0)$ , 2 puncte pentru lungimea $O C = 2$ .

6. (5 puncte)

Se consideră triunghiul $D E F$ , dreptunghic în $D$ , cu $D E = 3$ și $sin F = \frac{1}{3}$ . Arătați că $D F = 62$ .

Rezolvare. În triunghiul dreptunghic $D E F$ , ipotenuza este $E F$ , iar $D E$ este cateta opusă unghiului $F$ . Deci $sin F = \frac{D E}{E F}$ , adică $\frac{1}{3} = \frac{3}{E F}$ , de unde $E F = 9$ . Din teorema lui Pitagora, $D F^{2} = E F^{2} - D E^{2} = 81 - 9 = 72 = 36 \cdot 2$ , deci $D F = 36 \cdot 2 = 62$ .

Răspuns: $D F = 62$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru ipotenuza $E F = 9$ , 2 puncte pentru $D F^{2} = 72$ și $D F = 62$ .

Ce punctează baremul la Subiectul I. Baremul acordă punctajul corespunzător oricărei soluții corecte, chiar dacă diferă de cea din barem. Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele indicate la fiecare cerință. Fiecare cerință are 5 puncte, împărțite 3 + 2 la cerințele 1, 3, 5 și 6, respectiv 2 + 3 la cerințele 2 și 4. La cerința 3 baremul trece soluțiile $x = 0$ și $x = 8$ ca „convin”, deci verificarea lor face parte din rezolvare. La cerința 4 prețul inițial se află din prima scumpire, iar a doua procentare se aplică prețului de $600$ de lei, nu celui inițial; diferența cerută cuprinde ambele scumpiri.

Lecțiile din spate: Procente, Ecuații cu radicali, Mijlocul unui segment, Rapoarte trigonometrice în triunghiul dreptunghic

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = (x - 4 y) (y - 4 x) + 4$ .

II.1. (5 puncte)

Arătați că $1 * 3 = 15$ .

Rezolvare. Se înlocuiesc $x = 1$ și $y = 3$ : $1 * 3 = (1 - 4 \cdot 3) (3 - 4 \cdot 1) + 4 = (- 11) \cdot (- 1) + 4 = 11 + 4 = 15$ .

Răspuns: $1 * 3 = 15$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru înlocuirea în formula legii și calculul factorilor, 2 puncte pentru rezultatul $15$ .

II.2. (5 puncte)

Arătați că legea de compoziție „ $*$ ” este comutativă.

Rezolvare. Legea este comutativă dacă $x * y = y * x$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ . Avem $y * x = (y - 4 x) (x - 4 y) + 4$ . Produsul este același cu cel din $x * y = (x - 4 y) (y - 4 x) + 4$ , fiindcă înmulțirea numerelor reale este comutativă, deci cei doi factori pot fi scriși în orice ordine. Prin urmare $y * x = x * y$ .

Răspuns: legea „ $*$ ” este comutativă.

Punctaj în barem: 3 puncte pentru scrierea lui $y * x$ cu formula legii și aducerea la forma $(x - 4 y) (y - 4 x) + 4$ , 2 puncte pentru concluzia $x * y = y * x$ pentru orice $x$ și $y$ reale.

II.3. (5 puncte)

Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * 0 = 0$ .

Rezolvare. Pentru $y = 0$ formula devine $x * 0 = (x - 0) (0 - 4 x) + 4 = - 4 x^{2} + 4$ . Ecuația $x * 0 = 0$ este $- 4 x^{2} + 4 = 0$ , deci $x^{2} = 1$ , de unde $x = - 1$ sau $x = 1$ .

Răspuns: $x \in {- 1, 1}$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru $x * 0 = - 4 x^{2} + 4$ , 2 puncte pentru soluțiile ecuației $- 4 x^{2} + 4 = 0$ .

II.4. (5 puncte)

Arătați că $x * (x + 1) = 9 x (x + 1)$ , pentru orice număr real $x$ .

