Derivata într-un punct

Derivata lui $f$ în punctul $a$ este limita raportului incremental: $f^{\prime }(a)={\lim }_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}={\lim }_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Funcția este derivabilă în $a$ dacă această limită există și este finită. Numărul $f^{\prime }(a)$ este panta tangentei la grafic în punctul $(a;f(a))$ și, totodată, viteza cu care variază $f$ în momentul $a$. Ecuația tangentei este $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=x^2$, găsim derivata în $a=2$.

1. Raportul este $[(2+h{)}^2-4]/h=(4h+h^2)/h=4+h$.
2. Când $h\to 0$, obținem $f^{\prime }(2)=4$.
3. Tangenta este $y-4=4(x-2)$.

Raportul incremental $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ este panta secantei care unește punctele $(a;f(a))$ și $(x;f(x))$ ale graficului. Când $x$ se apropie de $a$, secanta se rotește în jurul punctului $(a;f(a))$, iar poziția ei limită este tangenta; panta acestei poziții limită este $f^{\prime }(a)$. Dacă raportul are limita $+\infty$ sau $-\infty$, graficul are în acel punct tangenta verticală $x=a$, dar funcția nu este derivabilă în $a$.

Derivatele laterale sunt limitele laterale ale raportului incremental: $f_s^{\prime }(a)={\lim }_{x\to a,x<a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ și $f_d^{\prime }(a)={\lim }_{x\to a,x>a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$. Funcția este derivabilă în $a$ dacă și numai dacă $f_s^{\prime }(a)$ și $f_d^{\prime }(a)$ există, sunt finite și sunt egale. Dacă sunt finite și diferite, punctul este unghiular: graficul are două semitangente diferite. Dacă sunt infinite și de semne opuse, punctul este de întoarcere.

Derivabilitatea în $a$ arată că $f$ este continuă în $a$: pentru $x\ne a$ avem $f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a)$, iar produsul tinde la $f^{\prime }(a)\cdot 0=0$. Reciproca este falsă: $|x|$ este continuă în $0$, dar $f_s^{\prime }(0)=-1$ și $f_d^{\prime }(0)=1$.

Panta tangentei este tangenta trigonometrică a unghiului $\alpha$ pe care tangenta îl face cu sensul pozitiv al axei $Ox$: $f^{\prime }(a)=\mathrm{tg}\alpha$. Tangenta este orizontală, de ecuație $y=f(a)$, exact când $f^{\prime }(a)=0$. Ea este paralelă cu o dreaptă dată când are aceeași pantă și perpendiculară pe ea când produsul pantelor este $-1$. În fizică, dacă $s(t)$ este distanța în metri parcursă de un mobil după $t$ secunde, raportul incremental pe $[t_0;t]$ este viteza medie, iar $s^{\prime }(t_0)$ este viteza în momentul $t_0$, în m/s.

La o funcție definită pe ramuri, derivabilitatea în punctul de îmbinare $a$ se verifică în trei pași: continuitatea în $a$ (valoarea din punct coincide cu cele două limite laterale), apoi $f_s^{\prime }(a)$ și $f_d^{\prime }(a)$, apoi compararea lor. Când ramurile sunt funcții elementare derivabile, derivatele laterale se obțin derivând fiecare ramură și înlocuind $x=a$, cu condiția ca funcția să fie continuă în $a$; justificarea este consecința teoremei lui Lagrange din lecția „Teoremele lui Rolle și Lagrange”.

Exemplu rezolvat. Determinăm tangenta la graficul lui $f(x)=\sqrt{x}$ în punctul de abscisă $4$.

1. Ordonata punctului este $f(4)=2$.
2. Pentru $x\ge 0$, $x\ne 4$: $\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x}+2}$.
3. Limita acestui raport când $x\to 4$ este $\frac{1}{4}$, deci $f^{\prime }(4)=\frac{1}{4}$.
4. Tangenta este $y-2=\frac{1}{4}(x-4)$, adică $y=\frac{x}{4}+1$.

Exemplu rezolvat. Studiem derivabilitatea în $1$ a funcției $f(x)=x^2+1$ pentru $x\le 1$, $f(x)=3x-1$ pentru $x>1$.

1. Valoarea din punct este $f(1)=2$, iar limita la dreapta este $3\cdot 1-1=2$: funcția este continuă în $1$.
2. La stânga, $\frac{x^2+1-2}{x-1}=x+1\to 2$, deci $f_s^{\prime }(1)=2$.
3. La dreapta, $\frac{3x-1-2}{x-1}=3$, deci $f_d^{\prime }(1)=3$.
4. Derivatele laterale sunt diferite, deci $f$ nu este derivabilă în $1$; punctul este unghiular.

