Sisteme liniare și regula lui Cramer

Un sistem liniar poate fi scris $AX=B$, cu $A$ matricea coeficienților, $X$ coloana necunoscutelor și $B$ coloana termenilor liberi. Un sistem cu tot atâtea ecuații câte necunoscute, la care $\Delta =\det A\ne 0$, se numește sistem de tip Cramer și are soluție unică. Regula lui Cramer dă fiecare necunoscută ca raport ${\Delta }_i/\Delta$, unde ${\Delta }_i$ este determinantul obținut înlocuind coloana necunoscutei cu coloana termenilor liberi.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm $x+y=3$, $x-y=1$.

1. $\Delta =\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right|=-2$.
2. ${\Delta }_x=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& -1\end{array}\right|=-4$, ${\Delta }_y=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 1\end{array}\right|=-2$.
3. $x={\Delta }_x/\Delta =2$, $y={\Delta }_y/\Delta =1$; verificarea dă $3$ și $1$.

Justificarea formulei folosește liniaritatea determinantului într-o coloană. Din $AX=B$, coloana termenilor liberi este suma coloanelor lui $A$ înmulțite cu necunoscutele. În determinantul ${\Delta }_i$, înlocuirea cu această sumă produce termeni cu coloane identice, care sunt nuli; rămâne ${\Delta }_i=x_i\Delta$. Împărțirea este permisă pentru $\Delta \ne 0$. Același rezultat iese din $X=A^{-1}B$: pentru sistemul $x+y=3$, $x-y=1$, matricea $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$ are inversa $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$, iar $X=A^{-1}\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$, adică $x=2$, $y=1$.

Un sistem cu două necunoscute descrie două drepte din plan. Dacă $\Delta \ne 0$, dreptele se taie într-un singur punct, cu coordonatele $(x;y)=({\Delta }_x/\Delta ;{\Delta }_y/\Delta )$. Dacă $\Delta =0$ și fiecare ecuație are cel puțin un coeficient nenul, dreptele sunt paralele (sistem incompatibil) sau coincid (infinit de multe soluții). Pentru trei necunoscute, ecuațiile sunt plane, iar $\Delta \ne 0$ înseamnă că cele trei plane au un singur punct comun.

Pentru $n$ necunoscute, regula cere $n+1$ determinanți de ordin $n$; la ordinul $3$ sunt patru, iar de la ordinul $4$ în sus eliminarea lui Gauss este mai scurtă. Dacă se cere doar o necunoscută, se calculează numai $\Delta$ și ${\Delta }_i$ corespunzător.

Dacă $\Delta =0$, regula nu se aplică; compatibilitatea se decide cu rangurile sau prin eliminare, fără rapoarte de forma $0/0$. Un sistem omogen admite întotdeauna soluția nulă; dacă $\Delta \ne 0$, aceasta este singura, iar dacă $\Delta =0$ există și soluții nenule. La parametri, valorile care anulează determinantul constituie cazuri separate, care pot avea alt număr de soluții.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm $2x-y=1$, $x+3y=9$.

1. Determinantul principal este $\Delta =2\cdot 3-(-1)\cdot 1=7$.
2. Înlocuind coloana lui $x$, obținem ${\Delta }_x=1\cdot 3-(-1)\cdot 9=12$.
3. Înlocuind coloana lui $y$, obținem ${\Delta }_y=2\cdot 9-1\cdot 1=17$.
4. Rezultă $x=12/7$, $y=17/7$. Verificările sunt $(24-17)/7=1$ și $(12+51)/7=9$.

Exemplu rezolvat (trei necunoscute). Rezolvăm $x+y+z=4$, $2x-y+z=1$, $x+2y-z=4$.

1. $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\right|=7\ne 0$, deci regula se aplică.
2. ${\Delta }_x=\left|\begin{array}{ccc}4& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 4& 2& -1\end{array}\right|=7$, ${\Delta }_y=\left|\begin{array}{ccc}1& 4& 1\\ 2& 1& 1\\ 1& 4& -1\end{array}\right|=14$, ${\Delta }_z=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 4\\ 2& -1& 1\\ 1& 2& 4\end{array}\right|=7$.
3. $x=7/7=1$, $y=14/7=2$, $z=7/7=1$. În a doua ecuație: $2-2+1=1$.

Exemplu rezolvat (problemă cu text). Trei caiete și două pixuri costă $19$ lei, iar două caiete și cinci pixuri costă $20$ lei. Notăm cu $c$ prețul unui caiet și cu $p$ prețul unui pix: $3c+2p=19$, $2c+5p=20$. Atunci $\Delta =15-4=11$, ${\Delta }_c=19\cdot 5-2\cdot 20=55$ și ${\Delta }_p=3\cdot 20-19\cdot 2=22$. Rezultă $c=5$ lei și $p=2$ lei; verificare: $15+4=19$ și $10+10=20$.

