Legi de compoziție

O lege de compoziție internă pe mulțimea $M$ asociază fiecărei perechi $(a;b)\in M^2$ un element $a\ast b\in M$. Dacă rezultatul poate ieși din $M$, operația nu este lege internă pe $M$: scăderea nu este lege internă pe $\mathbb{N}$, deoarece $2-5\notin \mathbb{N}$. Proprietățile urmărite sunt:

• asociativitatea: $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$ pentru orice $a,b,c\in M$;
• comutativitatea: $a\ast b=b\ast a$ pentru orice $a,b\in M$;
• elementul neutru: un $e\in M$ cu $a\ast e=e\ast a=a$ pentru orice $a\in M$;
• simetricul lui $a$: un $a^{\prime }\in M$ cu $a\ast a^{\prime }=a^{\prime }\ast a=e$ (se numește opus pentru legea $+$ și invers pentru legea $\cdot$).

O submulțime $H\subseteq M$ este parte stabilă dacă $a\ast b\in H$ pentru orice $a,b\in H$.

Exemplu rezolvat. Pe $\mathbb{R}$ definim $a\ast b=a+b+1$. Găsim neutrul și simetricul.

1. Impunem $a\ast e=a$, adică $a+e+1=a$.
2. Rezultă $e=-1$; verificăm și $e\ast a=-1+a+1=a$, deci $-1$ este neutru.
3. Din $a\ast a^{\prime }=-1$ obținem $a+a^{\prime }+1=-1$, deci $a^{\prime }=-a-2$.

Unicitate. Dacă o lege are element neutru, acesta este unic: din $e\ast e^{\prime }=e^{\prime }$ (fiindcă $e$ este neutru) și $e\ast e^{\prime }=e$ (fiindcă $e^{\prime }$ este neutru) rezultă $e=e^{\prime }$. Dacă legea este asociativă, simetricul unui element este unic: din $a^{\prime }=a^{\prime }\ast e=a^{\prime }\ast (a\ast a^{\prime \prime })=(a^{\prime }\ast a)\ast a^{\prime \prime }=e\ast a^{\prime \prime }=a^{\prime \prime }$ rezultă că două simetrice ale lui $a$ coincid. În plus, dacă $a$ și $b$ au simetrice $a^{\prime }$ și $b^{\prime }$ față de o lege asociativă cu neutru $e$, atunci $a\ast b$ are simetricul $b^{\prime }\ast a^{\prime }$, în ordine inversă: $(a\ast b)\ast (b^{\prime }\ast a^{\prime })=a\ast (b\ast b^{\prime })\ast a^{\prime }=a\ast a^{\prime }=e$.

Cum se verifică. Asociativitatea schimbă gruparea, comutativitatea schimbă ordinea; ele sunt proprietăți independente. Asociativitatea unei legi date prin formulă se arată calculând separat $(x\ast y)\ast z$ și $x\ast (y\ast z)$ pentru $x,y,z$ oarecare și comparând rezultatele. Pentru a o infirma ajunge un singur triplet: legea $x\ast y=x-y$ nu este asociativă, fiindcă $(3-2)-1=0$, iar $3-(2-1)=2$. Neutrul $e$ este o constantă care nu depinde de $x$: ecuația $x\ast e=x$ trebuie să fie valabilă pentru orice $x$ din mulțime, iar simetricul $x^{\prime }$ se caută pentru fiecare $x$ în parte din ecuația $x\ast x^{\prime }=e$.

Exemplu rezolvat 1. Pe $\mathbb{R}$ definim $x\ast y=xy-3x-3y+12$.

1. Observăm că $x\ast y=(x-3)(y-3)+3$.
2. Asociativitatea: $(x\ast y)\ast z=(x-3)(y-3)(z-3)+3=x\ast (y\ast z)$. Legea este și comutativă, fiindcă formula este simetrică în $x$ și $y$.
3. Neutrul: $x\ast e=x$ înseamnă $(x-3)(e-3)=x-3$ pentru orice $x$. Pentru $x=4$ obținem $e=4$, iar $x\ast 4=(x-3)\cdot 1+3=x$ confirmă alegerea.
4. Simetricul: $x\ast x^{\prime }=4$ înseamnă $(x-3)(x^{\prime }-3)=1$, deci $x^{\prime }=3+\frac{1}{x-3}$ pentru $x\ne 3$. Elementul $3$ nu are simetric, deoarece $3\ast y=3$ pentru orice $y$.

Observația din pasul 1 se generalizează: o lege de forma $x\ast y=xy+ax+ay+b$ se scrie $(x+a)(y+a)+b-a^2$, iar asociativitatea, neutrul și simetricele se obțin din factorii $x+a$ și $y+a$.

Exemplu rezolvat 2: legea dată prin tabel. Pe $D_6=\{1;2;3;6\}$, mulțimea divizorilor lui $6$, definim $x\ast y=\mathrm{cmmdc}(x;y)$.