Rezolvare. Pentru $y = x + 1$ se obține $x * (x + 1) = (x - 4 (x + 1)) ((x + 1) - 4 x) + 4 = (- 3 x - 4) (1 - 3 x) + 4$ . Prin desfacerea parantezelor, $(- 3 x - 4) (1 - 3 x) = - 3 x + 9 x^{2} - 4 + 12 x = 9 x^{2} + 9 x - 4$ . Adăugând $4$ rezultă $x * (x + 1) = 9 x^{2} + 9 x = 9 x (x + 1)$ .

Răspuns: $x * (x + 1) = 9 x (x + 1)$ , pentru orice $x$ real.

Punctaj în barem: 3 puncte pentru înlocuirea $y = x + 1$ și forma $(- 3 x - 4) (1 - 3 x) + 4$ , 2 puncte pentru desfacerea parantezelor și forma $9 x (x + 1)$ .

II.5. (5 puncte)

Determinați numărul real $x$ pentru care $(x - 1)_{x} = (x + 1)_{(} x + 2)$ .

Rezolvare. Relația din cerința II.4 are forma $t * (t + 1) = 9 t (t + 1)$ , valabilă pentru orice $t$ real. Pentru $t = x - 1$ se obține $(x - 1)_{x} = 9 (x - 1) x$ , iar pentru $t = x + 1$ se obține $(x + 1)_{(} x + 2) = 9 (x + 1) (x + 2)$ . Ecuația devine $9 x (x - 1) = 9 (x + 1) (x + 2)$ , adică $x^{2} - x = x^{2} + 3 x + 2$ , deci $- 4 x = 2$ și $x = - \frac{1}{2}$ .

Răspuns: $x = - \frac{1}{2}$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru scrierea celor doi membri cu relația de la II.4, 2 puncte pentru ecuația $9 x (x - 1) = 9 (x + 1) (x + 2)$ și soluția ei.

II.6. (5 puncte)

Determinați numerele reale $m$ pentru care $x * (m x) = 4$ , pentru orice număr real $x$ .

Rezolvare. Se înlocuiește $y = m x$ : $x * (m x) = (x - 4 m x) (m x - 4 x) + 4 = x (1 - 4 m) \cdot x (m - 4) + 4 = x^{2} (1 - 4 m) (m - 4) + 4$ . Egalitatea $x * (m x) = 4$ revine la $x^{2} (1 - 4 m) (m - 4) = 0$ pentru orice $x$ real. Pentru $x = 1$ se obține $(1 - 4 m) (m - 4) = 0$ , deci $m = \frac{1}{4}$ sau $m = 4$ . Reciproc, pentru aceste două valori produsul $(1 - 4 m) (m - 4)$ este nul, deci egalitatea are loc pentru orice $x$ .

Răspuns: $m \in {\frac{1}{4}, 4}$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru $x * (m x) = x^{2} (1 - 4 m) (m - 4) + 4$ , 3 puncte pentru condiția $(1 - 4 m) (m - 4) = 0$ și valorile $m = \frac{1}{4}$ și $m = 4$ .

Ce punctează baremul la Subiectul al II-lea. Se aplică aceleași reguli generale ca la primul subiect: orice soluție corectă se punctează, fără fracțiuni de punct, cu punctaje intermediare pentru etape parțiale. Fiecare dintre cele șase cerințe are 5 puncte, împărțite 3 + 2 la II.1–II.5 și 2 + 3 la II.6. Cerințele sunt legate între ele: relația de la II.4 se folosește direct la II.5, iar la II.6 baremul cere o condiție valabilă pentru orice $x$ , deci coeficientul lui $x^{2}$ trebuie să se anuleze.

Lecțiile din spate: Legi de compoziție, Ecuații de gradul al doilea

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $I_{2} = (1001)$ și $A (x) = (x x - 1 2 - x 3 - x)$ , unde $x$ este număr real.

III.1. (5 puncte)

Arătați că $det (A (4)) = 2$ .

Rezolvare. Pentru $x = 4$ se obține $A (4) = (43 - 2 - 1)$ , iar $det (A (4)) = 4 \cdot (- 1) - (- 2) \cdot 3 = - 4 + 6 = 2$ .

