Procente

Un procent înseamnă „dintr-o sută”. $25\%$ înseamnă $25$ din $100$, adică un sfert. Dacă într-o clasă de $100$ de elevi, $25$ au ales un joc, atunci $25\%$ au făcut acea alegere. Pentru o altă mărime, calculezi partea corespunzătoare: $25\%$ din $40$ este $10$. În clasa a IV-a întâlnești mai ales $25\%$, $50\%$ și $75\%$: $50\%$ este jumătate, $25\%$ este un sfert, iar $75\%$ sunt trei sferturi.

La cumpărături, un preț poate fi redus cu un procent. Reducerea se calculează din prețul inițial, apoi se scade din el. O creștere se adaugă la valoarea inițială. Cuvântul „procent” nu spune singur ce număr este întregul; citește enunțul ca să afli baza.

Procentele se pot scrie ca fracții: $10\%=10/100$, adică o zecime. Pentru $50\%$, poți lua jumătate din cantitate. Pentru $1\%$, împarți cantitatea la $100$. Aceste legături ajută la calcule mintale și la verificarea rezultatului. O reducere de $20\%$ nu înseamnă că noul preț este $20\%$ din cel vechi; rămâne $80\%$.

Cuvântul „procent” vine din „pro centum”, adică „la sută”. Procentele sunt utile ca să compari părți din întreguri diferite: $3$ din $4$ elevi și $15$ din $20$ elevi reprezintă același procent, $75\%$, deși numerele sunt diferite. Pentru a afla ce procent este o parte din întreg, împarți partea la întreg și amplifici fracția până la numitorul $100$: $\frac{15}{20}=\frac{75}{100}$.

Exemplu rezolvat. Un tricou costă $80$ lei și are reducere de $20\%$.

1. Calculează reducerea: $20\%$ din $80$ este $80\cdot 20/100=16$ lei.
2. Scade reducerea: $80-16=64$ lei.
3. Verifică: $64$ lei reprezintă $80\%$ din $80$ lei.

Răspuns: noul preț este $64$ lei.

Procentul este o proporție raportată la o sută, iar calculul său cere identificarea întregului de referință. Dacă partea este $p$ și întregul nenul este $V$, procentul este $100p/V$. Dacă întregul se modifică, același număr de obiecte poate reprezenta alt procent. Cele trei întrebări cu procente sunt: care este partea dată întregul și procentul ($p\%$ din $V$ este $V\cdot p/100$), care este procentul dată partea și întregul, și care este întregul dată partea și procentul ($V=100\cdot \text{parte}/p$).

Creșterea relativă dintre două valori, cu valoarea inițială pozitivă, este $100(V_f-V_i)/V_i$. Diferența dintre două procente exprimate pe aceeași scară se măsoară în puncte procentuale; ea diferă de creșterea relativă a procentului. O creștere de la zero nu are procent relativ definit prin această formulă.

Pentru modificări succesive, factorii se înmulțesc și procentele se raportează la baze succesive. O creștere cu $p\%$ înmulțește valoarea cu $1+p/100$, iar o scădere cu $p\%$ cu $1-p/100$.

Exemplu rezolvat. Proporția participanților la un concurs crește de la $40\%$ la $50\%$ din același grup de $200$ de elevi.

1. Inițial participă $0,4\cdot 200=80$ de elevi.
2. Ulterior participă $0,5\cdot 200=100$ de elevi, cu $100-80=20$ mai mulți.
3. Diferența proporțiilor este $50-40=10$ puncte procentuale.
4. Creșterea relativă a numărului participanților este $100\cdot 20/80=25\%$. Cele două valori descriu comparații diferite.

Exemplu rezolvat. Un preț de $250$ lei se reduce cu $20\%$, apoi noul preț se majorează cu $10\%$. Care este prețul final și ce modificare totală reprezintă?

1. După reducere: $250\cdot (1-0,2)=250\cdot 0,8=200$ lei.
2. După majorare, aplicată la $200$ lei: $200\cdot (1+0,1)=220$ lei.
3. Factorul total este $0,8\cdot 1,1=0,88$, deci prețul final este $88\%$ din cel inițial: $250\cdot 0,88=220$ lei.

Răspuns: $220$ lei, o scădere totală de $12\%$, nu de $20\%-10\%=10\%$. O reducere de $20\%$ urmată de o majorare de $25\%$ readuce însă prețul la valoarea inițială, deoarece $0,8\cdot 1,25=1$.

Procentul, fracția ordinară și numărul zecimal sunt trei scrieri ale aceluiași număr: $35\%=\frac{35}{100}=\frac{7}{20}=0,35$. Pentru a trece de la zecimal la procent, înmulțești cu $100$ și scrii semnul $\%$: $0,085=8,5\%$. Procentele pot depăși $100\%$ (o valoare de $150\%$ din inițială înseamnă una și jumătate din ea) și pot fi sub $1\%$.

Exemplu rezolvat. Un elev a răspuns corect la $34$ din cele $40$ de întrebări ale unui test. Ce procent din test a rezolvat corect, iar dacă pragul de promovare este $60\%$, câte răspunsuri corecte erau necesare?

1. Procentul obținut este $\frac{34}{40}\cdot 100=85\%$.
2. Pragul de $60\%$ din $40$ de întrebări este $40\cdot 60/100=24$ de răspunsuri corecte.
3. Elevul a depășit pragul cu $34-24=10$ răspunsuri.

Exemplu rezolvat. După o majorare de $19\%$ (TVA), un produs costă $238$ lei. Care era prețul fără TVA?

1. Prețul cu TVA este $119\%$ din prețul inițial $V$: $1,19\cdot V=238$.
2. Rezultă $V=238:1,19=200$ lei.

Verificare: $200\cdot 1,19=238$.

Procente intuitive de tipărit

Două fișe despre procente intuitive, pentru lucru după lecție. Fiecare fișă are șase sarcini scurte din lecție și o cheie cu răspunsurile.

• 

  Procente din sută

  Deschide fișa
• 

  Află procentul dintr-un număr

  Deschide fișa

Greșeli frecvente

• Greșit: de la $40\%$ la $50\%$ este o creștere relativă de $10\%$.
  Corect: sunt $10$ puncte procentuale și o creștere relativă de $25\%$.
• Greșit: dacă $20$ de elevi reprezintă $1/4$ din clasă, clasa are $20/4=5$ elevi.
  Corect: întregul este $20/(25/100)=80$ de elevi.
• Greșit: o reducere de $10\%$ urmată de una de $20\%$ înseamnă o reducere totală de $30\%$.
  Corect: a doua reducere se aplică prețului deja redus; pentru $500$ lei se obțin $500\cdot 0,9\cdot 0,8=360$ lei, adică o reducere de $28\%$.
• Greșit: $50\%$ din $20$ este $50\cdot 20=1000$.
  Corect: procentul se împarte la $100$, deci $20\cdot 50/100=10$.

Înainte și după

Întrebări frecvente