Divizibilitatea polinoamelor

Polinomul $D$ divide polinomul $P$ (scriem $D\mid P$) când există $Q$ cu $P=DQ$. Pentru factorul liniar $X-a$, teorema restului spune că restul împărțirii lui $P$ la $X-a$ este $P(a)$. Teorema lui Bézout afirmă că $X-a\mid P$ dacă și numai dacă $P(a)=0$. Cel mai mare divizor comun al două polinoame este un divizor comun de grad maxim, iar orice alt divizor comun îl divide; el se determină până la un factor constant nenul, de aceea se alege polinomul monic, cu coeficientul conducător $1$.

Exemplu rezolvat. Verificăm dacă $X-2$ divide $P(X)=X^3-4X^2+X+6$.

1. Calculăm $P(2)=8-16+2+6=0$.
2. Restul este $0$.
3. Deci $X-2$ este factor; împărțirea dă $P=(X-2)(X^2-2X-3)$.

Împărțirea euclidiană $P=DQ+R$, cu $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}D$, este unică pentru $D\ne 0$, iar $D\mid P$ înseamnă $R=0$. Dacă $D\mid P$ și $D\mid Q$, atunci $D$ divide orice combinație $UP+VQ$. Polinoamele $D$ și $cD$, cu $c\ne 0$ constant, se divid reciproc, de aceea divizorii se consideră până la un factor constant.

Teorema restului rezultă dintr-o singură evaluare: din $P=(X-a)Q+R$, cu $R$ constant, punem $X=a$ și obținem $R=P(a)$. Consecințe: $P(X)-P(a)$ se divide cu $X-a$; $X^n-a^n$ se divide cu $X-a$; $X+a\mid P$ dacă și numai dacă $P(-a)=0$. Dacă $a\ne b$ și $P(a)=P(b)=0$, atunci $(X-a)(X-b)\mid P$. Un factor dublu se testează în doi pași: $P=(X-a)Q$, apoi $(X-a{)}^2\mid P$ dacă și numai dacă $Q(a)=0$. De exemplu, pentru $P=X^3-3X^2+4$ avem $P(2)=8-12+4=0$ și Horner dă câtul $X^2-X-2$, care în $2$ valorează $4-2-2=0$; deci $(X-2{)}^2\mid P$.

Când divizorul are gradul doi, restul are gradul cel mult unu. Dacă $D=(X-a)(X-b)$ cu $a\ne b$, restul $R=\alpha X+\beta$ satisface $R(a)=P(a)$ și $R(b)=P(b)$, pentru că $D$ se anulează în $a$ și în $b$.

Exemplu rezolvat. Un polinom $P$ are $P(1)=3$ și $P(2)=5$. Aflăm restul împărțirii lui $P$ la $(X-1)(X-2)$.

1. Restul are forma $R=\alpha X+\beta$.
2. Din $R(1)=P(1)$ și $R(2)=P(2)$ obținem $\alpha +\beta =3$ și $2\alpha +\beta =5$.
3. Scăzând, $\alpha =2$, apoi $\beta =1$.
4. Restul este $2X+1$.

Teorema lui Bézout este și unealta de descompunere în factori: se caută o valoare $a$ cu $P(a)=0$, se scoate factorul $X-a$ prin schema lui Horner și se continuă cu câtul, care are gradul mai mic cu $1$.

Exemplu rezolvat. Descompunem $P(X)=X^3-6X^2+11X-6$ în factori.

1. Încercăm divizorii termenului liber: $P(1)=1-6+11-6=0$, deci $X-1\mid P$.
2. Horner cu $a=1$ pe coeficienții $1;-6;11;-6$ dă $1;-5;6;0$, deci câtul este $X^2-5X+6$.
3. Cum $X^2-5X+6=(X-2)(X-3)$, obținem $P=(X-1)(X-2)(X-3)$.

Două polinoame sunt prime între ele dacă c.m.m.d.c. al lor este o constantă nenulă, de exemplu $X-1$ și $X+1$. Cel mai mare divizor comun al două polinoame se află prin algoritmul lui Euclid: se împarte primul la al doilea, apoi divizorul la rest, până la restul $0$. Ultimul rest nenul, făcut monic, este c.m.m.d.c. Cel mai mic multiplu comun este $\frac{PQ}{\text{c.m.m.d.c.}}$, tot până la un factor constant. Aceleași rezultate se citesc din descompunerea în factori: c.m.m.d.c. conține factorii comuni la puterea cea mai mică, iar c.m.m.m.c. toți factorii la puterea cea mai mare.

