Determinanți

Determinantul este un număr asociat unei matrice pătratice. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, $\det A=ad-bc$; la ordinul $3$ se folosește regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie. Matricea este inversabilă dacă și numai dacă $\det A\ne 0$. Determinantul dă și aria unui triunghi din coordonatele vârfurilor, coliniaritatea a trei puncte și ecuația dreptei prin două puncte.

Exemplu rezolvat. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right)$:

1. Produsul diagonalei principale este $2\cdot 4=8$.
2. Celălalt produs este $1\cdot 3=3$.
3. $\det A=8-3=5$, deci $A$ este inversabilă.

Pentru o matrice pătratică $A$ de ordin $n$, determinantul are proprietățile:

• $\det A^T=\det A$, deci tot ce se spune despre linii este valabil și pentru coloane;
• dacă o linie are toate elementele nule, sau dacă două linii sunt egale ori proporționale, atunci $\det A=0$;
• schimbarea a două linii între ele schimbă semnul determinantului;
• un factor comun al unei linii se scoate în fața determinantului, deci $\det (\lambda A)={\lambda }^n\det A$;
• dacă o linie este suma a două linii, determinantul este suma a doi determinanți;
• adăugarea la o linie a unui multiplu al altei linii nu schimbă valoarea determinantului;
• pentru o matrice triunghiulară, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală;
• $\det (AB)=\det A\cdot \det B$ pentru matrice de același ordin.

Proprietatea sumei se vede la ordinul $2$: prima coloană din $\left|\begin{array}{cc}a+1& b\\ c+2& d\end{array}\right|$ este suma coloanelor $(a;c)$ și $(1;2)$, iar determinantul este $(ad-bc)+(d-2b)$, adică suma determinanților $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$ și $\left|\begin{array}{cc}1& b\\ 2& d\end{array}\right|$.

Pentru o matrice de ordinul al treilea, regula lui Sarrus adună produsele celor trei diagonale coborâtoare și le scade pe cele trei urcătoare. Explicit, $\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh$. Aceeași valoare se obține prin dezvoltarea după prima linie: $a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$. Exemplu rezolvat. Pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 3\\ 2& 0& 1\end{array}\right)$, Sarrus dă $\det A=1+12+0-0-0-0=13$. Verificarea prin dezvoltare dă $1(1)-2(0-6)+0=13$.

Proprietățile scurtează calculul. Pentru $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 10\end{array}\right|$ scădem din linia a doua de patru ori prima linie și din linia a treia de șapte ori prima linie; valoarea nu se schimbă, iar sub primul element apar zerouri: $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -3& -6\\ 0& -6& -11\end{array}\right|$. Dezvoltarea după prima coloană dă $(-3)(-11)-(-6)(-6)=33-36=-3$. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ avem $\det A=-2$, $\det B=-1$ și $\det (AB)=2=(-2)(-1)$.

Regula lui Sarrus nu există la ordinul $4$ sau mai mare; acolo se folosește dezvoltarea după o linie. Minorul $M_{ij}$ este determinantul obținut ștergând linia $i$ și coloana $j$, iar complementul algebric este $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$. Dezvoltarea după linia $i$ este $\det A={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}$, iar linia se alege cu cât mai multe zerouri. Dezvoltarea se poate face și după o coloană, iar semnele $(-1{)}^{i+j}$ alternează ca pe o tablă de șah, începând cu $+$ în colțul din stânga sus. La o matrice triunghiulară, ca $\left(\begin{array}{ccc}2& 5& 7\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$, determinantul este $2\cdot 3\cdot 4=24$.

Exemplu rezolvat. Calculăm $\det A$ pentru $A=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 3\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 4& 2& 5\\ 0& 2& 0& 1\end{array}\right)$.

1. Linia a doua are un singur element nenul, $a_{22}=1$, deci $\det A=1\cdot (-1{)}^{2+2}{M}_{22}$.
2. $M_{22}=\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 3\\ 1& 2& 5\\ 0& 0& 1\end{array}\right|$. Dezvoltăm după ultima linie: $M_{22}=1\cdot \left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 2\end{array}\right|=4$.
3. Rezultă $\det A=4$.

