Regula lui l'Hospital

Regula lui l'Hospital calculează limita unui raport $\frac{f(x)}{g(x)}$ de forma $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$ cu ajutorul raportului derivatelor: dacă există $\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$, finită sau infinită, atunci $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ are aceeași valoare. Regula cere funcții derivabile în jurul punctului și $g^{\prime }(x)\ne 0$; ea nu se aplică direct altor forme nedeterminate.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}$.

1. Numărătorul și numitorul tind la $0$.
2. Derivăm separat: $(e^x-1{)}^{\prime }=e^x$, $(x{)}^{\prime }=1$.
3. Limita raportului derivatelor este ${\lim }_{x\to 0}{e}^x=1$, deci limita inițială este $1$.

Fie $x_0$ un număr real sau $\pm \infty$ și $f$, $g$ derivabile pe un interval vecin lui $x_0$ (în $x_0$ funcțiile nu trebuie să fie definite), cu $g^{\prime }(x)\ne 0$ pe acel interval. Dacă $\lim f(x)=\lim g(x)=0$ sau $\lim |f(x)|=\lim |g(x)|=+\infty$, și există $\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=\ell$, cu $\ell$ finit sau infinit, atunci $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\ell$. Pentru o limită bilaterală, ipotezele se verifică de ambele părți. Dacă raportul derivatelor este tot nedeterminat, regula se repetă, verificând de fiecare dată ipotezele pentru noile funcții.

În practică, limita se calculează astfel:

1. se substituie valoarea limită și se recunoaște forma nedeterminată;
2. dacă forma nu este $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$, expresia se transformă într-un raport;
3. se verifică faptul că funcțiile sunt derivabile și că $g^{\prime }$ nu se anulează lângă $x_0$;
4. se derivează separat numărătorul și numitorul și se calculează limita noului raport;
5. dacă noul raport este tot nedeterminat, se simplifică sau se aplică regula încă o dată.

Reciproca nu este adevărată: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x+\sin x}{x}=1$, dar raportul derivatelor, $1+\cos x$, nu are limită. Prin urmare, absența limitei raportului derivatelor nu permite nicio concluzie; limita inițială se calculează atunci altfel (aici, împărțind la $x$).

Celelalte forme nedeterminate se aduc la un raport. Un produs $0\cdot \infty$ devine un cât: $f\cdot g=\frac{f}{1/g}$. O diferență $\infty -\infty$ se reduce la același numitor. Formele $1^{\infty }$, $0^0$ și ${\infty }^0$ se scriu $f^g=e^{g\ln f}$, iar limita exponentului se calculează cu regula.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$.

1. Numărătorul și numitorul tind la zero; derivatele există, iar $2x\ne 0$ pentru $x\ne 0$.
2. Primul raport al derivatelor este $\frac{\sin x}{2x}$, tot de forma $\frac{0}{0}$.
3. Aplicăm din nou regula: $(2x{)}^{\prime }=2\ne 0$, iar raportul devine $\frac{\cos x}{2}$.
4. Limita acestui raport este $\frac{1}{2}$, deci aceasta este și limita inițială.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x$, de forma $0\cdot (-\infty )$.

1. Scriem $x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}$, de forma $\frac{-\infty }{+\infty }$.
2. Raportul derivatelor este $\frac{1/x}{-1/x^2}=-x$.
3. Limita lui $-x$ este $0$, deci ${\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$. Rezultă ${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^x=e^0=1$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\right)$, de forma $\infty -\infty$.

1. Aducem la numitor comun: $\frac{\sin x-x}{x\sin x}$, de forma $\frac{0}{0}$.
2. Raportul derivatelor este $\frac{\cos x-1}{\sin x+x\cos x}$, tot $\frac{0}{0}$.
3. Încă o derivare dă $\frac{-\sin x}{2\cos x-x\sin x}$, care tinde la $\frac{0}{2}=0$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x^2}{e^x}$.

1. Numărătorul și numitorul tind la $+\infty$, deci forma este $\frac{\infty }{\infty }$.
2. Raportul derivatelor este $\frac{2x}{e^x}$, tot de forma $\frac{\infty }{\infty }$.
3. Încă o aplicare dă $\frac{2}{e^x}$, care tinde la $0$. Deci limita este $0$.

Regula nu este mereu cea mai scurtă cale. Dacă după prima derivare apare o limită remarcabilă, se oprește aici: în exemplul cu $1-\cos x$, limita $\frac{\sin x}{2x}\to \frac{1}{2}$ rezultă direct din $\frac{\sin x}{x}\to 1$. Regula arată și ordinea de creștere a funcțiilor: după $n$ aplicări, ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x^n}{e^x}=0$, iar pentru $\alpha >0$ avem ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln x}{x^{\alpha }}=\lim \frac{1}{\alpha x^{\alpha }}=0$.

Greșeli frecvente

• Greșit: pentru ${\lim }_{x\to 0}\frac{x+1}{x+2}$ se derivează și se obține $1$.
  Corect: raportul nu este nedeterminat, iar substituția dă $\frac{1}{2}$.
• Greșit: limita lui $\frac{f}{g}$ se calculează derivând câtul, adică prin ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }$.
  Corect: se formează raportul derivatelor $\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$; pentru $\frac{1-\cos x}{x^2}$ el este $\frac{\sin x}{2x}$.
• Greșit: la ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x+\sin x}{x}$ raportul derivatelor $1+\cos x$ nu are limită, deci nici limita inițială nu există.
  Corect: regula este o implicație într-un singur sens; limita există și este $1$.
• Greșit: produsul $x\ln x$ pentru $x\to 0^{+}$ se derivează cu regula produsului.
  Corect: întâi se scrie ca raport, $\frac{\ln x}{1/x}$, apoi se derivează numărătorul și numitorul.

Înainte și după

Întrebări frecvente