Teorema lui Pitagora: formula, reciproca și exemple

1pe scurtstratul 1 din 2 · rezumatul lecției

Pe scurt

Într-un triunghi dreptunghic, un unghi are $9 0^{\circ}$ . Cele două laturi care formează acest unghi se numesc catete. Latura opusă unghiului drept este ipotenuza și este cea mai lungă. Teorema lui Pitagora spune că, într-un triunghi dreptunghic cu catetele $a$ și $b$ și ipotenuza $c$ , pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Geometric, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete; pentru catetele de $3$ cm și $4$ cm avem $9 + 16 = 25$ cm $^{2}$ , deci ipotenuza are $5$ cm.

Din relație afli o latură necunoscută. Dacă știi catetele, ipotenuza este $c = a^{2} + b^{2}$ . Dacă știi ipotenuza și o catetă, cealaltă catetă este $b = c^{2} - a^{2}$ . În clasa a VI-a, sub radical apar pătrate perfecte; în clasa a VII-a, rezultatul poate fi și un număr irațional, de exemplu $2$ .

Reciproca teoremei: dacă într-un triunghi pătratul celei mai mari laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept este opus celei mai mari laturi. De exemplu, triunghiul cu laturile de $9$ cm, $12$ cm și $15$ cm este dreptunghic, deoarece $9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225 = 1 5^{2}$ . Trei numere naturale nenule $a$ , $b$ , $c$ cu $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ formează un triplet pitagoreic: $3; 4; 5$ , $5; 12; 13$ , $8; 15; 17$ , $7; 24; 25$ sau multiplii lor, ca $6; 8; 10$ .

Teorema se aplică și în figuri care conțin triunghiuri dreptunghice: diagonala unui dreptunghi cu laturile $a$ și $b$ este $a^{2} + b^{2}$ , iar diagonala unui pătrat cu latura $l$ este $l 2$ ; pentru $l = 5$ cm, diagonala are $52 \approx 7, 07$ cm.

Exemplu rezolvat. Într-un triunghi echilateral cu latura de $6$ cm, înălțimea împarte baza în segmente de $3$ cm. Astfel, $h^{2} = 6^{2} - 3^{2} = 27$ , de unde $h = 33$ cm.

Ce	Formula
Teorema lui Pitagora ( $∠ A = 9 0^{\circ}$ )	$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$
Ipotenuza, din cele două catete	$B C = A B^{2} + A C^{2}$
O catetă, din ipotenuză și cealaltă catetă	$A B = B C^{2} - A C^{2}$
Reciproca	dacă $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ , atunci $∠ A = 9 0^{\circ}$
Numere pitagoreice des întâlnite	$3, 4, 5$ · $5, 12, 13$ · $8, 15, 17$ · $7, 24, 25$ · $20, 21, 29$
Diagonala pătratului de latură $l$	$d = l 2$
Înălțimea triunghiului echilateral de latură $l$	$h = \frac{l 3}{2}$
Distanța dintre punctele $A (x_{1}, y_{1})$ și $B (x_{2}, y_{2})$	$A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

2în detaliustratul 2 din 2 · pentru clasă și Bacalaureat

În detaliu

Ce spune teorema

Un triunghi dreptunghic are un unghi de $9 0^{\circ}$ . Laturile care formează unghiul drept se numesc catete. Latura din fața unghiului drept se numește ipotenuză și este cea mai lungă latură a triunghiului.

Teorema lui Pitagora leagă cele trei laturi: dacă triunghiul $A B C$ are unghiul $A$ drept, atunci

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} .

Poți citi formula și cu arii: pătratul construit pe ipotenuză are aria egală cu suma ariilor pătratelor construite pe cele două catete.

Înainte să scrii formula, caută unghiul drept. Ipotenuza este mereu latura opusă lui, deci ea stă singură într-un membru al egalității.

Cum afli ipotenuza

Când știi cele două catete, ridici fiecare catetă la pătrat, aduni rezultatele și extragi radicalul din sumă: $B C = A B^{2} + A C^{2}$ . Dacă suma nu este pătrat perfect, rezultatul rămâne cu radical. În clasa a VII-a îl scrii simplificat, de exemplu $52 = 213$ .

