Matrice inversabile

O matrice pătratică $A$ de ordin $n$ este inversabilă dacă există o matrice $A^{-1}$ cu $A{A}^{-1}=A^{-1}A=I_n$. Condiția necesară și suficientă este $\det A\ne 0$. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$. Inversa permite rezolvarea ecuațiilor matriceale $AX=B$ și $XA=B$.

Exemplu rezolvat. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$:

1. $\det A=1$.
2. Aplicăm formula: $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right)$.
3. Produsul $A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2$.

Condiția $\det A\ne 0$ este necesară: din $A{A}^{-1}=I_n$ rezultă $\det A\cdot \det A^{-1}=\det I_n=1$, deci $\det A$ nu poate fi $0$. Ea este și suficientă, fiindcă formula de mai jos construiește inversa oricărei matrice cu determinant nenul. O matrice inversabilă de ordin $n$ are rangul $n$ (vezi lecția despre rangul unei matrice). O matrice diagonală este inversabilă dacă și numai dacă toate elementele diagonalei sunt nenule, iar inversa ei are pe diagonală inversele acestora: ${\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 5\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 0\\ 0& \frac{1}{5}\end{array}\right)$.

Inversa este unică: dacă $B$ și $C$ sunt inverse ale lui $A$, atunci $B=B(AC)=(BA)C=C$. Pentru o matrice de ordin $n$, inversa se calculează cu formula $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$, unde adjuncta $A^{\ast }$ este transpusa matricei complementelor algebrice. Pașii sunt:

1. se calculează $\det A$ și se verifică $\det A\ne 0$;
2. se calculează complementul algebric $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$ al fiecărui element;
3. se transpune matricea complementelor, obținând $A^{\ast }$;
4. se împarte $A^{\ast }$ la $\det A$.

Exemplu rezolvat. Fie $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 5& 6& 0\end{array}\right)$. Dezvoltarea după prima coloană dă $\det A=1\cdot (0-24)-0+5\cdot (8-3)=-24+25=1$. Complementele algebrice sunt $A_{11}=-24$, $A_{12}=20$, $A_{13}=-5$, $A_{21}=18$, $A_{22}=-15$, $A_{23}=4$, $A_{31}=5$, $A_{32}=-4$, $A_{33}=1$. Transpunem și împărțim la $1$:

Verificare: prima linie a lui $A$ înmulțită cu prima coloană a inversei dă $-24+40-15=1$, iar cu a doua coloană dă $18-30+12=0$. Formula cu adjuncta merge la orice ordin $n$, dar la ordinul $4$ cere șaisprezece complemente algebrice de ordin $3$; de aceea, când matricea are zerouri, se alege o altă cale, de exemplu o relație de forma $A^2-4A+I_2=O_2$, din care $A(4I_2-A)=I_2$ și $A^{-1}=4I_2-A$.

Pentru matrice inversabile de același ordin, $(A^{-1}{)}^{-1}=A$, $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$ și $\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}$. Inversa produsului schimbă ordinea factorilor: $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$ avem $AB=\left(\begin{array}{cc}7& 2\\ 3& 1\end{array}\right)$ și $(AB{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -3& 7\end{array}\right)=B^{-1}{A}^{-1}$, dar $A^{-1}{B}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}7& -2\\ -3& 1\end{array}\right)$ este altă matrice.

Dintr-o ecuație matricială se elimină un factor înmulțind cu inversa pe partea pe care acesta apare: $AX=B$ dă $X=A^{-1}B$, iar $XA=B$ dă $X=B{A}^{-1}$. Dimensiunile produselor trebuie să fie compatibile, iar un factor nu se mută dintr-o parte în alta, fiindcă înmulțirea matricelor nu este comutativă. Dacă necunoscuta stă între două matrice inversabile, $AXB=C$, se înmulțește la stânga cu $A^{-1}$ și la dreapta cu $B^{-1}$, iar rezultatul este $X=A^{-1}C{B}^{-1}$.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm $AX=B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$.

1. Determinantul este $2\cdot 1-1\cdot 1=1$, deci inversa există.
2. Schimbăm elementele diagonalei principale și semnele celorlalte: $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$.
3. Înmulțim ecuația la stânga cu inversa: $X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{c}5-3\\ -5+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$.
4. Verificarea în sistem dă $2\cdot 2+1=5$ și $2+1=3$. Soluția respectă ambele ecuații.

