Reguli de derivare

Pentru funcții derivabile, $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$, $(cf{)}^{\prime }=c{f}^{\prime }$ cu $c$ constantă și $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$. Dacă $g\ne 0$, $(f/g{)}^{\prime }=(f^{\prime }g-f{g}^{\prime })/g^2$. Pentru compunerea $f(g(x))$, se aplică regula de derivare a funcției compuse: $(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$.

Exemplu rezolvat. Derivăm $(x^2+1{)}^3$.

1. Funcția exterioară este cubul, cu derivata $3u^2$.
2. Funcția interioară $u=x^2+1$ are derivata $2x$.
3. Rezultă $6x(x^2+1{)}^2$.

Fie $f$ și $g$ derivabile în $x$ și $c$ o constantă. Atunci $(f\pm g{)}^{\prime }=f^{\prime }\pm g^{\prime }$, $(cf{)}^{\prime }=c{f}^{\prime }$, $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ și, dacă $g(x)\ne 0$, ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$. În particular, ${\left(\frac{1}{g}\right)}^{\prime }=-\frac{g^{\prime }}{g^2}$. Dacă $u$ este derivabilă în $x$ și $f$ este derivabilă în $u(x)$, atunci $(f\circ u{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(u(x))\cdot u^{\prime }(x)$.

Regula produsului se justifică prin adunarea și scăderea termenului $f(x)g(x+h)$ în raportul incremental: $\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x+h)+f(x)\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$. Primul termen tinde la $f^{\prime }(x)g(x)$, deoarece $g$, fiind derivabilă, este continuă și $g(x+h)\to g(x)$; al doilea tinde la $f(x)g^{\prime }(x)$.

Regula potrivită se alege după ultima operație care se efectuează când se calculează valoarea expresiei. Dacă ultima operație este adunarea sau scăderea, se aplică regula sumei; dacă este înmulțirea, regula produsului; dacă este împărțirea, regula câtului; dacă este aplicarea unei funcții unei expresii, regula compunerii. De exemplu, la $\frac{x\sin x}{x+1}$ ultima operație este împărțirea, iar numărătorul $x\sin x$ se derivează apoi cu regula produsului: $f^{\prime }(x)=\frac{(\sin x+x\cos x)(x+1)-x\sin x}{(x+1{)}^2}$ pentru $x\ne -1$.

Regula compunerii cere derivabilitate pe ambele niveluri. De exemplu, $\sqrt{x^2}=|x|$ are, pentru $x\ne 0$, derivata $\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}=\frac{x}{|x|}$, dar în $0$ interiorul $x^2$ este derivabil, iar funcția radical nu este derivabilă în $0$, așa că regula nu se aplică. Formula derivatei are sens numai acolo unde sunt definite toate părțile expresiei: $g\ne 0$ la cât, $u>0$ la $\ln u$ și la $\sqrt{u}$.

Din regula funcției compuse rezultă formulele cu argument oarecare $u(x)$: $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{n-1}{u}^{\prime }$, $(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$, $(\sin u{)}^{\prime }=u^{\prime }\cos u$, $(\mathrm{arctg}u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{1+u^2}$, iar pentru $u>0$ avem $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$ și $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$. Aplicarea repetată a regulii produsului dă $(fgh{)}^{\prime }=f^{\prime }gh+f{g}^{\prime }h+fg{h}^{\prime }$. O compunere cu trei niveluri se derivează de la exterior spre interior: $[f(g(h(x))){]}^{\prime }=f^{\prime }(g(h(x)))\cdot g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$. Când baza și exponentul variază, $f(x{)}^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}$ cu $f>0$, iar derivata se obține tot din regula compunerii.

Exemplu rezolvat. Derivăm $f(x)=x\ln (x^2+1)$.

1. Logaritmul există pentru orice real, fiindcă $x^2+1>0$.
2. Regula produsului dă $f^{\prime }(x)=\ln (x^2+1)+x[\ln (x^2+1){]}^{\prime }$.
3. Derivata funcției compuse este $[\ln (x^2+1){]}^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}$.
4. Rezultatul este $f^{\prime }(x)=\ln (x^2+1)+\frac{2x^2}{x^2+1}$, definit pe întreaga axă.

Exemplu rezolvat. Derivăm $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$.

1. Numitorul este strict pozitiv, deci $f$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$.
2. $f^{\prime }(x)=\frac{2x(x^2+1)-(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}$.
3. Numărătorul este $2x(x^2+1-x^2+1)=4x$, deci $f^{\prime }(x)=\frac{4x}{(x^2+1{)}^2}$.

Exemplu rezolvat. Derivăm $f(x)=x^x$ pe $(0;+\infty )$.

1. Scriem $x^x=e^{x\ln x}$.
2. Exponentul are derivata $(x\ln x{)}^{\prime }=\ln x+1$.
3. Regula compunerii dă $f^{\prime }(x)=e^{x\ln x}(\ln x+1)=x^x(\ln x+1)$.

Exemplu rezolvat. Derivăm $f(x)=\sqrt{3x^2+1}$ și calculăm $f^{\prime }(1)$.