Din tabel se citește:

1. Legea este internă, pentru că toate rezultatele aparțin lui $D_6$.
2. Este comutativă, deoarece tabelul este simetric față de diagonala principală.
3. Neutrul este $6$: rândul și coloana lui $6$ repetă marginile tabelului.
4. Legea fiind comutativă, un element are simetric dacă în rândul lui apare neutrul $6$. Numai rândul lui $6$ îl conține, deci singurul element cu simetric este $6$, iar $6\ast 6=6$.

Asociativitatea nu se vede din tabel; ea rezultă din proprietatea $\mathrm{cmmdc}(\mathrm{cmmdc}(x;y);z)=\mathrm{cmmdc}(x;\mathrm{cmmdc}(y;z))$.

Partea stabilă. Ca să arăți că $H$ este parte stabilă, iei $a,b\in H$ oarecare și demonstrezi că $a\ast b\in H$. Ca să arăți că nu este, găsești două elemente din $H$ al căror compus iese din $H$.

Exemplu rezolvat 3. Pe $\mathbb{R}$ definim $x\ast y=xy-x-y+2=(x-1)(y-1)+1$.

1. Pentru $x\ge 1$ și $y\ge 1$, factorii $x-1$ și $y-1$ sunt nenegativi, deci $x\ast y\ge 1$. Mulțimea $[1;+\infty )$ este parte stabilă.
2. Mulțimea $[2;3]$ nu este stabilă: $3\ast 3=2\cdot 2+1=5\notin [2;3]$.
3. Neutrul legii este $2$, deoarece $(x-1)(e-1)=x-1$ dă $e=2$. El aparține lui $[1;+\infty )$, dar elementul $1$ nu are simetric în această mulțime, fiindcă $1\ast y=1$ pentru orice $y$.

Grilele de acest tip cer neutrul sau simetricul unui element. Dacă legea se poate scrie $x\ast y=\alpha (x-p)(y-p)+p$, neutrul și simetricele se obțin din factorii $x-p$ și $y-p$, fără sisteme.

Problemă. Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\ast y=2xy-4x-4y+10$. Simetricul lui $3$ față de $\ast$ este:

• a) $-3$
• b) $\frac{1}{3}$
• c) $\frac{9}{4}$
• d) $2$
• e) $-\frac{1}{2}$
• f) $\frac{5}{2}$

Rezolvare. Scriem $x\ast y=2(x-2)(y-2)+2$. Din $x\ast e=x$ obținem $2(x-2)(e-2)=x-2$ pentru orice $x$, deci $e-2=\frac{1}{2}$ și $e=\frac{5}{2}$. Simetricul $y$ al lui $3$ satisface $3\ast y=\frac{5}{2}$, adică $2\cdot 1\cdot (y-2)+2=\frac{5}{2}$, deci $y-2=\frac{1}{4}$ și $y=\frac{9}{4}$. Verificare: $3\ast \frac{9}{4}=2\cdot 3\cdot \frac{9}{4}-12-9+10=\frac{5}{2}$. Răspunsul corect este c). Varianta a) este opusul lui $3$, adică simetricul față de adunare. Varianta b) este inversul lui $3$ față de înmulțire. Varianta d) rezultă din ecuația $3\ast y=2$, în care $2$ este luat drept neutru. Varianta e) este $e-3$, ca și cum legea ar fi adunarea. Varianta f) este neutrul însuși.

Alt exemplu. Pentru ce valori ale lui $a$ este $[a;+\infty )$ parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ față de legea $x\ast y=xy-3x-3y+12=(x-3)(y-3)+3$? Pentru $a<3$ luăm $x=a$ și $y$ foarte mare: produsul $(a-3)(y-3)$ este negativ și poate coborî sub orice valoare, deci $x\ast y<a$. Pentru $a=3$ avem $(x-3)(y-3)\ge 0$, deci $x\ast y\ge 3$. Pentru $a>3$ cel mai mic rezultat se obține la $x=y=a$ și este $(a-3{)}^2+3$; condiția $(a-3{)}^2+3\ge a$ se scrie $(a-3)(a-4)\ge 0$, deci $a\ge 4$ (pentru $3<a<4$ nu este îndeplinită). Mulțimea este stabilă dacă și numai dacă $a=3$ sau $a\ge 4$.

Greșeli frecvente

• Greșit: pentru legea $a\ast b=a$ pe $\{0;1\}$, se declară $0$ element neutru fiindcă $a\ast 0=a$.
  Corect: $0\ast 1=0\ne 1$, deci $0$ nu este neutru bilateral.
• Greșit: din asociativitatea legii $a\ast b=a$ pe $\{0;1\}$ se deduce comutativitatea.
  Corect: legea este asociativă, dar $0\ast 1=0$ și $1\ast 0=1$.
• Greșit: pentru $a\ast b=a+b+1$ se ia $-3$ drept simetric al lui $3$.
  Corect: neutrul este $-1$, iar $3\ast (-5)=-1$, deci simetricul lui $3$ este $-5$.
• Greșit: legea $x\ast y=x-y$ este asociativă, deoarece expresia $5-2-1$ se scrie fără paranteze.
  Corect: $(3-2)-1=0$, dar $3-(2-1)=2$; parantezele schimbă rezultatul, deci legea nu este asociativă.

Înainte și după

Întrebări frecvente