Exemplu rezolvat (cazul $\Delta =0$). Sistemul $x+y+z=6$, $x-y+z=2$, $2x+2z=8$ are $\Delta =0$, fiindcă a treia ecuație este suma primelor două.

1. Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right|=-2$ este nenul; luăm $x$ și $y$ drept necunoscute principale, iar $z=t$ drept parametru. Primele două ecuații formează un sistem de tip Cramer în $x$ și $y$: $x+y=6-t$, $x-y=2-t$.
2. $\Delta =-2$, ${\Delta }_x=(6-t)(-1)-(2-t)=2t-8$ și ${\Delta }_y=(2-t)-(6-t)=-4$.
3. Rezultă $x=4-t$ și $y=2$. Soluțiile sunt $(4-t;2;t)$, cu $t\in \mathbb{R}$; a treia ecuație se verifică: $2(4-t)+2t=8$.

Sistem cu parametru. Discutăm $mx+y+z=1$, $x+my+z=1$, $x+y+mz=1$. Determinantul sistemului este $\Delta =(m-1{)}^2(m+2)$.

• Pentru $m\notin \{-2;1\}$, sistemul este de tip Cramer și are soluția unică $x=y=z=\frac{1}{m+2}$.
• Pentru $m=1$, cele trei ecuații coincid cu $x+y+z=1$: infinit de multe soluții.
• Pentru $m=-2$, adunând cele trei ecuații obținem $0=3$: sistemul este incompatibil.

Un sistem omogen cu tot atâtea ecuații câte necunoscute are soluții nenule dacă și numai dacă determinantul său este $0$.

Problemă. Sistemul $x+y+z=0$, $x+2y+3z=0$, $2x+3y+mz=0$ admite și soluții nenule dacă și numai dacă:

• a) $m=-4$
• b) $m=2$
• c) $m=\frac{9}{2}$
• d) $m=4$
• e) $m=6$
• f) $m=\frac{16}{3}$

Rezolvare. Determinantul sistemului este $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 2& 3& m\end{array}\right|=(2m-9)-(m-6)+(3-4)=m-4$. Soluții nenule există dacă și numai dacă acest determinant este $0$, deci $m=4$. Răspunsul corect este d). Verificare: la $m=4$ a treia ecuație este suma primelor două, iar $(1;-2;1)$ este soluție. Varianta a) rezolvă $m-4=0$ cu semnul schimbat. Varianta b) schimbă semnul ultimului termen al dezvoltării, obținând $m-2$. Varianta c) anulează doar primul minor, $2m-9$. Varianta e) anulează doar al doilea minor, $m-6$. Varianta f) schimbă semnul celui de-al doilea termen al dezvoltării, obținând $3m-16$.

Alt exemplu. Sistemul $ax+2y=4$, $x+ay=3$ are soluție unică dacă și numai dacă $\Delta =a^2-2\ne 0$, adică $a\notin \{-\sqrt{2};\sqrt{2}\}$. La grilă, dacă enunțul cere doar valorile parametrului, calculul se oprește la $\Delta$.

Alt exemplu. Sistemul $x+2y=m$, $2x+4y=6$ are $\Delta =0$. A doua ecuație este dublul primeia dacă și numai dacă $m=3$; atunci sunt infinit de multe soluții, iar pentru $m\ne 3$ sistemul este incompatibil.

Alt exemplu. Discutăm $x+y=2$, $x+ty=3$. Determinantul este $t-1$. Pentru $t\ne 1$, scăderea primei ecuații din a doua dă $y=1/(t-1)$, apoi $x=(2t-3)/(t-1)$. Pentru $t=1$, scăderea ecuațiilor dă $0=1$, deci sistemul este incompatibil.

Greșeli frecvente

• Greșit: pentru ${\Delta }_x$ se înlocuiește prima linie.
  Corect: se înlocuiește prima coloană, care conține coeficienții lui $x$.
• Greșit: se admite $t=1$ în formula $y=1/(t-1)$.
  Corect: cazul se rezolvă separat și nu are soluții.
• Greșit: $x=\Delta /{\Delta }_x$.
  Corect: $x={\Delta }_x/\Delta$, iar împărțitorul este determinantul sistemului, $\Delta$.
• Greșit: dacă $\Delta =0$, sistemul nu are soluții.
  Corect: $x+y=2$, $2x+2y=4$ are $\Delta =0$ și infinit de multe soluții, iar $x+y=2$, $2x+2y=5$ are $\Delta =0$ și nu are nicio soluție.
• Greșit: regula lui Cramer rezolvă sistemul $x+y+z=3$, $x-y+z=1$ cu două ecuații și trei necunoscute.
  Corect: matricea coeficienților nu este pătratică, deci $\Delta$ nu există; sistemul se rezolvă prin eliminare.

Înainte și după

Întrebări frecvente