Rădăcinile polinoamelor

Numărul $a$ este rădăcină a polinomului $P$ dacă $P(a)=0$. Atunci $X-a$ divide $P$ (teorema lui Bézout), deci rădăcinile se află factorizând polinomul. Rădăcinile pot avea multiplicitate: dacă $(X-a{)}^k$ divide $P$, dar $(X-a{)}^{k+1}$ nu, multiplicitatea este $k$. Un polinom nenul de grad $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte.

Exemplu rezolvat. Pentru $P(X)=X^2-5X+6$:

1. Căutăm două numere cu suma $5$ și produsul $6$: $2$ și $3$.
2. Factorizăm $P(X)=(X-2)(X-3)$.
3. Rădăcinile sunt $2$ și $3$, fiecare simplă.

Teorema lui Bézout leagă evaluarea de divizibilitate: $P(a)=0$ dacă și numai dacă $X-a$ divide polinomul. Multiplicitatea unei rădăcini este numărul de factori identici care pot fi scoși succesiv. Un polinom nenul de grad $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte, deoarece fiecare rădăcină aduce un factor $X-a$ și gradele se adună; peste numerele complexe, are exact $n$ rădăcini numărate cu multiplicitate. Pentru coeficienți reali, orice rădăcină complexă nereală apare împreună cu conjugata sa, cu aceeași multiplicitate; de aceea un polinom real de grad impar are cel puțin o rădăcină reală. Numărul rădăcinilor distincte poate fi deci mai mic decât gradul polinomului. Dacă $x_1;\dots ;x_n$ sunt rădăcinile complexe, numărate cu multiplicitate, ale lui $P=a_n{X}^n+\cdots +a_0$, atunci $P=a_n(X-x_1)\cdots (X-x_n)$; legătura dintre rădăcini și coeficienți este tema lecției Relațiile lui Viète. Pentru coeficienți raționali, dacă $a+b\sqrt{d}$ cu $a,b\in \mathbb{Q}$ și $d>0$ nepătrat perfect este rădăcină, atunci și $a-b\sqrt{d}$ este rădăcină. De exemplu, polinomul $X^2-2X-1$ are rădăcinile $1+\sqrt{2}$ și $1-\sqrt{2}$. În clasa a XI-a se arată, cu ajutorul derivatei, că $a$ este rădăcină cel puțin dublă dacă și numai dacă $P(a)=0$ și $P^{\prime }(a)=0$; în acest capitol multiplicitatea se află prin împărțiri repetate.

Dacă $P$ are coeficienți întregi, orice rădăcină întreagă $a$ divide termenul liber: din $a_n{a}^n+\cdots +a_{1}a+a_0=0$ rezultă $a\mid a_0$. Candidații se caută printre divizorii lui $a_0$ (cu ambele semne) și se verifică prin Horner sau prin evaluare directă; după fiecare rădăcină găsită se continuă cu câtul, care are gradul mai mic cu $1$ și mai puțini candidați. Peste ${\mathbb{Z}}_p$, singurii candidați sunt clasele $0;1;\dots ;p-1$, deci verificarea este finită. De pildă, în ${\mathbb{Z}}_3$ polinomul $X^3-X$ are rădăcinile $0$, $1$ și $2$, pentru că $2^3-2=6=0$; el se descompune $X(X-1)(X-2)$ și are gradul $3$, deci nu are mai multe rădăcini decât gradul. Totuși funcția polinomială asociată este identic nulă, deși polinomul nu este nul.

Exemplu rezolvat. Studiem rădăcinile lui $P(X)=X^3-3X+2$.

1. Evaluăm $P(1)=1-3+2=0$, deci scoatem factorul $X-1$.
2. Împărțirea dă $P(X)=(X-1)(X^2+X-2)$.
3. Factorul pătratic se descompune: $X^2+X-2=(X-1)(X+2)$.
4. Rădăcinile sunt $1$, de multiplicitate $2$, și $-2$, simplă. Avem $\mathrm{deg}P=3=2+1$, dar numai $2$ rădăcini distincte.

Exemplu rezolvat. Aflăm multiplicitatea rădăcinii $2$ pentru $P(X)=X^4-5X^3+6X^2+4X-8$.

