Matrice

O matrice $A=(a_{ij})$ de tip $m\times n$ are $m$ linii și $n$ coloane; $a_{ij}$ se află pe linia $i$, coloana $j$. Se adună și se scad doar matrice de același tip, element cu element. Produsul $AB$ este definit când numărul coloanelor lui $A$ este egal cu numărul liniilor lui $B$. Spre deosebire de produsul numerelor, produsul matricelor nu este comutativ.

Exemplu rezolvat. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$:

1. Primul element al lui $AB$ este $1\cdot 2+2\cdot 1=4$.
2. Celelalte sunt $1\cdot 0+2\cdot 1=2$, $0\cdot 2+3\cdot 1=3$, $0\cdot 0+3\cdot 1=3$.
3. $AB=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 3& 3\end{array}\right)$.

Mulțimea matricelor cu $m$ linii, $n$ coloane și elemente reale se notează ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$, iar cea a matricelor pătratice de ordin $n$ se notează ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$; pentru elemente complexe se scrie $\mathbb{C}$ în loc de $\mathbb{R}$. Tipuri speciale:

• matricea linie ($1\times n$) și matricea coloană ($m\times 1$);
• matricea nulă $O_{m,n}$, cu toate elementele egale cu $0$;
• matricea pătratică ($m=n$), ale cărei elemente $a_{11};a_{22};\dots ;a_{nn}$ formează diagonala principală;
• matricea unitate $I_n$, cu $1$ pe diagonala principală și $0$ în rest;
• matricea diagonală, cu toate elementele din afara diagonalei principale egale cu $0$, și matricea triunghiulară, cu toate elementele de sub diagonala principală (superior triunghiulară) sau de deasupra ei (inferior triunghiulară) egale cu $0$.

Transpusa $A^T$ are drept linii coloanele lui $A$; o matrice pătratică cu $A=A^T$ se numește simetrică.

Două matrice sunt egale dacă au același tip și elementele corespunzătoare egale. Suma $A+B$ și produsul $\alpha A$ cu un scalar se fac element cu element; adunarea este comutativă și asociativă și are ca element neutru matricea nulă. Dacă $A$ are tipul $m\times n$ și $B$ tipul $n\times p$, produsul $AB$ are tipul $m\times p$, iar elementul $c_{ij}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$ este suma produselor dintre elementele liniei $i$ a lui $A$ și cele ale coloanei $j$ a lui $B$. Produsul este asociativ și distributiv față de adunare, iar $A{I}_n=I_{n}A=A$. El nu este comutativ: $AB$ poate exista fără ca $BA$ să existe, iar pentru matrice pătratice de același ordin se poate întâmpla $AB\ne BA$. De aceea $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$, formulă care devine $A^2+2AB+B^2$ numai dacă $AB=BA$. Pentru o matrice pătratică, $A^0=I_n$ și $A^{k+1}=A^k\cdot A$. La o matrice diagonală puterea se face element cu element: ${\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)}^4=\left(\begin{array}{cc}16& 0\\ 0& 81\end{array}\right)$; la o matrice oarecare nu. Matricele de forma $a{I}_n$ comută cu orice matrice pătratică de ordin $n$. Transpunerea respectă $(A+B{)}^T=A^T+B^T$ și $(AB{)}^T=B^T{A}^T$.

Un tabel de date devine matrice, iar produsul matricelor calculează totaluri. Dacă linia $i$ a lui $Q$ dă cantitățile din magazinul $i$, iar coloana $P$ dă prețurile produselor, atunci $QP$ conține încasarea fiecărui magazin.

Exemplu rezolvat. Fie $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ -1& 3& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)$.

1. Dimensiunile interioare coincid, deci produsul este definit și are două linii și o coloană.
2. Prima linie dă $1\cdot 2+0\cdot 1+2\cdot 4=10$.
3. A doua linie dă $-1\cdot 2+3\cdot 1+1\cdot 4=5$.
4. Rezultatul este $AB=\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$. Produsul invers $BA$ nu există: $B$ are $1$ coloană, iar $A$ are $2$ linii.

Exemplu rezolvat. Fie $C=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $D=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.

1. $CD$: primul element este $0\cdot 1+1\cdot 0=0$, iar celelalte trei sunt tot $0$; deci $CD=O_2$.
2. $DC=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 0+0\cdot 0& 1\cdot 1+0\cdot 0\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=C$.
3. Așadar $CD\ne DC$, iar $CD=O_2$ deși $C\ne O_2$ și $D\ne O_2$.

Exemplu rezolvat. Două magazine vând pixuri și caiete. Matricea $Q=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 4\end{array}\right)$ arată, pe linii, câte pixuri (prima coloană) și câte caiete (a doua coloană) vinde fiecare magazin într-o zi. Un pix costă $5$ lei, iar un caiet costă $8$ lei, deci $P=\left(\begin{array}{c}5\\ 8\end{array}\right)$.

