Metode de integrare

Metodele de integrare transformă o integrală în alta mai ușor de calculat, atât pentru primitive, cât și pentru integrale definite. Substituția schimbă variabila; integrarea prin părți folosește $\int udv=uv-\int vdu$. Pentru funcții raționale, descompunerea în fracții simple reduce integrala la primitive din tabel.

Exemplu rezolvat. Calculăm $\int 2x\cos (x^2)dx$.

1. Alegem $u=x^2$, deci $du=2xdx$.
2. Integrala devine $\int \cos udu=\sin u+C$.
3. Revenim: $\sin (x^2)+C$.

Schimbarea de variabilă. Substituția folosește derivarea funcției compuse în sens invers. Dacă $\phi$ este derivabilă cu derivata continuă, $f$ este continuă pe un interval care conține valorile lui $\phi$ și $F$ este o primitivă a lui $f$, atunci $\int f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx=F(\phi (x))+C$. În practică notăm $t=\phi (x)$, deci $dt={\phi }^{\prime }(x)dx$, calculăm $\int f(t)dt$ și revenim la $x$. La integrala definită, capetele se schimbă și nu mai este nevoie să revenim la $x$:

Ca nouă variabilă se alege expresia a cărei derivată, până la un factor constant, apare deja în integrand. În ${\int }_1^e\frac{(\ln x{)}^2}{x}dx$ se alege $t=\ln x$, deoarece $dt=\frac{dx}{x}$; capetele devin $0$ și $1$, iar rezultatul este ${\int }_0^1{t}^{2}dt=\frac{1}{3}$. Substituția liniară $t=ax+b$, cu $a\ne 0$, dă $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$; de pildă, $\int \cos (3x+1)dx=\frac{1}{3}\sin (3x+1)+C$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\int }_0^{1}x\sqrt{x^2+3}dx$.

1. Punem $t=x^2+3$, deci $dt=2xdx$ și $xdx=\frac{dt}{2}$.
2. Capetele devin $t(0)=3$ și $t(1)=4$.
3. Integrala este $\frac{1}{2}{\int }_3^4\sqrt{t}dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}{\left[t^{3/2}\right]}_3^4=\frac{1}{3}\left(8-3\sqrt{3}\right)$.

Integrarea prin părți. Dacă $f$ și $g$ sunt derivabile cu derivate continue, atunci $\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$, iar pentru integrala definită ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }dx=[fg{]}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }gdx$. Alegerea lui $f$ decide dacă metoda ajută. Pentru $P(x)e^x$, $P(x)\sin x$, $P(x)\cos x$, cu $P$ polinom, se ia $f=P$, fiindcă gradul scade la fiecare derivare. O alegere inversă complică problema: la $\int x{e}^{x}dx$, cu $f=e^x$ și $g^{\prime }=x$, integrala rămasă este $\int \frac{x^2}{2}{e}^{x}dx$, cu gradul mărit. Pentru $P(x)\ln x$ se ia $f=\ln x$, iar $g^{\prime }=P$. La $e^x\sin x$ sau $e^x\cos x$ se aplică metoda de două ori și se ajunge la aceeași integrală: pentru $I=\int e^x\cos xdx$ obținem $I=e^x\cos x+e^x\sin x-I$, deci $I=\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}+C$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\int }_0^{1}x{e}^{2x}dx$.

1. Alegem $f(x)=x$ și $g^{\prime }(x)=e^{2x}$, deci $f^{\prime }(x)=1$ și $g(x)=\frac{e^{2x}}{2}$.
2. Formula dă ${\left[\frac{x{e}^{2x}}{2}\right]}_0^1-{\int }_0^1\frac{e^{2x}}{2}dx=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}$.
3. Rezultatul este $\frac{e^2+1}{4}$.

La fel, pentru $x>0$, $\int x\ln xdx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C$, iar derivata rezultatului este $x\ln x+\frac{x}{2}-\frac{x}{2}=x\ln x$.

Exemplu rezolvat. Calculăm $\int x^2{e}^{x}dx$, unde integrarea prin părți se aplică de două ori.

1. Cu $f=x^2$ și $g^{\prime }=e^x$ obținem $\int x^2{e}^{x}dx=x^2{e}^x-2\int x{e}^{x}dx$.
2. Pentru $\int x{e}^{x}dx$ alegem $f=x$ și $g^{\prime }=e^x$, deci $\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-e^x+C$.
3. Rezultatul este $e^x(x^2-2x+2)+C$. Derivata lui este $e^x(x^2-2x+2)+e^x(2x-2)=x^2{e}^x$.

