Probabilitatea clasică

Un experiment aleatoriu este o acțiune al cărei rezultat nu poate fi prezis, de exemplu aruncarea unui zar sau scoaterea unei bile dintr-o urnă fără să te uiți. Rezultatele posibile se numesc cazuri posibile. Un eveniment este ceea ce urmărim să se întâmple, de exemplu „iese număr par”. Rezultatele în care evenimentul se produce se numesc cazuri favorabile.

Când toate rezultatele au aceleași șanse (se spune că sunt echiprobabile), probabilitatea evenimentului este

Probabilitatea este un număr între $0$ și $1$; scrisă ca procent, este între $0\%$ și $100\%$. Evenimentul sigur se produce la orice rezultat și are probabilitatea $1$. Evenimentul imposibil nu se produce la niciun rezultat și are probabilitatea $0$. Dacă un eveniment se produce cu probabilitatea $P$, probabilitatea să nu se producă este $1-P$, pentru că fiecare rezultat este fie favorabil, fie nefavorabil.

Exemplu rezolvat. Aruncăm un zar echilibrat și căutăm probabilitatea unui număr par.

1. Spațiul are $6$ rezultate: $1;2;3;4;5;6$.
2. Favorabile sunt $2;4;6$, deci $3$.
3. $P(A)=3/6=1/2$, adică $50\%$.

Exemplu rezolvat. O cutie conține $10$ bile numerotate de la $1$ la $10$. Scoatem o bilă la întâmplare.

1. Cazuri posibile: $10$, câte unul pentru fiecare bilă.
2. Evenimentul „numărul este multiplu de $3$” are cazurile favorabile $3;6;9$, deci $P=3/10=0,3=30\%$.
3. Evenimentul „numărul nu este multiplu de $3$” are $7$ cazuri favorabile: $P=7/10=1-3/10$.
4. Evenimentul „numărul este mai mic decât $11$” este sigur: $P=10/10=1$. Evenimentul „numărul este $0$” este imposibil: $P=0/10=0$.

Exemplu rezolvat. O urnă conține $5$ bile roșii, $3$ albastre și $2$ galbene. Scoatem o bilă la întâmplare.

1. Cazuri posibile: $5+3+2=10$ bile.
2. $P(\text{roșie})=5/10=1/2$, $P(\text{albastra˘})=3/10$, $P(\text{galbena˘})=2/10=1/5$.
3. Evenimentul „bila nu este roșie” are $5$ cazuri favorabile, deci probabilitatea $5/10=1-1/2$.
4. Cele trei probabilități însumate dau $5/10+3/10+2/10=1$, pentru că bila scoasă are cu siguranță una dintre cele trei culori.

Formula se aplică numai când cazurile au aceleași șanse. Un zar cu o față îngreunată nu respectă această condiție, deci pentru el raportul „favorabile pe posibile” nu mai este probabilitatea.

Notăm cu $\Omega$ spațiul finit și nevid al rezultatelor elementare echiprobabile. Un eveniment este o submulțime $A\subseteq \Omega$, iar formula clasică devine $P(A)=|A|/|\Omega |$. Numărătorul și numitorul trebuie să folosească același mod de numărare. La extragerea simultană a unor obiecte distincte, ordinea nu contează și se folosesc combinări. La extrageri succesive, rezultatele pot fi perechi ordonate. Fără revenire, numărul opțiunilor scade după prima extragere. Evenimentul sigur are $P(\Omega )=1$, iar cel imposibil $P(\varnothing )=0$. Complementul satisface $P(\bar{A})=1-P(A)$; pentru „cel puțin unul”, evenimentul „niciunul” poate fi mai simplu de numărat. Dacă $A\subseteq B$, atunci $P(A)\le P(B)$, deoarece $A$ are cel mult atâtea cazuri favorabile ca $B$; pentru evenimente incompatibile, probabilitatea reuniunii este suma probabilităților (vezi lecția Operații cu evenimente). Când rezultatele se construiesc în etape, numărul cazurilor posibile se obține cu principiul înmulțirii: $6\cdot 6=36$ la două zaruri, $2^3=8$ la trei aruncări ale unei monede.

Exemplu rezolvat. Dintr-o urnă cu $4$ bile roșii și $3$ albastre alegem simultan $2$ bile, uniform dintre toate perechile.

1. Cele $7$ bile sunt distincte, deci sunt $C_7^2=21$ perechi posibile.
2. Pentru $2$ bile roșii, perechile favorabile sunt $C_4^2=6$.
3. Probabilitatea este $6/21=2/7$.
4. Același rezultat se obține la extragere succesivă fără revenire: $(4/7)(3/6)=2/7$.

Exemplu rezolvat. Se aruncă două zaruri echilibrate. Calculează probabilitatea ca suma să fie $8$ și probabilitatea să apară cel puțin un $6$.

