Teorema sinusurilor și teorema cosinusului

În triunghiul $ABC$, laturile opuse vârfurilor $A$, $B$, $C$ au lungimile $a$, $b$, $c$, iar $A$, $B$, $C$ notează și măsurile unghiurilor. Atunci:

• teorema sinusurilor: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, unde $R$ este raza cercului circumscris;
• teorema cosinusului: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, și analoagele $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$, $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.

Prima teoremă se folosește când se cunoaște o pereche latură–unghi opus, a doua când se cunosc două laturi și unghiul dintre ele sau toate cele trei laturi.

Exemplu rezolvat. Dacă $b=5$ cm, $c=8$ cm și $A=60^{\circ }$, găsim $a$.

1. Aplicăm teorema cosinusului: $a^2=5^2+8^2-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }$.
2. Cum $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, obținem $a^2=25+64-40=49$ cm${}^2$.
3. Lungimea pozitivă este $a=7$ cm.

Teorema cosinusului. Se așază $A$ în origine și $B$ în $(c;0)$; atunci $C$ are coordonatele $(b\cos A;b\sin A)$. Formula distanței dă $a^2=(b\cos A-c{)}^2+b^2{\sin }^{2}A=b^2+c^2-2bc\cos A$. Pentru $A=90^{\circ }$ se obține teorema lui Pitagora. Dacă $A$ este ascuțit, $a^2<b^2+c^2$, iar dacă $A$ este obtuz, $a^2>b^2+c^2$. Din teoremă rezultă $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.

Teorema sinusurilor. Fie $B{A}^{\prime }$ un diametru al cercului circumscris. Triunghiul $BC{A}^{\prime }$ este dreptunghic în $C$, deci $\sin A^{\prime }=\frac{a}{2R}$. Unghiul $A^{\prime }$ este egal cu $A$ sau suplementar lui $A$ (unghiuri înscrise care subîntind aceeași coardă $BC$), iar sinusurile lor coincid, deci $\sin A=\frac{a}{2R}$. Dacă $A^{\prime }$ coincide cu $C$, atunci $BC$ este diametru, $a=2R$ și $A=90^{\circ }$, iar egalitatea rămâne adevărată. La fel se obțin $\sin B=\frac{b}{2R}$ și $\sin C=\frac{c}{2R}$.

Rezolvarea triunghiului. Se află toate laturile și unghiurile, cu $A+B+C=180^{\circ }$, în patru situații:

1. o latură și două unghiuri: al treilea unghi din suma de $180^{\circ }$, apoi teorema sinusurilor;
2. două laturi și unghiul dintre ele: teorema cosinusului pentru a treia latură, apoi pentru un unghi;
3. trei laturi, care verifică inegalitățile triunghiului: teorema cosinusului pentru unghiuri;
4. două laturi și unghiul opus uneia dintre ele: teorema sinusurilor, cu discuție.

La situația 4 se dau $a$, $b$ și $A$, iar $\sin B=\frac{b\sin A}{a}$. Dacă $A$ este ascuțit: pentru $a<b\sin A$ nu există triunghi, pentru $a=b\sin A$ există un singur triunghi, dreptunghic în $B$, pentru $b\sin A<a<b$ există două triunghiuri (cu $B$ ascuțit sau obtuz), iar pentru $a\ge b$ există unul singur. Dacă $A$ este drept sau obtuz, există un singur triunghi pentru $a>b$ și niciunul pentru $a\le b$.

Exemplu rezolvat. Triunghiul are $a=6$, $A=30^{\circ }$ și $B=45^{\circ }$. Aflăm $C$, $b$ și $c$.

1. $C=180^{\circ }-30^{\circ }-45^{\circ }=105^{\circ }$.
2. $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=6\sqrt{2}$.
3. $c=\frac{a\sin C}{\sin A}=12\sin 105^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=3(\sqrt{6}+\sqrt{2})\approx 11,6$.
4. Raza cercului circumscris este $R=\frac{a}{2\sin A}=6$.

Exemplu rezolvat. Triunghiul are laturile $a=7$, $b=8$, $c=9$. Aflăm unghiurile.

1. Inegalitățile triunghiului sunt verificate: cea mai mare latură este $9<7+8$.
2. $\cos A=\frac{64+81-49}{2\cdot 8\cdot 9}=\frac{2}{3}$, $\cos B=\frac{49+81-64}{2\cdot 7\cdot 9}=\frac{11}{21}$ și $\cos C=\frac{49+64-81}{2\cdot 7\cdot 8}=\frac{2}{7}$.
3. Rezultă $A\approx 48,2^{\circ }$, $B\approx 58,4^{\circ }$ și $C\approx 73,4^{\circ }$, cu suma $180^{\circ }$. Toate cosinusurile sunt pozitive, deci triunghiul are toate unghiurile ascuțite; cel mai mare unghi este opus celei mai mari laturi.

Exemplu rezolvat. Triunghiul are $a=5$, $b=8$ și $A=30^{\circ }$. Discutăm numărul de soluții.

1. $b\sin A=4<5<8=b$, deci există două triunghiuri.
2. $\sin B=\frac{8\cdot \frac{1}{2}}{5}=\frac{4}{5}$, deci $B\approx 53,1^{\circ }$ sau $B\approx 126,9^{\circ }$.
3. Pentru $B\approx 53,1^{\circ }$ obținem $C\approx 96,9^{\circ }$ și $c=\frac{5\sin C}{\sin A}\approx 9,93$; pentru $B\approx 126,9^{\circ }$ obținem $C\approx 23,1^{\circ }$ și $c\approx 3,93$.
4. Control cu teorema cosinusului: $25=64+c^2-2\cdot 8\cdot c\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$, adică $c^2-8\sqrt{3}c+39=0$, cu rădăcinile $c=4\sqrt{3}+3\approx 9,93$ și $c=4\sqrt{3}-3\approx 3,93$, ambele pozitive.

Exemplu rezolvat. Două puncte $A$ și $B$ de pe malurile opuse ale unui lac nu se pot uni direct. Dintr-un punct $C$ de pe mal se măsoară $CA=120$ m, $CB=150$ m și $\angle ACB=60^{\circ }$. Aflăm distanța $AB$.

1. Unghiul $C$ este cuprins între laturile $CA$ și $CB$, deci aplicăm teorema cosinusului: $A{B}^2=120^2+150^2-2\cdot 120\cdot 150\cdot \cos 60^{\circ }$.
2. $A{B}^2=14400+22500-18000=18900$, deci $AB=\sqrt{18900}=30\sqrt{21}\approx 137,5$ m.

Greșeli frecvente

• Greșit: în teorema sinusurilor se asociază o latură cu un unghi alăturat.
  Corect: fiecare latură se asociază cu unghiul opus.
• Greșit: termenul $-2bc\cos A$ se omite la orice triunghi.
  Corect: dispare doar dacă $A=90^{\circ }$.
• Greșit: o valoare a sinusului determină mereu un singur unghi din triunghi.
  Corect: cazul ambiguu poate oferi două unghiuri suplimentare, $B$ și $180^{\circ }-B$, și fiecare se verifică prin suma unghiurilor.
• Greșit: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos B$.
  Corect: unghiul din termenul cu cosinus este cel cuprins între laturile $b$ și $c$, adică $A$, opus laturii $a$ din membrul stâng.
• Greșit: dacă $\cos A<0$, formula $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ nu poate fi aplicată.
  Corect: cosinusul negativ arată un unghi obtuz; formula rămâne valabilă și dă $a^2>b^2+c^2$.

Înainte și după

Întrebări frecvente