Ecuații logaritmice

O ecuație logaritmică are necunoscuta în argumentul ori în baza unui logaritm. Expresia ${\log }_{a}f(x)$ există numai dacă $a>0$, $a\ne 1$ și $f(x)>0$. Aceste condiții formează domeniul ecuației și se scriu înaintea oricărei transformări. Apoi ecuația se aduce la una dintre formele ${\log }_{a}f(x)=c$, care dă $f(x)=a^c$, sau ${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x)$, care dă $f(x)=g(x)$. Din valorile obținute sunt soluții numai cele care aparțin domeniului.

Exemplu rezolvat. Rezolvă ${\log }_2(x-1)=3$.

1. Impunem $x-1>0$, adică $x>1$.
2. Transformăm: $x-1=2^3=8$.
3. Obținem $x=9$.
4. Verificăm că $9>1$ și ${\log }_{2}8=3$.

Ecuațiile logaritmice din programă se rezolvă în patru pași:

1. se scriu condițiile de existență pentru toate bazele și pentru toate argumentele;
2. se aduc logaritmii la aceeași bază și se folosesc proprietățile, până când ecuația ia o formă cunoscută;
3. se rezolvă ecuația obținută, care nu mai conține logaritmi;
4. se compară fiecare valoare găsită cu domeniul și se păstrează numai valorile care îl respectă.

Proprietățile logaritmilor se enunță pentru $a>0$, $a\ne 1$ și $u,v>0$: ${\log }_a(uv)={\log }_{a}u+{\log }_{a}v$, ${\log }_a\frac{u}{v}={\log }_{a}u-{\log }_{a}v$, ${\log }_a{u}^n=n{\log }_{a}u$. Se mai folosesc ${\log }_{a}a=1$, ${\log }_{a}1=0$ și $a^{{\log }_{a}b}=b$, pentru $b>0$. Condiția $u,v>0$ contează. Expresia ${\log }_2[(x-3)(x+1)]$ există și pentru $x<-1$, dar suma ${\log }_2(x-3)+{\log }_2(x+1)$ nu există acolo. Trecerea de la sumă la produs lărgește domeniul, așa că soluțiile se verifică în ecuația inițială. Pentru exponent par, ${\log }_a{x}^2=2{\log }_a|x|$, nu $2{\log }_{a}x$. Schimbarea bazei este ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$, cu $a,c>0$ diferite de $1$ și $b>0$.

Exemplu rezolvat. Rezolvă ${\log }_3(x-1)+{\log }_3(x-2)=1$.

1. Domeniul: $x-1>0$ și $x-2>0$, deci $x>2$.
2. Unim logaritmii: ${\log }_3[(x-1)(x-2)]=1$, deci $(x-1)(x-2)=3$.
3. Ecuația $x^2-3x-1=0$ are rădăcinile $x=\frac{3\pm \sqrt{13}}{2}$.
4. Cum $\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx 3,30>2$, iar $\frac{3-\sqrt{13}}{2}\approx -0,30<2$, singura soluție este $\frac{3+\sqrt{13}}{2}$.

Egalarea argumentelor este permisă fiindcă funcția ${\log }_{a}x$ este injectivă: pentru $u,v>0$, din ${\log }_{a}u={\log }_{a}v$ rezultă $u=v$. Exemplu rezolvat. Rezolvă ${\log }_2(x+3)-{\log }_2(x-1)=2$.

1. Domeniul: $x+3>0$ și $x-1>0$, deci $x>1$.
2. Diferența devine cât: ${\log }_2\frac{x+3}{x-1}=2$, adică $\frac{x+3}{x-1}=2^2=4$.
3. Înmulțim cu $x-1$, care este pozitiv: $x+3=4x-4$, deci $3x=7$ și $x=\frac{7}{3}$.
4. Cum $\frac{7}{3}>1$, valoarea este soluție. Verificare: argumentele sunt $\frac{16}{3}$ și $\frac{4}{3}$, iar ${\log }_2\frac{16}{3}-{\log }_2\frac{4}{3}={\log }_{2}4=2$.

Logaritmul zecimal se notează $\lg x={\log }_{10}x$. Exemplu rezolvat. Rezolvă $\lg (x+1)+\lg (x-2)=1$.

1. Domeniul: $x+1>0$ și $x-2>0$, deci $x>2$.
2. Suma devine produs: $\lg [(x+1)(x-2)]=1$, deci $(x+1)(x-2)=10^1=10$.
3. Rezultă $x^2-x-12=(x-4)(x+3)=0$, adică $x=4$ sau $x=-3$.
4. Valoarea $-3$ nu respectă $x>2$, deci $x=4$. Verificare: $\lg 5+\lg 2=\lg 10=1$.

Când ecuația conține puterile aceluiași logaritm, se notează $t={\log }_{a}x$. Exemplu rezolvat. Rezolvă $({\log }_{2}x{)}^2-3{\log }_{2}x+2=0$. Domeniul este $x>0$. Cu $t={\log }_{2}x$ obținem $t^2-3t+2=(t-1)(t-2)=0$, deci $t=1$ sau $t=2$. Revenim: $x=2^1=2$ sau $x=2^2=4$. Ambele valori sunt pozitive, deci ambele sunt soluții.