Determinantul are și interpretare geometrică. Pentru punctele $A(x_A;y_A)$, $B(x_B;y_B)$ și $C(x_C;y_C)$, aria triunghiului este $\frac{1}{2}\left|\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|\right|$. Punctele sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul este zero. Pentru $A(0;0)$, $B(4;0)$, $C(1;3)$, determinantul este $12$, deci aria este $6$ unități pătrate și punctele nu sunt coliniare. Pentru $M(1;1)$, $N(2;3)$, $P(4;7)$, determinantul este $0$, deci punctele sunt coliniare.

Un punct $M(x;y)$ se află pe dreapta determinată de $A(x_1;y_1)$ și $B(x_2;y_2)$ dacă și numai dacă $\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ x_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\end{array}\right|=0$. Pentru $A(1;2)$ și $B(3;8)$, dezvoltarea după prima linie dă $-6x+2y+2=0$, adică $y=3x-1$; coordonatele ambelor puncte verifică ecuația.

La grilă, determinantul apare ca ecuație în necunoscuta din matrice: calculezi cu Sarrus, apoi factorizezi polinomul obținut. Dacă între variante apar doar semne schimbate sau rădăcini lipsă, verifici fiecare rădăcină găsită prin înlocuire în determinant.

Problemă. Soluțiile reale ale ecuației $\left|\begin{array}{ccc}x& 1& 1\\ 1& x& 1\\ 1& 1& x\end{array}\right|=0$ sunt:

• a) $\{1\}$
• b) $\{-2\}$
• c) $\{-2;1\}$
• d) $\{-1;2\}$
• e) $\{1;2\}$
• f) $\{-2;-1;1\}$

Rezolvare. Regula lui Sarrus dă $x^3+1+1-x-x-x=x^3-3x+2$. Polinomul se descompune în $(x-1{)}^2(x+2)$, deci ecuația are rădăcinile $1$ (dublă) și $-2$. Răspunsul corect este c). Varianta a) păstrează doar rădăcina dublă, iar b) doar pe cea simplă. Varianta d) inversează semnele rădăcinilor. Varianta e) citește factorul $x+2$ ca $x-2$. Varianta f) adaugă și valoarea $-1$, luată din descompunerea $x^2-1=(x-1)(x+1)$, care nu apare aici.

Alt exemplu. Punctele $A(1;2)$, $B(2;5)$ și $C(3;m)$ sunt coliniare dacă și numai dacă $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 5& 1\\ 3& m& 1\end{array}\right|=0$. Dezvoltarea după prima linie dă $(5-m)-2(2-3)+(2m-15)=m-8$, deci $m=8$. Verificare: pantele $\frac{5-2}{2-1}$ și $\frac{8-5}{3-2}$ sunt egale cu $3$.

Alt exemplu. Dacă $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ și $\det A=5$, atunci $\det (2A)=2^3\cdot 5=40$, $\det (A^2)=5^2=25$ și $\det A^T=5$. Aceste trei valori nu se obțin prin calculul elementelor matricei, ci numai din proprietăți.

Alt exemplu. Un sistem liniar pătratic are soluție unică dacă determinantul matricei coeficienților este nenul. Pentru sistemul $mx+y=1$, $x+my=1$, determinantul este $D=m^2-1$. Dacă $m\ne \pm 1$, scăzând ecuațiile obținem $(m-1)(x-y)=0$, deci $x=y=1/(m+1)$. La $m=1$, ecuațiile coincid și sunt infinit de multe soluții cu $x+y=1$. La $m=-1$, ecuațiile au membri stângi opuși, dar membri drepți egali, deci sistemul este incompatibil.

Greșeli frecvente

• Greșit: pentru $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ se calculează $1\cdot 4+2\cdot 3=10$.
  Corect: determinantul este $1\cdot 4-2\cdot 3=-2$.
• Greșit: după schimbarea celor două linii ale matricei $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ se păstrează valoarea $-2$.
  Corect: determinantul devine $2$.
• Greșit: pentru matricea $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$, $\det (3A)=3\det A=-6$.
  Corect: factorul $3$ iese din fiecare dintre cele două linii, deci $\det (3A)=3^2\det A=-18$.
• Greșit: determinantul $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 5& 1& 0\end{array}\right|$ este nenul, fiindcă nicio linie nu este nulă.
  Corect: a doua linie este dublul primeia, deci determinantul este $0$.
• Greșit: regula lui Sarrus se aplică unei matrice $4\times 4$ prin copierea primelor două coloane.
  Corect: Sarrus este pentru ordinul $3$; la ordinul $4$ se folosește dezvoltarea după o linie ori alte proprietăți.

Înainte și după

Întrebări frecvente