Pentru $f(x)=\sqrt[3]{x}$, raportul din $0$ este $\frac{\sqrt[3]{x}}{x}=x^{-2/3}$, care tinde la $+\infty$ de ambele părți: tangenta este axa $Oy$. Pentru $f(x)=\sqrt{|x|}$, raportul $\frac{\sqrt{|x|}}{x}$ tinde la $-\infty$ la stânga și la $+\infty$ la dreapta: $0$ este punct de întoarcere.

Exemplu rezolvat. Aflăm punctul în care tangenta la graficul lui $f(x)=x^2-2x$ formează unghiul de $45^{\circ }$ cu axa $Ox$.

1. Unghiul de $45^{\circ }$ înseamnă panta $\mathrm{tg}45^{\circ }=1$.
2. Derivata este $f^{\prime }(x)=2x-2$, deci $f^{\prime }(a)=1$ pentru $2a-2=1$, adică $a=\frac{3}{2}$.
3. Ordonata este $f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}-3=-\frac{3}{4}$, deci punctul este $\left(\frac{3}{2};-\frac{3}{4}\right)$.

La o grilă, derivata într-un punct apare ca ecuație a tangentei într-un punct dat sau ca parametri aflați din derivabilitatea unei funcții pe ramuri. Pentru tangentă, ordinea este: $f(a)$, apoi $f^{\prime }(x)$, apoi $f^{\prime }(a)$, apoi $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$.

Problemă. Tangenta la graficul funcției $f(x)=x^3-3x+1$ în punctul de abscisă $2$ are ecuația:

• a) $y=9x-18$
• b) $y=3x-3$
• c) $y=9x-15$
• d) $y=9x+3$
• e) $y=12x-21$
• f) $y=3x+3$

Rezolvare. $f(2)=8-6+1=3$ și $f^{\prime }(x)=3x^2-3$, deci $f^{\prime }(2)=9$. Tangenta este $y-3=9(x-2)$, adică $y=9x-15$. Răspunsul corect este c). Verificare rapidă: punctul de tangență $(2;3)$ trebuie să verifice ecuația, iar $9\cdot 2-15=3$. Varianta a) uită ordonata $f(a)$ și scrie $y=f^{\prime }(a)(x-a)$. Varianta b) ia ca pantă pe $f(2)=3$. Varianta d) scrie $y-f(a)=f^{\prime }(a)x$, fără $-a$. Varianta e) derivează $-3x$ ca $0$ și obține panta $12$. Varianta f) schimbă rolurile: ia punctul $(2;f^{\prime }(2))$ și panta $f(2)$.

Alt exemplu. Funcția $f(x)=x^2+2x$ pentru $x\le 1$, $f(x)=ax+b$ pentru $x>1$ este derivabilă în $1$. Continuitatea cere $a+b=f(1)=3$. Derivata din stânga este $2x+2=4$, iar cea din dreapta este $a$, deci $a=4$ și $b=-1$. Ramura din dreapta devine $y=4x-1$, care în $x=1$ dă $3$, ca ramura din stânga.

Alt exemplu. Tangenta în $x=1$ la graficul lui $f(x)=x^2+ax$ este paralelă cu dreapta $y=5x$ dacă pantele coincid: $f^{\prime }(1)=2+a=5$, deci $a=3$.

Alt exemplu. Tangenta la graficul lui $f(x)=x^3-3x$ este paralelă cu axa $Ox$ dacă $f^{\prime }(a)=0$. Ecuația $3a^2-3=0$ are soluțiile $a=-1$ și $a=1$, deci tangentele orizontale sunt $y=2$ în punctul $(-1;2)$ și $y=-2$ în punctul $(1;-2)$.

Greșeli frecvente

• Greșit: se poate pune $h=0$ direct în raportul incremental.
  Corect: pentru $h=0$ raportul nu este definit (apare $0/0$); se calculează limita pentru $h\ne 0$.
• Greșit: două derivate laterale diferite dau o derivată bilaterală.
  Corect: derivata nu există.
• Greșit: $|x|$ este continuă în $0$, deci este derivabilă în $0$.
  Corect: derivatele laterale sunt $-1$ și $1$, diferite.
• Greșit: tangenta are panta $f(a)$.
  Corect: panta este $f^{\prime }(a)$, iar $f(a)$ este ordonata punctului de tangență.
• Greșit: pentru $f(x)=x^2$, derivata în $2$ se află derivând numărul $f(2)=4$, deci $f^{\prime }(2)=0$.
  Corect: se derivează funcția, apoi se înlocuiește $x=2$: $f^{\prime }(2)=4$.
• Greșit: $f(x)=x^2$ pentru $x\le 1$ și $f(x)=3x-2$ pentru $x>1$ este derivabilă în $1$, fiindcă ramurile iau aceeași valoare $1$.
  Corect: egalitatea valorilor dă doar continuitatea; derivatele laterale sunt $2$ și $3$, deci funcția nu este derivabilă în $1$.

Înainte și după