Descompunerea în fracții simple. Pentru $\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx$, cu $\mathrm{grad}Q\le 4$, dacă $\mathrm{grad}P\ge \mathrm{grad}Q$ se face întâi împărțirea cu rest, $\frac{P}{Q}=C+\frac{R}{Q}$, cu $\mathrm{grad}R<\mathrm{grad}Q$. Apoi se descompune $Q$ în factori și fiecărui factor îi corespunde o fracție: lui $x-a$ îi corespunde $\frac{A}{x-a}$, lui $(x-a{)}^2$ îi corespund $\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a{)}^2}$, iar unui trinom $x^2+px+q$ cu $\Delta <0$ îi corespunde $\frac{Mx+N}{x^2+px+q}$. Descompunerea este valabilă pe intervale care nu conțin rădăcinile numitorului: pentru $x\notin \{0;-1\}$, $\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$, iar pe fiecare astfel de interval o primitivă este $\ln |x|-\ln |x+1|$. Coeficienții se află prin identificare sau înlocuind valori convenabile ale lui $x$. Dacă numitorul este un trinom cu $\Delta <0$ și numărătorul este constant, trinomul se aduce la forma canonică: $x^2+2x+5=(x+1{)}^2+2^2$, deci $\int \frac{dx}{x^2+2x+5}=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x+1}{2}+C$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\int }_1^2\frac{x+3}{x(x+1)}dx$.

1. Scriem $\frac{x+3}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}$, deci $x+3=A(x+1)+Bx$.
2. Pentru $x=0$ obținem $A=3$; pentru $x=-1$ obținem $2=-B$, deci $B=-2$.
3. Integrala este $[3\ln x-2\ln (x+1){]}_1^2=3\ln 2-2\ln 3+2\ln 2=5\ln 2-2\ln 3$.

La grilă, metodele se recunosc după forma integrandului: o funcție și derivata ei în același produs cer substituție, polinomul înmulțit cu $e^x$, $\sin x$ sau $\ln x$ cere părți, iar fracția cu numitor descompus cere fracții simple. Când rezultatul conține logaritmi, se verifică domeniul: argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv pe tot intervalul de integrare. La o integrală definită se verifică și semnul: dacă integrandul este pozitiv pe interval, valoarea trebuie să fie pozitivă, ceea ce elimină variantele negative.

Problemă. Valoarea integralei ${\int }_1^{e}x\ln xdx$ este:

• a) $\frac{e^2-1}{4}$
• b) $\frac{e^2}{2}$
• c) $\frac{e^2}{4}$
• d) $\frac{e^2+1}{4}$
• e) $\frac{3e^2-1}{4}$
• f) $\frac{e^2+1}{2}$

Rezolvare. Alegem $f=\ln x$ și $g^{\prime }=x$, deci $g=\frac{x^2}{2}$. Integrala este ${\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]}_1^e-{\int }_1^e\frac{x}{2}dx=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\frac{e^2+1}{4}$. Răspunsul corect este d). Variantele greșite au cauze precise: a) evaluează integrala rămasă ca $\frac{e^2+1}{4}$, adică adună valorile de la capete în loc să le scadă; b) uită integrala rămasă; c) uită valoarea din capătul $1$ al integralei rămase; e) folosește semnul plus în formula părților; f) ia $g=x^2$ în loc de $\frac{x^2}{2}$.

Alt exemplu. Integrala ${\int }_0^1\frac{2x}{1+x^2}dx$ se calculează cu $t=1+x^2$, deci $dt=2xdx$. Capetele devin $1$ și $2$, iar rezultatul este ${\int }_1^2\frac{dt}{t}=\ln 2$. Numitorul este pozitiv pe tot intervalul, deci nu apar singularități.

Alt exemplu. La ${\int }_0^{\pi /2}x\cos xdx$ alegem $f=x$ și $g^{\prime }=\cos x$, deci $g=\sin x$. Integrala este $[x\sin x{]}_0^{\pi /2}-{\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=\frac{\pi }{2}-1$, fiindcă ${\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=1$.

Alt exemplu. Pentru ${\int }_2^3\frac{dx}{x^2-1}$ avem $\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$. Integrala este $\frac{1}{2}{\left[\ln \frac{x-1}{x+1}\right]}_2^3=\frac{1}{2}\left(\ln \frac{1}{2}-\ln \frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $\int x{e}^{x}dx=x{e}^x+e^x+C$.
  Corect: integrarea prin părți dă $x{e}^x-e^x+C$.
• Greșit: substituția $t=1+x^2$ păstrează capetele $0$ și $1$ pentru variabila nouă.
  Corect: capetele devin $t=1$ și $t=2$.
• Greșit: la ${\int }_0^{1}x\sqrt{x^2+3}dx$ cu $t=x^2+3$ se scrie ${\int }_3^4\sqrt{t}dt$, fără factorul $\frac{1}{2}$.
  Corect: $dt=2xdx$, deci $xdx=\frac{dt}{2}$ și apare factorul $\frac{1}{2}$.
• Greșit: $\int \ln xdx=\frac{1}{x}+C$.
  Corect: $\frac{1}{x}$ este derivata lui $\ln x$, nu primitiva; prin părți, cu $f=\ln x$ și $g^{\prime }=1$, se obține $x\ln x-x+C$.
• Greșit: $\int \frac{dx}{x^2-1}=\ln |x^2-1|+C$.
  Corect: numărătorul nu este derivata numitorului; după descompunere, primitiva este $\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C$.

Înainte și după

Întrebări frecvente