1. Interiorul $3x^2+1$ este pozitiv pentru orice real, deci $f$ este definită și derivabilă pe $\mathbb{R}$.
2. Derivata interiorului este $(3x^2+1{)}^{\prime }=6x$, iar derivata radicalului este $\frac{1}{2\sqrt{3x^2+1}}$.
3. Produsul lor este $f^{\prime }(x)=\frac{6x}{2\sqrt{3x^2+1}}=\frac{3x}{\sqrt{3x^2+1}}$, deci $f^{\prime }(1)=\frac{3}{2}$.

Exemplu rezolvat. Derivăm $f(x)=e^{2x}\sin 3x$. Produsul dă $f^{\prime }(x)=(e^{2x}{)}^{\prime }\sin 3x+e^{2x}(\sin 3x{)}^{\prime }$. Fiecare factor este o compunere: $(e^{2x}{)}^{\prime }=2e^{2x}$ și $(\sin 3x{)}^{\prime }=3\cos 3x$. Rezultatul este $f^{\prime }(x)=e^{2x}(2\sin 3x+3\cos 3x)$.

Derivata lui ${\sin }^{2}x$ se obține la fel: $({\sin }^{2}x{)}^{\prime }=2\sin x\cos x=\sin 2x$. Rezultatul se scrie, pe cât se poate, ca produs de factori, deoarece semnul derivatei, necesar în lecția „Monotonia prin derivată”, se citește mai ușor dintr-un produs decât dintr-o sumă.

Greșelile obișnuite la grilă sunt formula câtului scrisă cu semn schimbat, uitarea pătratului de la numitor și derivarea câtului ca raport de derivate. La un cât, se notează mai întâi separat $f$, $g$, $f^{\prime }$ și $g^{\prime }$ și abia apoi se înlocuiesc în formulă; așa ordinea din numărător nu se inversează. Rezultatul se poate controla într-un punct simplu: din $f^{\prime }(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$ rezultă $f^{\prime }(1)=0$, iar înlocuirea directă în numărătorul câtului, $e\cdot 1-e\cdot 1=0$, dă același rezultat.

Problemă. Pentru $f(x)=\frac{e^x}{x}$, definită pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, valoarea $f^{\prime }(2)$ este:

• a) $e^2$
• b) $-\frac{e^2}{4}$
• c) $\frac{3e^2}{4}$
• d) $\frac{e^2}{2}$
• e) $\frac{e^2}{4}$
• f) $\frac{2e^2-1}{4}$

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$, deci $f^{\prime }(2)=\frac{e^2\cdot 1}{4}=\frac{e^2}{4}$. Răspunsul corect este e). Varianta a) derivează câtul ca raport de derivate, $\frac{(e^x{)}^{\prime }}{x^{\prime }}$. Varianta b) inversează ordinea din numărător: $f{g}^{\prime }-f^{\prime }g$. Varianta c) folosește semnul plus la numărător. Varianta d) uită pătratul de la numitor. Varianta f) pierde factorul $f=e^x$ din termenul $f{g}^{\prime }$.

Alt exemplu. Pentru $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ scriem $f(x)=x(x^2+1{)}^{-1/2}$. Regula produsului și regula compunerii dau $f^{\prime }(x)=(x^2+1{)}^{-1/2}-x^2(x^2+1{)}^{-3/2}=\frac{(x^2+1)-x^2}{(x^2+1{)}^{3/2}}=\frac{1}{(x^2+1{)}^{3/2}}$, deci $f^{\prime }(0)=1$.

Alt exemplu. Pentru $f(x)=x^2{e}^{-x}$, derivata este $f^{\prime }(x)=2x{e}^{-x}-x^2{e}^{-x}=x(2-x)e^{-x}$. Factorul $e^{-x}$ este pozitiv, deci $f^{\prime }(x)=0$ exact pentru $x=0$ și $x=2$.

Alt exemplu. Soluțiile ecuației $f^{\prime }(x)=0$ pentru $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$, definită pe $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, se află din $f^{\prime }(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$. Fracția se anulează când numărătorul este nul și numitorul nenul, deci soluțiile sunt $x=0$ și $x=2$.

Alt exemplu. Tangenta la graficul lui $f(x)=\ln (1+x^2)$ în punctul de abscisă $x_0=1$: $f(1)=\ln 2$, $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{1+x^2}$, deci $f^{\prime }(1)=1$. Ecuația este $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, adică $y=x-1+\ln 2$.

Greșeli frecvente

• Greșit: derivata lui $\sin (x^2)$ este $\cos (x^2)$.
  Corect: derivata interiorului adaugă factorul $2x$, deci rezultatul este $2x\cos (x^2)$.
• Greșit: derivata lui $x{e}^x$ este $e^x$.
  Corect: regula produsului dă $e^x+x{e}^x$.
• Greșit: $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }{g}^{\prime }$.
  Corect: $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$; de exemplu, $(x\cdot x{)}^{\prime }=2x$, nu $1\cdot 1=1$.
• Greșit: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$.
  Corect: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$.
• Greșit: $(x^x{)}^{\prime }=x\cdot x^{x-1}$.
  Corect: baza și exponentul variază, deci se scrie $x^x=e^{x\ln x}$, iar derivata este $x^x(\ln x+1)$.

Înainte și după