Cum afli o catetă

Când știi ipotenuza și o catetă, scazi: $A B^{2} = B C^{2} - A C^{2}$ . Ordinea contează. Pătratul ipotenuzei este cel mai mare, deci din el se scade. Dacă îți iese un număr negativ sub radical, ai pus latura greșită pe post de ipotenuză.

De ce este adevărată

În clasa a VI-a teorema se folosește fără demonstrație. În clasa a VII-a o poți demonstra cu teorema catetei. Duci înălțimea $A D$ , cu $D$ pe ipotenuză. Teorema catetei îți dă $A B^{2} = B D \cdot B C$ și $A C^{2} = D C \cdot B C$ . Aduni cele două egalități:

A B^{2} + A C^{2} = B C \cdot (B D + D C) = B C \cdot B C = B C^{2} .

Reciproca teoremei lui Pitagora

Reciproca merge în sens invers: dacă laturile unui triunghi verifică $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ , atunci unghiul $A$ este drept. Așa afli dacă un triunghi este dreptunghic fără să măsori unghiuri.

Cum o aplici:

alegi latura cea mai lungă;
calculezi pătratul ei;
îl compari cu suma pătratelor celorlalte două laturi.

Dacă cele două numere sunt egale, triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept este în fața laturii celei mai lungi. Dacă nu sunt egale, triunghiul nu este dreptunghic.

Numerele pitagoreice

Trei numere naturale nenule $a$ , $b$ , $c$ cu $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ se numesc numere pitagoreice. Cel mai cunoscut exemplu este $3, 4, 5$ , pentru că $9 + 16 = 25$ . Dacă înmulțești toate trei numerele cu același număr natural nenul, obții tot numere pitagoreice: $6, 8, 10$ sau $9, 12, 15$ .

Merită să recunoști tripletele din tabelul „Pe scurt”. Când vezi catetele $5$ și $12$ , știi imediat că ipotenuza este $13$ și economisești un calcul.

Aplicații pe care le vei folosi des

Diagonala pătratului. Diagonala împarte pătratul în două triunghiuri dreptunghice isoscele. Din $d^{2} = l^{2} + l^{2} = 2 l^{2}$ rezultă $d = l 2$ .
Înălțimea triunghiului echilateral. Înălțimea cade în mijlocul laturii și formează un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $l$ și o catetă $\frac{l}{2}$ . Rezultă $h^{2} = l^{2} - \frac{l ^{2}}{4} = \frac{3 l ^{2}}{4}$ , deci $h = \frac{l 3}{2}$ .
Distanța dintre două puncte. Într-un sistem de axe, segmentul $A B$ este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele paralele cu axele. Catetele au lungimile $∣ x_{2} - x_{1} ∣$ și $∣ y_{2} - y_{1} ∣$ .

Înainte și după

Când se predă: în clasa a VI-a, la capitolul „Triunghiul”, teorema se folosește fără demonstrație, cu numere pitagoreice și pătrate perfecte. În clasa a VII-a revine la capitolul Relații metrice în triunghiul dreptunghic, cu demonstrație și cu radicali.
Înainte: proprietățile triunghiului dreptunghic și ridicarea la pătrat; în clasa a VII-a, scoaterea factorilor de sub radical.
După: teorema înălțimii și teorema catetei, care completează relațiile metrice din triunghiul dreptunghic; aria triunghiului, unde înălțimea se calculează des cu Pitagora.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: ipotenuza

Triunghiul $A B C$ are $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $A B = 9$ cm și $A C = 12$ cm. Află $B C$ .

Unghiul drept este în $A$ , deci $B C$ este ipotenuza.
$B C^{2} = 9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225$ .
$B C = 225 = 15$ cm.

Verificare: $9, 12, 15$ se obțin din $3, 4, 5$ înmulțite cu $3$ .

Exemplul 2: o catetă

Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de $26$ cm și o catetă de $10$ cm. Află cealaltă catetă.

Cateta necunoscută la pătrat este $2 6^{2} - 1 0^{2} = 676 - 100 = 576$ .
Cateta este $576 = 24$ cm.

Verificare: $1 0^{2} + 2 4^{2} = 100 + 576 = 676 = 2 6^{2}$ .