1. $Q$ are tipul $2\times 2$ și $P$ are tipul $2\times 1$, deci $QP$ există și are tipul $2\times 1$.
2. Primul magazin încasează $3\cdot 5+2\cdot 8=31$ de lei.
3. Al doilea încasează $1\cdot 5+4\cdot 8=37$ de lei, deci $QP=\left(\begin{array}{c}31\\ 37\end{array}\right)$.

La o grilă, o putere $A^k$ cu $k$ mare se află pe una dintre două căi. Fie se calculează $A^2$ și $A^3$ până apare o regularitate, confirmată apoi prin inducție. Fie se scrie $A=I_n+N$ cu $N^2=O$ și se folosește binomul lui Newton, valabil fiindcă $I_n$ comută cu orice matrice: $(I_n+N{)}^k=I_n+kN$.

Problemă. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$, matricea $A^{10}$ este:

• a) $\left(\begin{array}{cc}1& 10\\ 0& 1\end{array}\right)$
• b) $\left(\begin{array}{cc}1& 20\\ 0& 1\end{array}\right)$
• c) $\left(\begin{array}{cc}1& 1024\\ 0& 1\end{array}\right)$
• d) $\left(\begin{array}{cc}1& 22\\ 0& 1\end{array}\right)$
• e) $\left(\begin{array}{cc}10& 20\\ 0& 10\end{array}\right)$
• f) $\left(\begin{array}{cc}1& 200\\ 0& 1\end{array}\right)$

Rezolvare. Scriem $A=I_2+N$, cu $N=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $N^2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$. Toți termenii binomului cu $N^k$, $k\ge 2$, sunt nuli, deci $A^{10}=I_2+10N=\left(\begin{array}{cc}1& 20\\ 0& 1\end{array}\right)$. Răspunsul corect este b). Verificare: $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 1\end{array}\right)$, adică $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 2n\\ 0& 1\end{array}\right)$. Varianta a) uită factorul $2$ din $N$. Varianta c) ridică elementul $2$ la puterea $10$. Varianta d) folosește exponentul $11$ în loc de $10$. Varianta e) este $10A$, adică înmulțire cu scalarul $10$. Varianta f) ridică exponentul $10$ la pătrat și îl înmulțește cu $2$.

La o grilă, tipul rezultatului elimină variante înainte de orice calcul: dacă $A$ are tipul $2\times 3$ și $B$ tipul $3\times 1$, orice variantă pentru $AB$ cu două coloane este greșită.

Exemplu cu polinom de matrice. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ calculăm $A^2-3A+2I_2$. Avem $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 4\end{array}\right)$ și $3A=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 0& 6\end{array}\right)$. Atunci $A^2-3A+2I_2=\left(\begin{array}{cc}1-3+2& 3-3\\ 0& 4-6+2\end{array}\right)=O_2$. Din această egalitate rezultă, de exemplu, $A^2=3A-2I_2$, relație care coboară orice putere a lui $A$ la o combinație de $A$ și $I_2$.

Alt exemplu. Determinăm matricele $B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ care comută cu $C=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$. Avem $CB=\left(\begin{array}{cc}c& d\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $BC=\left(\begin{array}{cc}0& a\\ 0& c\end{array}\right)$. Egalitatea $CB=BC$ cere $c=0$ și $d=a$, deci $B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)$, cu $a;b\in \mathbb{R}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 8\end{array}\right)$.
  Corect: produsul este matricea cu un singur element $1\cdot 3+2\cdot 4=11$.
• Greșit: transpusa unei matrice cu două linii și trei coloane are același tip.
  Corect: transpusa are trei linii și două coloane.
• Greșit: $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$ pentru orice matrice pătratice $A$ și $B$.
  Corect: dezvoltarea corectă este $A^2+AB+BA+B^2$, iar termenii $AB$ și $BA$ se reduc la $2AB$ numai dacă $AB=BA$.
• Greșit: din $AB=O_2$ rezultă $A=O_2$ sau $B=O_2$.
  Corect: pentru $C=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $D=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ avem $CD=O_2$, deși ambele matrice sunt nenule.
• Greșit: dacă produsul $AB$ există, atunci există și $BA$.
  Corect: pentru $A$ de tip $2\times 3$ și $B$ de tip $3\times 1$, produsul $AB$ există, dar $BA$ nu, fiindcă $B$ are o coloană, iar $A$ are două linii.
• Greșit: $A^2$ se obține ridicând fiecare element al lui $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$ la pătrat, deci $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 1& 1\end{array}\right)$.
  Corect: $A^2=A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 2& 3\end{array}\right)$.

Înainte și după