Progresii aritmetice

Într-o progresie aritmetică, diferența dintre doi termeni consecutivi este aceeași, numită rație $r$: $a_{n+1}=a_n+r$. Dacă primul termen este $a_1$, atunci $a_n=a_1+(n-1)r$. Suma primilor $n$ termeni este $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$. Dacă $r>0$, termenii cresc, iar dacă $r<0$, scad. Trei numere $a;b;c$ sunt termeni consecutivi dacă $2b=a+c$, adică dacă termenul din mijloc este media celorlalți doi.

Exemplu rezolvat. Pentru $a_1=3$ și $r=4$:

1. $a_4=3+(4-1)\cdot 4=15$.
2. Termenii sunt $3;7;11;15$.
3. Suma este $S_4=\frac{4(3+15)}{2}=36$, egală cu $3+7+11+15$.

Pentru indici naturali nenuli $p<q$, relația $a_q-a_p=(q-p)r$ permite recuperarea rației din doi termeni care nu sunt consecutivi. Numerele $a,b,c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă $2b=a+c$: această egalitate este echivalentă cu $b-a=c-b$. Pentru $k\ge 3$ numere condiția privește fiecare termen din interior: el este media aritmetică a vecinilor săi.

Dacă $p+q=s+t$, atunci $a_p+a_q=a_s+a_t$, deoarece ambele sume sunt egale cu $2a_1+(p+q-2)r$. În particular, termenii egal depărtați de capete au aceeași sumă: $a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\cdots$. Formula sumei se justifică adunând șirul termenilor în ordine directă cu același șir în ordine inversă; fiecare dintre cele $n$ perechi produce $a_1+a_n$, deci $2S_n=n(a_1+a_n)$. Înlocuirea ultimului termen dă forma $S_n=\frac{[2a_1+(n-1)r]n}{2}$. Suma de la indicele $p$ la $q$ include $q-p+1$ termeni și se poate calcula prin diferența $S_q-S_{p-1}$. Reciproc, dacă se cunoaște $S_n$, atunci $a_1=S_1$ și $a_n=S_n-S_{n-1}$ pentru $n\ge 2$.

Semnul rației hotărăște monotonia: pentru $r>0$ șirul este strict crescător, pentru $r<0$ strict descrescător, iar pentru $r=0$ este constant. Termenul general se scrie $a_n=rn+(a_1-r)$, deci punctele $(n;a_n)$ se află pe o dreaptă de pantă $r$; reciproc, orice șir $a_n=pn+s$ este progresie aritmetică de rație $p$. Suma $S_n=\frac{r}{2}{n}^2+\left(a_1-\frac{r}{2}\right)n$ este un polinom de gradul al doilea în $n$, fără termen liber. Dacă $S_n=A{n}^2+Bn$, șirul este progresie aritmetică de rație $2A$.

Exemplu rezolvat. Știm $a_3=8$ și $a_7=20$.

1. Diferența dintre termeni este $20-8=12$, iar diferența indicilor este $7-3=4$, deci $4r=12$ și $r=3$.
2. Recuperăm primul termen: $a_1=8-2\cdot 3=2$.
3. Al zecelea termen este $a_{10}=2+9\cdot 3=29$.
4. Suma primilor $10$ termeni este $S_{10}=10(2+29)/2=155$.

Exemplu rezolvat. Calculăm suma multiplilor lui $3$ cuprinși între $10$ și $100$.

1. Primul multiplu este $12$, iar ultimul este $99$. Ei formează o progresie aritmetică de rație $3$.
2. Numărul termenilor se află din $99=12+(n-1)\cdot 3$: $n-1=29$, deci $n=30$.
3. Suma este $30(12+99)/2=1665$.

Exemplu rezolvat. Într-un amfiteatru, primul rând are $18$ locuri, iar fiecare rând următor are cu $2$ locuri mai mult decât precedentul. Sunt $12$ rânduri. Câte locuri are amfiteatrul?

1. Numerele de locuri formează o progresie aritmetică cu $a_1=18$ și $r=2$.
2. Ultimul rând are $a_{12}=18+11\cdot 2=40$ de locuri.
3. Amfiteatrul are $S_{12}=12(18+40)/2=348$ de locuri.