Exemplul 3: este triunghiul dreptunghic?

a) Laturile sunt $20$ , $21$ și $29$ . Latura cea mai lungă este $29$ , cu $2 9^{2} = 841$ . Suma celorlalte pătrate este $400 + 441 = 841$ . Numerele sunt egale, deci triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept este opus laturii de lungime $29$ .

b) Laturile sunt $6$ , $7$ și $9$ . Avem $9^{2} = 81$ , iar $6^{2} + 7^{2} = 36 + 49 = 85$ . Pentru că $81 \neq = 85$ , triunghiul nu este dreptunghic.

Exemplul 4: înălțimea unui triunghi isoscel

Triunghiul $A B C$ are $A B = A C = 13$ cm și $B C = 10$ cm. Află înălțimea $A D$ , unde $D$ este pe $B C$ .

Într-un triunghi isoscel, înălțimea dusă pe bază este și mediană, deci $B D = 5$ cm.
Triunghiul $A B D$ are unghiul drept în $D$ , iar ipotenuza lui este $A B$ .
$A D^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144$ , deci $A D = 12$ cm.

Cu această înălțime poți calcula și aria triunghiului: $\frac{10 \cdot 12}{2} = 60$ cm².

Exemplul 5: nivel de examen

Trapezul isoscel $A B C D$ are bazele $A B = 21$ cm și $C D = 9$ cm, iar laturile neparalele $A D = B C = 10$ cm. Află înălțimea trapezului și lungimea diagonalei $A C$ .

Duci perpendicularele $D F$ și $C E$ pe $A B$ . Atunci $F E = C D = 9$ cm, iar $A F = E B = \frac{21 - 9}{2} = 6$ cm.
În triunghiul dreptunghic $B E C$ : $C E^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 64$ , deci înălțimea este $C E = 8$ cm.
Pentru diagonală folosești triunghiul dreptunghic $A E C$ , cu $A E = A B - E B = 21 - 6 = 15$ cm.
$A C^{2} = 1 5^{2} + 8^{2} = 225 + 64 = 289$ , deci $A C = 17$ cm.

Cum recunoști tipul: figura nu are un triunghi dreptunghic gata desenat. Îl creezi tu, ducând o înălțime. Apoi cauți în figură două segmente cunoscute care să fie catete.

Exemplul 6: scara sprijinită de perete

Exemplu rezolvat. O scară sprijinită de perete formează un triunghi dreptunghic. Baza este la $3$ m de perete, iar vârful la $4$ m înălțime.

Catetele sunt $3$ m și $4$ m.
Lungimea scării $c$ satisface $c^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25$ .
$c = 25 = 5$ m.

Verificăm că $5$ m este mai mare decât fiecare catetă.

Exemplu rezolvat. Un triunghi isoscel $A B C$ are $A B = A C = 13$ cm și $B C = 10$ cm. Aflăm înălțimea $A D$ și aria.

Înălțimea din vârful $A$ cade în mijlocul bazei, deci $B D = 5$ cm.
În triunghiul dreptunghic $A B D$ , $A D^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144$ .
$A D = 12$ cm, iar aria este $\frac{10 \cdot 12}{2} = 60$ cm $^{2}$ .

Unde apare la examen

Evaluarea Națională, clasa a VIII-a: proba de matematică din 2026 a avut trei subiecte. Subiectul al II-lea a cuprins 6 itemi de geometrie plană și în spațiu, cu alegere multiplă. Subiectul al III-lea a cuprins 6 probleme cu rezolvare completă, între care probleme de geometrie plană și în spațiu (subiectele și baremele EN 2026). În varianta 1 din 2026, una dintre probleme a cerut calcule într-un cerc, cu o coardă și distanța de la centru la coardă. Raza, jumătatea coardei și această distanță formează un triunghi dreptunghic, în care se aplică teorema lui Pitagora.
La geometria în spațiu, teorema lui Pitagora calculează înălțimi, apoteme și diagonale în corpuri, de exemplu în piramida regulată.

