Aplicații ale integralelor

Integralele calculează arii și volume. Dacă $f(x)\ge g(x)$ pe $[a;b]$, aria dintre grafice este ${\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$. Dacă o regiune de sub graficul lui $f(x)\ge 0$ se rotește în jurul axei $Ox$, corpul obținut are volumul $\pi {\int }_a^{b}f(x{)}^{2}dx$, deoarece secțiunile perpendiculare pe axă sunt discuri.

Exemplu rezolvat. Aria dintre $y=x$ și axa $Ox$ pe $[0;2]$:

1. $x\ge 0$ pe interval.
2. Calculăm ${\int }_0^{2}xdx=[x^2/2{]}_0^2$.
3. Aria este $2$ unități pătrate.

Aria. Dacă $f$ este continuă pe $[a;b]$, aria dintre graficul ei și axa $Ox$ este ${\int }_a^b|f(x)|dx$, iar pentru două funcții continue $f$ și $g$ aria dintre grafice este ${\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$. Dacă graficele se intersectează, se rezolvă ecuația $f(x)=g(x)$, iar abscisele găsite împart intervalul în porțiuni. Pe fiecare porțiune se află, cu o valoare de test, care grafic este deasupra și se integrează diferența „sus minus jos”.

Exemplu rezolvat. Aflăm aria mărginită de parabola $y=x^2$ și de dreapta $y=x+2$.

1. Ecuația $x^2=x+2$ are rădăcinile $-1$ și $2$, care sunt capetele intervalului.
2. În $x=0$, dreapta are valoarea $2$ și parabola $0$, deci dreapta este deasupra pe tot $[-1;2]$.
3. Aria este ${\int }_{-1}^2(x+2-x^2)dx={\left[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^2=\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{9}{2}$ unități pătrate.

Exemplu rezolvat. Aflăm aria regiunii mărginite de graficul lui $f(x)=\ln x$, de axa $Ox$ și de dreapta $x=e$.

1. Funcția $\ln x$ se anulează în $x=1$, deci regiunea se află pe $[1;e]$, unde $\ln x\ge 0$.
2. Din lecția „Metode de integrare”, $\int \ln xdx=x\ln x-x+C$.
3. Aria este $[x\ln x-x{]}_1^e=(e-e)-(0-1)=1$ unitate pătrată.

Când graficele își schimbă ordinea, împărțirea intervalului este obligatorie. Pentru $y=x^3$ și $y=x$ pe $[-1;1]$, graficele se taie în $-1$, $0$ și $1$. Pe $[-1;0]$ avem $x^3\ge x$, iar pe $[0;1]$ avem $x\ge x^3$. Cele două arii sunt egale, deci aria totală este $2{\int }_0^1(x-x^3)dx=\frac{1}{2}$.

Integrala nu este aria. Pentru $f(x)=\sin x$ pe $[0;2\pi ]$ avem ${\int }_0^{2\pi }\sin xdx=0$, fiindcă porțiunea de sub axă se scade din cea de deasupra. Aria este ${\int }_0^{\pi }\sin xdx+{\int }_{\pi }^{2\pi }(-\sin x)dx=2+2=4$ unități pătrate.

Volumul corpului de rotație. Dacă $f$ este continuă pe $[a;b]$, corpul obținut prin rotirea graficului lui $f$ în jurul axei $Ox$ are volumul $V=\pi {\int }_a^{b}f(x{)}^{2}dx$. Funcția nu trebuie să fie pozitivă, deoarece raza discului din secțiunea de abscisă $x$ este $|f(x)|$, iar $|f(x){|}^2=f(x{)}^2$. Dacă regiunea rotită este cuprinsă între graficele lui $g$ și $f$, cu $0\le g(x)\le f(x)$, volumul este $V=\pi {\int }_a^b(f(x{)}^2-g(x{)}^2)dx$: se scade volumul interior din volumul exterior.

Exemplu rezolvat. Între $y=x$ și $y=x^2$, pentru $x\in [0;1]$, prima curbă este deasupra celei de-a doua, deoarece $x-x^2=x(1-x)\ge 0$. Aria este ${\int }_0^1(x-x^2)dx={\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{6}$ unități pătrate. Dacă rotim în jurul axei $Ox$ doar regiunea dintre $y=x$ și axă, fiecare secțiune este un disc de rază $x$, iar $V=\pi {\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{\pi }{3}$ unități cubice.

Corpuri uzuale. Rotind segmentul $y=\frac{r}{h}x$, $x\in [0;h]$, se obține un con cu raza bazei $r$ și înălțimea $h$, cu volumul $\pi {\int }_0^h\frac{r^2}{h^2}{x}^{2}dx=\frac{\pi r^{2}h}{3}$. Rotind semicercul $y=\sqrt{R^2-x^2}$, $x\in [-R;R]$, se obține sfera de rază $R$, cu volumul $\pi {\int }_{-R}^R(R^2-x^2)dx=\frac{4\pi R^3}{3}$. Aria se măsoară în unități pătrate, iar volumul în unități cubice; dacă axele sunt gradate în centimetri, rezultatele sunt în cm² și cm³.