Exemplu rezolvat: algoritmul lui Euclid. Luăm $P=X^2-1$ și $Q=X^2-3X+2$.

1. Scădem: $P-Q=3X-3=3(X-1)$, deci primul rest nenul este $3(X-1)$.
2. Observăm că $Q=(X-1)(X-2)$, astfel împărțirea lui $Q$ la $X-1$ are rest zero.
3. Ultimul rest nenul, făcut monic, este $X-1$; acesta este c.m.m.d.c. al lui $P$ și $Q$.
4. Cel mai mic multiplu comun este $\frac{(X^2-1)(X^2-3X+2)}{X-1}=(X+1)(X^2-3X+2)=X^3-2X^2-X+2$.

Factorizările $P=(X-1)(X+1)$ și $Q=(X-1)(X-2)$ verifică rezultatul: factorul comun este $X-1$, iar multiplul comun conține $X-1$, $X+1$ și $X-2$.

La un divizor de gradul doi cu două rădăcini distincte, restul $\alpha X+\beta$ se află din valorile lui $P$ în acele rădăcini. A doua metodă reduce puterile cu relația $D\equiv 0$; pentru $D=X^2-1$ aceasta este $X^2\equiv 1$, iar în problema de mai jos se folosește această reducere.

Problemă. Restul împărțirii lui $P(X)=X^3+2X^2-X+3$ la $D(X)=X^2-1$ este:

• a) $3$
• b) $X+2$
• c) $2X^2+3$
• d) $5$
• e) $1-2X$
• f) $X+5$

Rezolvare. Modulo $D$, avem $X^2\equiv 1$ și $X^3\equiv X$. Prin înlocuire, $P(X)\equiv X+2-X+3=5$. Restul este polinomul constant $5$, deci $D$ nu divide $P$. Verificarea prin împărțire dă $P(X)=(X+2)(X^2-1)+5$. Răspunsul corect este d). Varianta a) citește termenul liber ca rest. Varianta b) este câtul, nu restul. Varianta c) reduce $X^3$, dar nu reduce și $2X^2$, deși gradul restului trebuie să fie mai mic decât $2$. Varianta e) folosește relația $X^2\equiv -1$, valabilă pentru $X^2+1$. Varianta f) pierde termenul $-X$ la reducere.

Alt exemplu. Aflăm $m$ pentru care $X^3+m{X}^2-X-2$ este divizibil cu $X-2$. Condiția este $P(2)=8+4m-2-2=4+4m=0$, deci $m=-1$. Pentru divizibilitatea cu $X+2$ ar fi $P(-2)=-8+4m+2-2=4m-8=0$, adică $m=2$. Pentru factorul $X+2$ se evaluează în $-2$, nu în $2$.

Alt exemplu. Un polinom $P$ dă restul $4$ la împărțirea cu $X-1$ și restul $2$ la împărțirea cu $X+1$. Restul la $X^2-1=(X-1)(X+1)$ este $\alpha X+\beta$, cu $\alpha +\beta =P(1)=4$ și $-\alpha +\beta =P(-1)=2$. Adunând, $\beta =3$, apoi $\alpha =1$, deci restul este $X+3$.

Alt exemplu. Calculăm c.m.m.d.c. al polinoamelor $X^4-1$ și $X^3-1$. Împărțim: $X^4-1=X(X^3-1)+(X-1)$, apoi $X^3-1=(X^2+X+1)(X-1)$ cu rest $0$. Ultimul rest nenul este $X-1$, deci c.m.m.d.c. este $X-1$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $P(a)=0$ dovedește divizibilitatea cu orice polinom care are rădăcina $a$.
  Corect: dovedește direct doar factorul $X-a$.
• Greșit: în Horner se sar coeficienții zero.
  Corect: pozițiile gradelor lipsă se păstrează cu zero.
• Greșit: restul împărțirii poate avea același grad ca divizorul.
  Corect: gradul restului este mai mic.
• Greșit: c.m.m.d.c. al lui $X^2-1$ și $X^2-3X+2$ este produsul lor.
  Corect: c.m.m.d.c. conține numai factorii comuni, la puterea cea mai mică; aici este $X-1$.

Înainte și după

Întrebări frecvente