Greșeli frecvente

Greșit: din catetele $3$ și $4$ rezultă ipotenuza $7$ , adică $9 + 16 = 3 + 4$ .
Corect: se adună pătratele, nu laturile, iar radicalul unei sume nu este suma radicalilor: $9 + 16 = 5$ .
Greșit: teorema se aplică într-un triunghi care nu este dreptunghic.
Corect: mai întâi se verifică unghiul drept sau se construiește cu o înălțime.
Greșit: la reciprocă se compară pătratul oricărei laturi cu suma pătratelor celorlalte două.
Corect: se ia latura cea mai lungă; numai pătratul ei poate fi egal cu suma pătratelor celorlalte două.
Greșit: $72$ rămâne nesimplificat.
Corect: $72 = 62$ ; rezultatul simplificat te ajută să recunoști răspunsul corect printre variante.
Greșit: într-un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $13$ și o catetă $5$ , cealaltă catetă are pătratul $1 3^{2} + 5^{2}$ .
Corect: $b^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 144$ , deci $b = 12$ .
Greșit: laturile $5; 6; 7$ verifică Pitagora deoarece formează un triunghi.
Corect: $5^{2} + 6^{2} = 61 \neq = 49 = 7^{2}$ , deci triunghiul nu este dreptunghic.
Greșit: ipotenuza triunghiului cu catetele $6$ cm și $8$ cm este $6^{2} + 8^{2} = 100$ cm.
Corect: $100$ este pătratul ipotenuzei; ipotenuza este $100 = 10$ cm.
Greșit: pentru laturile $7; 24; 25$ se verifică $7^{2} + 2 5^{2} = 2 4^{2}$ .
Corect: ipotenuza este latura cea mai lungă, deci se verifică $7^{2} + 2 4^{2} = 49 + 576 = 625 = 2 5^{2}$ .

pentru adulți

Pentru părinți

Luați o ruletă sau o sfoară cu nodurile la câte $10$ cm. Formați un triunghi cu laturile de $30$ cm, $40$ cm și $50$ cm și verificați cu colțul unei cărți că unghiul dintre laturile de $30$ cm și $40$ cm este drept. Apoi schimbați latura mare la $55$ cm și întrebați: „Colțul mai este drept? Cum verificăm cu pătratele?” Cereți copilului să calculeze $3 0^{2} + 4 0^{2}$ și $5 0^{2}$ și să spună care latură este ipotenuza.

în contul tăuPremium

Testează-te pe această lecție

Lecția o citești aici, fără cont. Testele pe lecții și capitole sunt în cont, cu grile originale Didaxis și explicația fiecăreia: gratuit 10 grile pe zi, fără limită cu Premium, 49 de lei pe lună pentru fiecare copil.

Testează-te în cont

Înainte și după

ÎnainteTeorema lui ThalesSegmente proporționale și reciproca teoremei.DupăLinii importante în triunghiMediană, înălțime, bisectoare și mediatoare.CapitolulGeometrie planăToate lecțiile capitolului „Geometrie plană”.

Întrebări frecvente

Care este formula teoremei lui Pitagora?

Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza² = cateta₁² + cateta₂². Pentru triunghiul ABC cu unghiul A drept, BC² = AB² + AC².

Cum afli o catetă cu teorema lui Pitagora?

Scazi din pătratul ipotenuzei pătratul catetei cunoscute și extragi radicalul. De exemplu, pentru ipotenuza 13 și o catetă 5, cealaltă catetă este √(169 − 25) = √144 = 12.

Ce sunt numerele pitagoreice?

Sunt trei numere naturale nenule a, b, c pentru care a² + b² = c², de exemplu 3, 4, 5 sau 5, 12, 13. Ele pot fi laturile unui triunghi dreptunghic.

Se poate folosi teorema lui Pitagora într-un triunghi care nu este dreptunghic?

Nu direct. Într-un triunghi oarecare duci o înălțime, care îl împarte în două triunghiuri dreptunghice, și aplici teorema în fiecare dintre ele.

Surse și referințe

Programa școlară pentru disciplina Matematică, clasele a V-a – a VIII-a (anexa nr. 2 la OMEN 3393/2017), p. PDF 15–16 și 23–24; rocnee.eu
Subiectele și baremele Evaluării Naționale 2026; subiecte2026.edu.ro
OpenStax, Contemporary Mathematics, cap. 10, §10.8 «Right Triangle Trigonometry», ediția web fără paginare: openstax.org

Desene: Redactare proprie (desen original)