Structuri algebrice — introducere

O structură algebrică este o mulțime înzestrată cu una sau mai multe operații care au proprietăți fixate. Structurile din programă se construiesc una peste alta. O lege internă asociativă, cu element neutru, dă un monoid. Dacă fiecare element are și simetric, monoidul este grup. Un grup abelian $(A,+)$ împreună cu o înmulțire asociativă și distributivă față de adunare formează un inel. Un inel cu $0\ne 1$, în care orice element nenul este inversabil, se numește corp.

Aceeași mulțime își schimbă structura odată cu operația: $(\mathbb{Z},+)$ este grup, $(\mathbb{Z},\cdot )$ este doar monoid, iar $(\mathbb{Z},-)$ nu este nici măcar monoid, fiindcă scăderea nu este asociativă. Fiecare axiomă este tratată în lecțiile Legi de compoziție, Grupuri, Subgrupuri și morfisme, Inele și corpuri și Clase de resturi modulo n.

Ca să afli ce structură formează o mulțime cu operația (operațiile) ei, verifici proprietățile în ordinea din tabel; prima care nu se îndeplinește oprește clasificarea:

Dacă $H$ este o parte stabilă a unei mulțimi cu lege asociativă, legea rămâne asociativă pe $H$; același lucru este valabil pentru comutativitate și distributivitate. Elementul neutru și simetricele nu se moștenesc automat: trebuie să aparțină lui $H$.

Limbajul depinde de scriere. Pentru o lege notată $+$, neutrul se numește zero, iar simetricul se numește opus și se scrie $-a$. Pentru o lege notată $\cdot$, neutrul se numește unitate (se scrie $1$), iar simetricul se numește invers și se scrie $a^{-1}$.

Exemplu rezolvat 1: aceeași mulțime, operații diferite. Stabilim structura fiecărei perechi.

1. $(\mathbb{N},+)$: legea este internă și asociativă, iar $0$ este neutru. Pentru $1$ ar trebui un $b$ cu $1+b=0$, adică $b=-1\notin \mathbb{N}$. Este monoid comutativ, nu grup.
2. $(\mathbb{Z},+)$: neutrul este tot $0$, iar simetricul lui $a$ este $-a\in \mathbb{Z}$. Este grup abelian.
3. $(\mathbb{Z},\cdot )$: neutrul este $1$, dar $2$ nu are invers în $\mathbb{Z}$. Este monoid comutativ, nu grup.
4. $(\mathbb{Z},-)$: $(5-3)-1=1$, iar $5-(3-1)=3$. Legea nu este asociativă, deci structura nu este nici monoid.

Din 2 și 3 rezultă că $(\mathbb{Z},+,\cdot )$ este inel comutativ, dar nu corp. Perechea $(\mathbb{Q},+,\cdot )$ este corp, iar $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ este grup abelian.

Exemplu rezolvat 2. Mulțimea $U=\{1;-1;i;-i\}$ cu înmulțirea numerelor complexe.

1. Produsele rămân în $U$: de exemplu $i\cdot i=-1$, $i\cdot (-i)=1$, $(-1)\cdot i=-i$.
2. Asociativitatea și comutativitatea vin de la $\mathbb{C}$; nu verifici cele $64$ de triplete.
3. Neutrul este $1\in U$.
4. Simetricele sunt $1\mapsto 1$, $-1\mapsto -1$, $i\mapsto -i$, $-i\mapsto i$, toate în $U$.

Deci $(U,\cdot )$ este grup abelian cu $4$ elemente.

Exemplu rezolvat 3: matrice pătratice de ordin $2$. Fie $M_2(\mathbb{R})$ mulțimea matricelor $2\times 2$ cu elemente reale.

1. Față de adunare, matricea nulă este neutru, iar simetricul lui $A$ este $-A$: grup abelian.
2. Față de înmulțire, $I_2$ este neutru, iar legea este asociativă: monoid. Nu este comutativ, deoarece $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, dar produsul în ordine inversă este $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$.
3. Nu este grup: $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ are determinantul $0$, deci nu are invers.
4. Matricele cu determinantul nenul formează parte stabilă, deoarece $\det (AB)=\det A\cdot \det B\ne 0$, și conțin inversele lor. Față de înmulțire ele formează un grup neabelian.

Două structuri izomorfe au aceleași proprietăți algebrice, deci o problemă se poate rezolva în structura mai simplă și apoi se transferă răspunsul (lecția Subgrupuri și morfisme).

Pentru o lege dată prin formulă, cauți întâi neutrul $e$ din $x\circ e=x$, apoi rezolvi $x\circ y=e$ ca să vezi ce elemente au simetric.

Problemă. Pe $\mathbb{Z}$ se definește $x\circ y=x+y-xy$. Câte elemente ale lui $\mathbb{Z}$ au simetric față de $\circ$?

• a) $0$
• b) $1$
• c) $2$
• d) $3$
• e) $4$
• f) o infinitate

Rezolvare. Neutrul este $0$, deoarece $x\circ 0=x$. Ecuația $x\circ y=0$ se scrie $y(1-x)=-x$. Pentru $x=1$ nu are soluții, căci $1\circ y=1$ pentru orice $y$. Pentru $x\ne 1$ obținem $y=\frac{x}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}$, iar $y$ este întreg dacă și numai dacă $x-1\in \{-1;1\}$, adică $x\in \{0;2\}$. Verificare: $2\circ 2=2+2-4=0$. Au simetric exact două elemente, deci răspunsul corect este c). Varianta a) afirmă că niciun element nu are simetric, deși neutrul este propriul simetric. Varianta b) numără doar neutrul. Varianta d) adaugă elementul $1$, ignorând că ecuația nu are soluții pentru $x=1$. Varianta e) provine din $x-1\in \{\pm 1;\pm 2\}$, adică $x\in \{-1;0;2;3\}$, fără verificarea că $y$ este întreg: $x=-1$ dă $y=\frac{1}{2}$, iar $x=3$ dă $y=\frac{3}{2}$. Varianta f) rezolvă ecuația în $\mathbb{R}$ și uită că $y$ trebuie să fie întreg.

Alt exemplu. Pe $[0;+\infty )$ legea $x\ast y=\max (x;y)$ este internă, asociativă și comutativă, iar $0$ este neutru. Nu este grup: $\max (x;y)=0$ cere $x=y=0$, deci doar $0$ are simetric. Pe $\mathbb{R}$ aceeași lege nu are nici neutru, fiindcă $\max (x;e)=x$ pentru orice real $x$ ar însemna $e\le x$ pentru orice $x$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $(\mathbb{Z},\cdot )$ este grup, fiindcă are neutrul $1$ și produsul a doi întregi este întreg.
  Corect: lipsesc simetricele; $2$ nu are invers în $\mathbb{Z}$, deci perechea este doar monoid.
• Greșit: pentru a arăta că o mulțime cu două legi este inel, e suficient să verifici că adunarea este grup abelian.
  Corect: se verifică și asociativitatea înmulțirii și distributivitatea ei față de adunare.
• Greșit: într-un inel, $(A,\cdot )$ este grup.
  Corect: $0$ nu are invers, așa că $(A,\cdot )$ nu este grup; într-un corp $K$ este grup $(K^{\ast },\cdot )$, unde $K^{\ast }=K\setminus \{0\}$.
• Greșit: scăderea este lege internă pe $\mathbb{N}$.
  Corect: $2-5=-3\notin \mathbb{N}$, deci rezultatul iese din mulțime.

Înainte și după