Mijlocul unui segment

Mijlocul $M$ al segmentului $AB$ se află la aceeași distanță de capete. Coordonatele sale sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor: $M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$. Formula funcționează și pentru coordonate negative.

Exemplu rezolvat. Pentru $A(-3;1)$ și $B(5;7)$:

1. Media absciselor este $(-3+5)/2=1$.
2. Media ordonatelor este $(1+7)/2=4$.
3. Mijlocul este $M(1;4)$; verificarea dă $\overrightarrow{AM}=(4;3)$ și $\overrightarrow{MB}=(4;3)$.

Formula mijlocului rezultă din relația vectorială $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. În coordonate, fiecare deplasare de la primul capăt la mijloc reprezintă jumătate din deplasarea până la al doilea capăt. Astfel, $x_M=(x_A+x_B)/2$ și $y_M=(y_A+y_B)/2$. Dacă mijlocul și un capăt sunt cunoscute, celălalt se recuperează prin $x_B=2x_M-x_A$ și $y_B=2y_M-y_A$. Pentru un patrulater simplu și nedegenerat, egalitatea mijloacelor diagonalelor caracterizează paralelogramul. În spațiu, aceeași regulă se aplică separat și celei de-a treia coordonate. O simplă egalitate a distanțelor până la capete nu identifică mijlocul fără condiția ca punctul să aparțină segmentului.

Exemplu rezolvat. Știm $A(-2;5)$ și mijlocul $M(3;1)$; găsim celălalt capăt.

1. Calculăm abscisa: $x_B=2\cdot 3-(-2)=8$.
2. Calculăm ordonata: $y_B=2\cdot 1-5=-3$.
3. Obținem $B(8;-3)$.
4. Verificăm mijlocul: $((-2+8)/2;(5-3)/2)=(3;1)$. Deplasările $\overrightarrow{AM}$ și $\overrightarrow{MB}$ sunt ambele $(5;-4)$.

Formula mijlocului este un caz special al formulei de împărțire a unui segment într-un raport dat: punctul $P$ al segmentului $AB$ pentru care $\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}$, cu $t\in [0;1]$, are coordonatele $x_P=x_A+t(x_B-x_A)$ și $y_P=y_A+t(y_B-y_A)$. Pentru $t=\frac{1}{2}$ se obține mijlocul. Pentru $t=\frac{1}{3}$ se obține punctul aflat la o treime de la $A$ spre $B$.

Simetricul unui punct $A$ față de un punct $M$ este punctul $A^{\prime }$ pentru care $M$ este mijlocul segmentului $A{A}^{\prime }$; coordonatele lui se află cu aceeași formulă inversată, $A^{\prime }(2x_M-x_A;2y_M-y_A)$. Simetria față de origine schimbă semnele ambelor coordonate: simetricul lui $(3;-2)$ este $(-3;2)$. În geometria sintetică, linia mijlocie a unui triunghi și medianele se exprimă ușor prin mijloace: dacă $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$ și $AC$, atunci $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, adică $MN\parallel BC$ și $MN=\frac{1}{2}BC$.

Exemplu rezolvat. Demonstrează cu coordonate că $MN=\frac{1}{2}BC$ pentru $A(0;0)$, $B(2b;0)$, $C(2c;2d)$.

1. Mijloacele sunt $M(b;0)$ și $N(c;d)$.
2. $MN=\sqrt{(c-b{)}^2+d^2}$.
3. $BC=\sqrt{(2c-2b{)}^2+(2d{)}^2}=2\sqrt{(c-b{)}^2+d^2}$.

Deci $MN=\frac{1}{2}BC$ pentru orice triunghi, nu doar pentru unul desenat: am notat vârfurile cu litere, iar scrierea cu coordonate de forma $2b$ și $2c$ a permis ca mijloacele să aibă coordonate fără fracții. Panta lui $MN$ este $\frac{d}{c-b}$, aceeași cu a lui $BC$ (care este $\frac{2d}{2c-2b}$), deci dreptele sunt paralele. Metoda arată de ce un reper bine ales ușurează calculul și de ce rezultatul rămâne valabil pentru orice triunghi, indiferent de poziția lui în plan.

Exemplu rezolvat. Determină al patrulea vârf $D$ al paralelogramului $ABCD$ cu $A(1;1)$, $B(5;2)$, $C(6;5)$.

1. Într-un paralelogram, diagonalele $AC$ și $BD$ au același mijloc.
2. Mijlocul lui $AC$ este $M\left(\frac{1+6}{2};\frac{1+5}{2}\right)=\left(\frac{7}{2};3\right)$.
3. Din $M$ mijlocul lui $BD$: $x_D=2\cdot \frac{7}{2}-5=2$ și $y_D=2\cdot 3-2=4$.

Răspuns: $D(2;4)$. Verificare: $\overrightarrow{AB}=(4;1)$ și $\overrightarrow{DC}=(6-2;5-4)=(4;1)$.

Exemplu rezolvat. Află punctul care împarte segmentul $AB$, cu $A(0;0)$ și $B(9;6)$, în raportul $\frac{AP}{PB}=\frac{1}{2}$.

1. Raportul $\frac{AP}{PB}=\frac{1}{2}$ înseamnă $AP=\frac{1}{3}AB$, deci $t=\frac{1}{3}$.
2. $x_P=0+\frac{1}{3}\cdot 9=3$ și $y_P=0+\frac{1}{3}\cdot 6=2$.

Răspuns: $P(3;2)$. Verificare: $\overrightarrow{PB}=(6;4)=2\overrightarrow{AP}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: mijlocul segmentului dintre $(2;7)$ și $(6;-1)$ este $(4;8)$, adunând coordonatele de același fel.
  Corect: se împarte la $2$ fiecare sumă, deci mijlocul este $(4;3)$.
• Greșit: din $A(-2;5)$ și $M(3;1)$ rezultă $B(1;6)$ prin adunarea coordonatelor.
  Corect: capătul necunoscut este $2M-A$, deci $B(8;-3)$.
• Greșit: punctul $(0;1)$ este mijlocul segmentului dintre $(-1;0)$ și $(1;0)$ fiindcă distanțele sunt egale.
  Corect: nu aparține segmentului; mijlocul este $(0;0)$.

Înainte și după