Limite de șiruri. O sumă de forma $\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$ tinde la ${\int }_0^{1}f(x)dx$ când $f$ este continuă pe $[0;1]$. De exemplu, ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$, deci limita șirului este ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln 2$. La fel, $\frac{1^2+2^2+\cdots +n^2}{n^3}=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^2\to {\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$.

Pentru aria dintre două grafice, integrăm diferența dintre funcția de sus și cea de jos pe fiecare interval de ordine constantă. Pentru volum, integrăm pătratul funcției, nu pătratul integralei, și nu uităm factorul $\pi$. O schiță rapidă a graficelor arată care este deasupra și unde se taie, iar răspunsul se compară cu estimarea: aria unei regiuni cuprinse într-un dreptunghi nu poate depăși aria dreptunghiului.

Problemă. Volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $f:[0;2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$, este:

• a) $16\pi$
• b) $\frac{14\pi }{3}$
• c) $\frac{26}{3}$
• d) $\frac{52\pi }{3}$
• e) $\frac{26\pi }{3}$
• f) $8\pi$

Rezolvare. Volumul este $V=\pi {\int }_0^2(x+1{)}^{2}dx=\pi {\left[\frac{(x+1{)}^3}{3}\right]}_0^2=\pi \cdot \frac{27-1}{3}=\frac{26\pi }{3}$. Răspunsul corect este e). Variantele greșite: a) ridică la pătrat integrala, $\pi {\left({\int }_0^2(x+1)dx\right)}^2=\pi \cdot 4^2$; b) ridică la pătrat termen cu termen și integrează $x^2+1$; c) uită factorul $\pi$; d) folosește $2\pi$ în loc de $\pi$, factorul suprafețelor de rotație; f) evaluează $f^2$ la capete, $\pi (f(2{)}^2-f(0{)}^2)=\pi (9-1)$.

Alt exemplu. Între $y=2x$ și $y=x^2$, punctele de intersecție au abscisele $0$ și $2$. Pe $[0;2]$, $2x\ge x^2$. Aria este ${\int }_0^2(2x-x^2)dx={\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=\frac{4}{3}$ unități pătrate.

Alt exemplu. Aria regiunii mărginite de graficul lui $y=e^x$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=1$ este ${\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1\approx 1,72$ unități pătrate; regiunea încape într-un dreptunghi cu aria $e\approx 2,72$, deci rezultatul este plauzibil.

Alt exemplu. Graficele funcțiilor $y=\sqrt{x}$ și $y=x$ se taie pentru $\sqrt{x}=x$, adică în $x=0$ și $x=1$. Pe $(0;1)$, $\sqrt{x}>x$; de pildă, în $x=\frac{1}{4}$ avem $\frac{1}{2}>\frac{1}{4}$. Aria este ${\int }_0^1(\sqrt{x}-x)dx=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$ unități pătrate.

Alt exemplu. Rotim în jurul axei $Ox$ regiunea dintre $y=x^2$ și $y=2x$. Pe $[0;2]$, $0\le x^2\le 2x$, deci $V=\pi {\int }_0^2(4x^2-x^4)dx=\pi \left(\frac{32}{3}-\frac{32}{5}\right)=\frac{64\pi }{15}$ unități cubice.

Greșeli frecvente

• Greșit: aria dintre grafice este $\int (f-g)$ fără verificarea ordinii.
  Corect: se ia valoarea absolută sau se împarte intervalul.
• Greșit: volumul prin discuri este $\pi (\int f{)}^2$.
  Corect: se integrează $\pi f^2$.
• Greșit: volumul regiunii dintre $g$ și $f$ se calculează prin $\pi {\int }_a^b(f-g{)}^{2}dx$.
  Corect: se scad pătratele razelor, $V=\pi {\int }_a^b(f^2-g^2)dx$.
• Greșit: aria dintre $y=x$ și $y=x^2$ pe $[0;2]$ este ${\int }_0^2(x-x^2)dx=-\frac{2}{3}$.
  Corect: graficele se intersectează în $x=1$, deci aria este ${\int }_0^1(x-x^2)dx+{\int }_1^2(x^2-x)dx=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=1$.
• Greșit: la rotirea graficului lui $f(x)=x+1$ pe $[0;2]$ se integrează $\pi (x^2+1)$.
  Corect: $(x+1{)}^2=x^2+2x+1$, iar termenul mijlociu nu dispare.

Înainte și după