Exemplu rezolvat. Aflăm trei numere în progresie aritmetică cu suma $15$ și produsul $105$.

1. Le notăm $b-r;b;b+r$. Suma este $3b=15$, deci $b=5$.
2. Produsul este $5(25-r^2)=105$, deci $r^2=4$ și $r=2$ sau $r=-2$.
3. Numerele sunt $3;5;7$, sau aceleași în ordine inversă, $7;5;3$.

Exemplu rezolvat. Inserăm patru numere între $3$ și $23$ astfel încât cele șase numere să fie în progresie aritmetică.

1. Avem $a_1=3$ și $a_6=23$, deci $5r=20$ și $r=4$.
2. Numerele inserate sunt $7;11;15;19$.
3. Suma celor șase numere este $6(3+23)/2=78$, la fel ca $3+7+11+15+19+23$.

Problemele combină sume de termeni consecutivi, perechi de termeni cu aceeași sumă a indicilor și trecerea de la $S_n$ la $a_n$.

Problema 1. Pentru $a_n=3n-1$, suma $a_5+a_6+\cdots +a_{12}$ este:

a) $171,5$ b) $182$ c) $196$ d) $222$ e) $245$ f) $392$

Capetele sunt $a_5=14$ și $a_{12}=35$. Sunt $12-5+1=8$ termeni, deci suma este $8(14+35)/2=196$.

Răspuns corect: c). Variantele greșite: a) $171,5$ numără $12-5=7$ termeni; b) $182=S_{12}-S_5$ elimină și termenul $a_5$; d) $222=S_{12}$ pornește de la primul termen; e) $245=7\cdot 35$ înmulțește numărul de termeni cu ultimul termen; f) $392$ uită împărțirea la $2$.

Problema 2. Într-o progresie aritmetică, $a_4+a_9=30$. Suma $S_{12}$ este:

a) $30$ b) $90$ c) $180$ d) $195$ e) $360$ f) $390$

Cum $4+9=1+12$, avem $a_1+a_{12}=a_4+a_9=30$ și $S_{12}=12\cdot 30/2=180$.

Răspuns corect: c). Variantele greșite: a) $30$ ia o singură pereche drept sumă; b) $90$ împarte de două ori la $2$; d) $195=13\cdot 30/2$ crede că $4+9=13$ indică ultimul indice; e) $360$ uită împărțirea la $2$; f) $390=13\cdot 30$ combină ambele greșeli.

Problema 3. Suma primilor $n$ termeni ai unei progresii aritmetice este $S_n=2n^2+n$. Termenul $a_{10}$ este:

a) $-39$ b) $21$ c) $39$ d) $40$ e) $74$ f) $210$

Avem $a_{10}=S_{10}-S_9=210-171=39$. Generalizând, $a_n=S_n-S_{n-1}=4n-1$ pentru $n\ge 2$, și $a_1=S_1=3$ verifică aceeași formulă.

Răspuns corect: c). Variantele greșite: a) $-39$ scade în ordine inversă; b) $21=S_{10}/10$ este media primilor zece termeni; d) $40=4\cdot 10$ uită termenul $-1$; e) $74=S_{10}-S_8$ conține doi termeni; f) $210=S_{10}$ este suma, nu termenul.

Greșeli frecvente

• Greșit: pentru $a_1=2$, $r=3$, avem $a_{10}=2+10\cdot 3=32$.
  Corect: sunt $10-1=9$ pași, deci $a_{10}=29$.
• Greșit: de la indicele $5$ la $12$ sunt $7$ termeni.
  Corect: sunt $12-5+1=8$, deoarece se includ ambele capete.
• Greșit: din $a_3=8$ și $a_7=20$ rezultă $r=\frac{20-8}{7}$.
  Corect: între indicii $3$ și $7$ sunt $4$ pași, deci $r=\frac{12}{4}=3$.
• Greșit: numerele $1;4;9$ sunt în progresie aritmetică, fiindcă $4$ se află între $1$ și $9$.
  Corect: $2\cdot 4=8$, iar $1+9=10$, deci condiția $2b=a+c$ nu este îndeplinită.

Înainte și după

Întrebări frecvente