1. Horner cu $a=2$ pe coeficienții $1;-5;6;4;-8$ dă $1;-3;0;4;0$. Restul este $0$, deci $2$ este rădăcină, iar câtul are coeficienții $1;-3;0;4$.
2. Horner cu $a=2$ pe $1;-3;0;4$ dă $1;-1;-2;0$, deci $2$ este din nou rădăcină.
3. Horner cu $a=2$ pe $1;-1;-2$ dă $1;1;0$, deci $2$ este rădăcină și a treia oară, iar câtul este $X+1$.
4. Pentru $X+1$ nu mai putem scoate $X-2$: $2+1=3\ne 0$. Prin urmare $P=(X-2{)}^3(X+1)$, rădăcina $2$ are multiplicitatea $3$, iar $-1$ este simplă. Cele patru rădăcini, numărate cu multiplicitate, sunt $2;2;2;-1$.

Subiectele cer fie rădăcini cu multiplicități, fie parametri care fac o valoare rădăcină dublă. Pentru o rădăcină dublă $r$, se scrie polinomul cu factorul $(X-r{)}^2$ și se compară coeficienții, fără derivată.

Problemă. Polinomul $P(X)=X^3+aX+b$ are rădăcina $2$ cel puțin dublă. Valoarea lui $a+b$ este:

• a) $28$
• b) $-28$
• c) $-4$
• d) $4$
• e) $16$
• f) $-12$

Rezolvare. Polinomul nu are termen în $X^2$, deci suma rădăcinilor este $0$. Notăm a treia rădăcină cu $c$ și scriem $P=(X-2{)}^2(X-c)=X^3-(c+4)X^2+(4c+4)X-4c$. Coeficientul lui $X^2$ este nul, deci $c=-4$. Atunci $a=4c+4=-12$ și $b=-4c=16$, iar $a+b=4$. Răspunsul corect este d). Verificarea: $X^3-12X+16=(X-2{)}^2(X+4)$. Varianta a) ia $a=12$ în loc de $-12$. Varianta b) schimbă semnul ambilor coeficienți. Varianta c) folosește $a=12$ și $b=-16$. Varianta e) este numai $b$, iar f) este numai $a$.

Alt exemplu. Polinomul $(X^2-1{)}^2(X-1)=(X-1{)}^3(X+1{)}^2$ are gradul $5$, cinci rădăcini cu multiplicitate și numai două rădăcini distincte: $1$, de multiplicitate $3$, și $-1$, de multiplicitate $2$.

Alt exemplu. Un polinom cu coeficienți reali de gradul $3$ are rădăcinile $1$ și $2+i$. Conjugata $2-i$ este și ea rădăcină, iar cele trei rădăcini epuizează gradul. Polinomul este, până la un factor constant, $(X-1)(X^2-4X+5)$, pentru că $(X-2-i)(X-2+i)=(X-2{)}^2+1$.

Alt exemplu. Aflăm rădăcinile întregi ale lui $X^3-3X^2-4X+12$. Divizorii lui $12$ sunt candidații. Calculăm $P(2)=8-12-8+12=0$, $P(3)=27-27-12+12=0$ și $P(-2)=-8-12+8+12=0$. Trei rădăcini întregi pentru un polinom de grad $3$ înseamnă că le-am găsit pe toate: $2;3;-2$.

Greșeli frecvente

• Greșit: polinomul $(X-1{)}^3$ are $3$ rădăcini distincte.
  Corect: are rădăcina $1$, cu multiplicitate $3$.
• Greșit: dacă $-2$ este rădăcină, factorul este $X-2$.
  Corect: factorul este $X-(-2)=X+2$.
• Greșit: un polinom real de grad $4$ are patru rădăcini reale.
  Corect: are patru rădăcini complexe, numărate cu multiplicitate; $X^4+1$ nu are nicio rădăcină reală.
• Greșit: dacă $P(1)=0$ și $P(2)=0$, atunci $(X-1{)}^2$ divide $P$.
  Corect: rădăcinile $1$ și $2$ sunt distincte, deci $(X-1)(X-2)\mid P$; pentru $(X-1{)}^2$ trebuie ca și câtul prin $X-1$ să se anuleze în $1$.

Înainte și după