Răspuns: $det (A (4)) = 2$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru matricea $A (4)$ și scrierea determinantului, 2 puncte pentru calculul $- 4 + 6 = 2$ .

III.2. (5 puncte)

Determinați numărul real $x$ pentru care $A (3) + 3 A (x) = 4 A (6)$ .

Rezolvare. Se calculează $A (3) = (32 - 1 0)$ și $A (6) = (65 - 4 - 3)$ . Egalitatea dă $3 A (x) = 4 A (6) - A (3) = (2118 - 15 - 12)$ . Matricea din dreapta este $3 A (7)$ , fiindcă $A (7) = (76 - 5 - 4)$ . Deci $3 A (x) = 3 A (7)$ , adică $A (x) = A (7)$ , iar din egalitatea elementelor de pe prima poziție, $x = 7$ .

Răspuns: $x = 7$ .

Punctaj în barem: 2 puncte pentru $A (3)$ , $A (6)$ și $3 A (x) = 4 A (6) - A (3)$ , 3 puncte pentru $4 A (6) - A (3) = 3 A (7)$ și $x = 7$ .

III.3. (5 puncte)

Arătați că $A (5) \cdot (3 I_{2} - A (5)) = 2 I_{2}$ .

Rezolvare. Avem $A (5) = (54 - 3 - 2)$ , deci $3 I_{2} - A (5) = (- 2 - 4 35)$ . Produsul este

A (5) \cdot (3 I_{2} - A (5)) = (- 10 + 12 - 8 + 8 15 - 15 12 - 10) = (2002) = 2 I_{2} .

Răspuns: $A (5) \cdot (3 I_{2} - A (5)) = 2 I_{2}$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru $A (5)$ , $3 I_{2} - A (5)$ și produsul scris cu elementele calculate, 2 puncte pentru rezultatul $2 I_{2}$ .

III.4. (5 puncte)

Arătați că $det (A (0) \cdot A (1) - A (x)) = 0$ , pentru orice număr real $x$ .

Rezolvare. Cu $A (0) = (0 - 1 23)$ și $A (1) = (1012)$ se obține $A (0) \cdot A (1) = (0 - 1 45)$ . Atunci

A (0) \cdot A (1) - A (x) = (- x - x x + 2 x + 2) .

Determinantul este $- x (x + 2) - (x + 2) (- x) = - x (x + 2) + x (x + 2) = 0$ , pentru orice $x$ real. (Cele două linii ale matricei sunt identice, ceea ce explică anularea determinantului.)

Răspuns: $det (A (0) \cdot A (1) - A (x)) = 0$ pentru orice $x$ real.

Punctaj în barem: 3 puncte pentru matricea $A (0) \cdot A (1) - A (x)$ , 2 puncte pentru calculul determinantului și rezultatul $0$ .

III.5. (5 puncte)

Arătați că numărul $N = det (A (n) + n I_{2})$ este natural par, pentru orice număr natural $n$ .

Rezolvare. Avem $A (n) + n I_{2} = (2 n n - 1 2 - n 3)$ . Determinantul este $N = 2 n \cdot 3 - (2 - n) (n - 1) = 6 n - (- n^{2} + 3 n - 2) = n^{2} + 3 n + 2$ , care se descompune în $N = (n + 1) (n + 2)$ . Numerele $n + 1$ și $n + 2$ sunt naturale consecutive, deci unul dintre ele este par, iar produsul lor este par. Așadar $N$ este natural par, pentru orice $n$ natural.

Răspuns: $N = n^{2} + 3 n + 2 = (n + 1) (n + 2)$ , număr natural par.

Punctaj în barem: 2 puncte pentru matricea $A (n) + n I_{2}$ și $N = n^{2} + 3 n + 2$ , 3 puncte pentru descompunerea $(n + 1) (n + 2)$ și argumentul că $n + 1$ și $n + 2$ sunt consecutive, deci $N$ este par.

III.6. (5 puncte)

Determinați matricea $X \in M_{2} (R)$ pentru care $A (5) \cdot X = A (0) + 3 X$ .