1. Cazurile posibile sunt perechile ordonate $(a;b)$ cu $a,b\in \{1;\dots ;6\}$: $6\cdot 6=36$.
2. Suma $8$ se obține din $(2;6);(3;5);(4;4);(5;3);(6;2)$, deci $5$ cazuri și $P=5/36$.
3. Pentru „cel puțin un $6$” numărăm complementul: fără niciun $6$ sunt $5\cdot 5=25$ perechi, deci $P=1-25/36=11/36$.

Exemplu rezolvat. Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Care este probabilitatea să fie multiplu de $7$?

1. Numerele de două cifre sunt $10;11;\dots ;99$, adică $90$ de cazuri posibile.
2. Multiplii lui $7$ sunt $14;21;\dots ;98$, adică $7\cdot 2,7\cdot 3,\dots ,7\cdot 14$: $13$ numere.
3. $P=13/90$.

Exemplu rezolvat. Dintr-un grup de $6$ fete și $4$ băieți se aleg la întâmplare $3$ elevi pentru o delegație. Care este probabilitatea să fie exact $2$ fete?

1. Delegațiile posibile sunt submulțimile de $3$ elevi din $10$: $C_{10}^3=120$.
2. Delegațiile favorabile se formează în două etape: $2$ fete din $6$ și $1$ băiat din $4$, deci $C_6^2\cdot C_4^1=15\cdot 4=60$.
3. $P=60/120=1/2$.

Exemplu rezolvat. Cu cifrele $1;2;3;4;5$ se formează la întâmplare un număr de trei cifre distincte. Care este probabilitatea să fie par?

1. Numerele posibile sunt aranjamentele a câte $3$ din $5$ cifre: $A_5^3=60$.
2. Un număr este par dacă ultima cifră este $2$ sau $4$ ($2$ alegeri), iar primele două cifre se aleg ordonat din cele $4$ rămase: $2\cdot A_4^2=2\cdot 12=24$.
3. $P=24/60=2/5$.

La grilă, cazurile se numără sistematic: perechi ordonate pentru zaruri, combinări pentru extrageri simultane. Fiecare variantă greșită provine dintr-un număr de cazuri posibile sau favorabile numărat greșit (de exemplu $11$ sume în loc de $36$ de perechi).

Problemă. Se aruncă două zaruri echilibrate. Probabilitatea ca suma numerelor obținute să fie cel puțin $10$ este:

• a) $\frac{1}{12}$
• b) $\frac{1}{9}$
• c) $\frac{1}{6}$
• d) $\frac{3}{11}$
• e) $\frac{1}{4}$
• f) $\frac{5}{18}$

Rezolvare. Cazurile posibile sunt cele $36$ de perechi ordonate. Suma $10$ se obține în $3$ moduri: $(4;6);(5;5);(6;4)$. Suma $11$ în $2$ moduri: $(5;6);(6;5)$. Suma $12$ într-un mod: $(6;6)$. Cazurile favorabile sunt $3+2+1=6$, deci $P=6/36=1/6$. Răspunsul corect este c). Varianta a) numără doar suma $10$. Varianta b) pierde perechile $(5;6)$ și $(6;5)$, deci $4/36$. Varianta d) apare dacă se aleg ca „cazuri posibile” cele $11$ sume, de la $2$ la $12$, deși nu sunt echiprobabile. Varianta e) este probabilitatea ca ambele zaruri să arate cel puțin $4$: $9/36$. Varianta f) este probabilitatea sumei cel puțin $9$: $10/36$.

Alt exemplu. Într-un lot de $20$ de piese, $5$ sunt defecte. Se aleg simultan $3$ piese. Probabilitatea să fie exact o piesă defectă este $\frac{C_5^1\cdot C_{15}^2}{C_{20}^3}=\frac{5\cdot 105}{1140}=\frac{35}{76}$. La numărător, alegerea piesei defecte și alegerea celor două bune sunt etape independente, de aceea se înmulțesc. Verificare prin extragere succesivă: poziția piesei defecte poate fi prima, a doua sau a treia, deci $3\cdot \frac{5}{20}\cdot \frac{15}{19}\cdot \frac{14}{18}=\frac{3150}{6840}=\frac{35}{76}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: la $2$ zaruri, sumele de la $2$ la $12$ au toate probabilitatea $1/11$.
  Corect: sunt echiprobabile cele $36$ de perechi; $P(\text{suma }7)=6/36$, iar $P(\text{suma }2)=1/36$.
• Greșit: pentru $2$ bile roșii sunt $4$ cazuri favorabile, câte unul pe bilă.
  Corect: rezultatele sunt perechi, iar cele favorabile sunt $C_4^2=6$.
• Greșit: la două aruncări ale unei monede există trei rezultate, „două steme”, „o stemă și un ban”, „doi bani”, deci $P(\text{o stema˘ și un ban})=1/3$.
  Corect: rezultatele echiprobabile sunt patru perechi ordonate, SS, SB, BS, BB, deci probabilitatea este $2/4=1/2$.
• Greșit: într-o cutie cu $2$ bile roșii și $8$ albastre, probabilitatea de a scoate o bilă roșie este $1/2$, „fiindcă există două culori”.
  Corect: se numără bilele, nu culorile: $2/10=1/5$.

Înainte și după

Întrebări frecvente