Logaritmii cu baze diferite se aduc la aceeași bază. Exemplu rezolvat. Rezolvă ${\log }_{4}x+{\log }_{2}x=3$. Domeniul este $x>0$. Deoarece ${\log }_{4}x=\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}4}=\frac{1}{2}{\log }_{2}x$, ecuația devine $\frac{3}{2}{\log }_{2}x=3$, adică ${\log }_{2}x=2$ și $x=4$. Verificare: ${\log }_{4}4+{\log }_{2}4=1+2=3$.

Dacă baza depinde de necunoscută, se adaugă condițiile $b(x)>0$ și $b(x)\ne 1$. Exemplu rezolvat. Rezolvă ${\log }_x(2x+3)=2$. Domeniul: $x>0$, $x\ne 1$, $2x+3>0$. Din definiția logaritmului, $x^2=2x+3$, adică $(x-3)(x+1)=0$. Valoarea $x=-1$ nu respectă $x>0$, deci $x=3$. Verificare: ${\log }_{3}9=2$.

Domeniul poate decide singur numărul soluțiilor. Exemplu rezolvat. Rezolvă ${\log }_2(x+1)={\log }_2(3-x)$.

1. Argumentele trebuie să fie pozitive: $x>-1$ și $x<3$, deci $x\in (-1;3)$.
2. Din injectivitate, $x+1=3-x$, adică $x=1$.
3. Valoarea $1$ aparține intervalului $(-1;3)$ și dă ${\log }_{2}2$ în ambii membri.

În schimb, ecuația ${\log }_2(x-3)={\log }_2(3-x)$ nu are nicio soluție reală: condițiile $x>3$ și $x<3$ nu pot fi îndeplinite în același timp, deci domeniul este mulțimea vidă, iar egalitatea argumentelor nu mai contează.

La o grilă cu șase variante, fiecare variantă greșită corespunde unei greșeli tipice: domeniul uitat, o proprietate aplicată greșit sau o soluție străină păstrată. Problema se rezolvă la fel ca la clasă: domeniu, transformare, verificare.

Problemă. Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației ${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3$ este:

• a) $\{-2;4\}$
• b) $\{4\}$
• c) $\{-2\}$
• d) $\{5\}$
• e) $\{3\}$
• f) $\varnothing$

Rezolvare. Domeniul este $x>0$ și $x-2>0$, deci $x>2$. Ecuația devine ${\log }_2[x(x-2)]=3$, adică $x(x-2)=2^3=8$. Din $x^2-2x-8=(x-4)(x+2)=0$ rezultă $x=4$ sau $x=-2$. Doar $4>2$ este în domeniu. Verificare: ${\log }_{2}4+{\log }_{2}2=2+1=3$. Răspunsul corect este b).

Celelalte variante au o cauză precisă. Varianta a) păstrează ambele rădăcini, deși $-2$ nu este în domeniu. Varianta c) reține tocmai rădăcina străină. Varianta d) apare dacă se scrie greșit ${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)={\log }_2(x+x-2)$, de unde $2x-2=8$. Varianta e) apare dacă se egalează produsul cu $3$ în loc de $2^3$, adică $x(x-2)=3$, cu rădăcinile $3$ și $-1$, din care doar $3$ este în domeniu.

Alt exemplu. Comparăm ${\log }_2(x^2-3x)=2$ cu ${\log }_{2}x+{\log }_2(x-3)=2$. Ambele duc la $x^2-3x=4$, adică $x=4$ sau $x=-1$. În prima ecuație domeniul este $x^2-3x>0$, adică $x<0$ sau $x>3$: ambele valori sunt soluții, deoarece $(-1{)}^2-3\cdot (-1)=4>0$. În a doua, domeniul $x>3$ elimină valoarea $-1$, deci singura soluție este $x=4$. Aceeași ecuație algebrică duce la rezultate diferite, după domeniu.

La grilă, verificarea prin înlocuire este rapidă când variantele sunt numere. Pentru $x=5$ din varianta d), ${\log }_{2}5+{\log }_{2}3={\log }_{2}15\approx 3,91$, nu $3$. Pentru $x=3$ din varianta e), ${\log }_{2}3+{\log }_{2}1={\log }_{2}3\approx 1,58$, nu $3$. Pentru $x=-2$, logaritmul ${\log }_2(-2)$ nu există. Rămâne $x=4$, pentru care suma este exact $2+1=3$.

Greșeli frecvente

• Greșit: după ce se egalează argumentele, se păstrează toate rădăcinile ecuației obținute.
  Corect: domeniul se stabilește întâi și fiecare rădăcină se verifică în el.
• Greșit: baza $1$ este admisă, de exemplu ${\log }_{1}5$.
  Corect: logaritmul cere bază pozitivă și diferită de $1$.
• Greșit: ${\log }_a(u+v)={\log }_{a}u+{\log }_{a}v$.
  Corect: proprietatea de sumă se aplică logaritmului produsului, nu al sumei.
• Greșit: ${\log }_2{x}^2=2{\log }_{2}x$, deci din ${\log }_2{x}^2=2$ rezultă numai $x=2$.
  Corect: ${\log }_2{x}^2=2{\log }_2|x|$, iar ecuația are soluțiile $x=2$ și $x=-2$.
• Greșit: din ${\log }_2(x-1)=3$ rezultă $x-1=3^2$.
  Corect: $x-1=2^3=8$, adică baza se ridică la valoarea logaritmului.

Înainte și după