Rezolvare. Se grupează termenii cu $X$ : $A (5) \cdot X - 3 X = A (0)$ , adică $(A (5) - 3 I_{2}) \cdot X = A (0)$ . Din cerința III.3, $A (5) \cdot (3 I_{2} - A (5)) = 2 I_{2}$ , deci $A (5) \cdot (A (5) - 3 I_{2}) = - 2 I_{2}$ . Rezultă că matricea $A (5) - 3 I_{2}$ este inversabilă, cu inversa $- \frac{1}{2} A (5)$ . Înmulțind egalitatea cu această inversă, la stânga, se obține $X = - \frac{1}{2} A (5) \cdot A (0)$ . Produsul $A (5) \cdot A (0) = (54 - 3 - 2) (0 - 1 23) = (3212)$ , deci

X = - \frac{1}{2} (3212) = (- \frac{3}{2} - 1 - \frac{1}{2} - 1) .

Răspuns: $X = (- \frac{3}{2} - 1 - \frac{1}{2} - 1)$ .

Punctaj în barem: 3 puncte pentru forma $(A (5) - 3 I_{2}) \cdot X = A (0)$ , inversa $- \frac{1}{2} A (5)$ și $X = - \frac{1}{2} A (5) \cdot A (0)$ , 2 puncte pentru matricea $X$ calculată.

Ce punctează baremul la Subiectul al III-lea. Regulile generale sunt aceleași: orice soluție corectă, fără fracțiuni de punct, cu punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale. Fiecare cerință are 5 puncte, împărțite 3 + 2 la III.1, III.3, III.4 și III.6, respectiv 2 + 3 la III.2 și III.5. La III.5 treapta de 3 puncte cere atât descompunerea în factori, cât și argumentul de paritate. La III.6 baremul folosește rezultatul de la III.3 pentru inversa matricei $A (5) - 3 I_{2}$ , dar o altă metodă corectă (de exemplu, calculul direct al inversei prin determinant) se punctează la fel.

Lecțiile din spate: Determinanți, Matrice, Matrice inversabile

Mai departe

Bacalaureat la matematică: programa, structura probei și lecțiile
Subiecte Bac matematică 2026: sesiunile iunie–iulie și august, pe profiluri
Simularea Bacalaureatului, pe probe

Întrebări frecvente

Când a fost simularea la matematică în 2026?

Proba obligatorie a profilului, matematică sau istorie, a fost pe 24 martie 2026, a doua zi după româna din 23 martie. Calendarul simulării este în anexa 2 la Ordinul 6.059/2025.

Ce a venit la Subiectul al III-lea la simulare, la M_mate-info?

Prima problemă a pornit de la funcția f(x) = e^(x−2)/√(x−1), definită pe (1, +∞): derivata, o limită de forma (f(x))^(1/(x−2)) când x tinde la 2 și mulțimea valorilor m pentru care ecuația f(x) = mx are exact două soluții.

Cât de bine au luat elevii proba obligatorie a profilului la simulare?

Din cele 111.800 de lucrări evaluate până pe 3 aprilie 2026 (98,87% din total), 64,36% au avut nota 5 sau mai mare, față de 63,28% în 2025. Cifra cuprinde la un loc matematica și istoria, conform sintezei Ministerului Educației.

în contul tăuPremium

Încearcă simularea cu grile la matematică, cu timpul probei.

Simularea este o adaptare cu grile a probei, în cont: gratuit ai o simulare pe lună, iar cu Premium nu ai limită. Subiectele de pe această pagină rămân gratuite.

Vezi ce include Premium

Meniu

Simulare Bac matematică 2026: subiectele, baremul și rezolvarea

Documentele oficiale

Data probei

Matematică M_mate-info: simularea din martie 2026

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Matematică M_șt-nat (științele naturii): simularea din martie 2026

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Matematică M_tehnologic: simularea din martie 2026

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Matematică M_pedagogic: simularea din martie 2026

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Mai departe

Întrebări frecvente