Exemplu rezolvat. Cu matricea $A$ de mai sus rezolvăm sistemul $x+2y+3z=1$, $y+4z=2$, $5x+6y=3$, care se scrie $AX=B$ cu $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$.

1. Cum $\det A=1\ne 0$, inversa există și $X=A^{-1}B$.
2. Prima componentă este $-24\cdot 1+18\cdot 2+5\cdot 3=27$, a doua este $20-30-12=-22$, a treia este $-5+8+3=6$.
3. Soluția este $x=27$, $y=-22$, $z=6$. Verificare în a doua ecuație: $-22+24=2$.

La o ecuație matricială, mai întâi se hotărăște pe ce parte apare necunoscuta, apoi se înmulțește cu inversa pe acea parte. O variantă pentru $A^{-1}$ se poate verifica repede: produsul ei cu $A$ trebuie să dea $I_n$.

Problemă. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$. Matricea $X$ care verifică $XA=B$ este:

• a) $\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -5& 4\end{array}\right)$
• b) $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 10& 6\end{array}\right)$
• c) $\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -10& 4\end{array}\right)$
• d) $\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 10& 4\end{array}\right)$
• e) $\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -2& 4\end{array}\right)$
• f) $\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right)$

Rezolvare. Avem $\det A=2\cdot 3-1\cdot 5=1$, deci $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right)$. Din $XA=B$, înmulțind la dreapta cu $A^{-1}$, rezultă $X=B{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -10& 4\end{array}\right)$. Răspunsul corect este c). Verificare: $XA=\left(\begin{array}{cc}6-5& 3-3\\ -20+20& -10+12\end{array}\right)=B$. Varianta a) este $A^{-1}B$, adică produsul în ordine inversă. Varianta b) este $BA$, fără inversă. Varianta d) folosește o inversă cu semnele neschimbate. Varianta e) folosește transpusa inversei. Varianta f) este chiar $A^{-1}$, fără factorul $B$.

Problemă cu parametru. Pentru ce valori reale ale lui $t$ este inversabilă matricea $A_t=\left(\begin{array}{cc}t& 1\\ 1& t\end{array}\right)$? Calculăm $\det A_t=t^2-1=(t-1)(t+1)$. Prin urmare, $t\notin \{-1;1\}$. Pentru aceste valori, $A_t^{-1}=\frac{1}{t^2-1}\left(\begin{array}{cc}t& -1\\ -1& t\end{array}\right)$. Produsul cu $A_t$ are elementele diagonale egale cu $(t^2-1)/(t^2-1)=1$, iar celelalte egale cu $0$.

Alt exemplu. Matricea $\left(\begin{array}{cc}m& 2\\ 3& m+1\end{array}\right)$ nu este inversabilă dacă și numai dacă $m(m+1)-6=0$, adică $m^2+m-6=(m-2)(m+3)=0$. Deci $m\in \{-3;2\}$.

Alt exemplu. Dacă $A$ este inversabilă și $A^2=A$, înmulțind egalitatea la stânga cu $A^{-1}$ se obține $A=I_n$. Fără ipoteza de inversabilitate concluzia cade: $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ verifică $A^2=A$, dar are determinantul $0$ și nu este egală cu $I_2$.

Inversă din relație. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$ se verifică $A^2-4A+I_2=O_2$, fiindcă $A^2=\left(\begin{array}{cc}11& 8\\ 4& 3\end{array}\right)$. Relația se scrie $A(4I_2-A)=I_2$, deci $A^{-1}=4I_2-A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& 3\end{array}\right)$, fără formula cu complemente.

Greșeli frecvente

• Greșit: inversa lui $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ are elementul $1/2$ în dreapta sus.
  Corect: elementul respectiv este $-2$, astfel încât produsul să fie identitatea.
• Greșit: formula pentru $A_t^{-1}$ se folosește și la $t=1$.
  Corect: atunci determinantul este zero și matricea nu este inversabilă.
• Greșit: inversa lui $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right)$ se obține inversând fiecare element, deci este $\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 1\\ \frac{1}{5}& \frac{1}{3}\end{array}\right)$.
  Corect: inversa este $\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right)$, pentru că $\det A=1$.
• Greșit: $(AB{)}^{-1}=A^{-1}{B}^{-1}$.
  Corect: $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$; în exemplul cu $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$ cele două expresii dau matrice diferite.
• Greșit: din $XA=B$ rezultă $X=A^{-1}B$.
  Corect: $A$ stă la dreapta lui $X$, deci se înmulțește la dreapta și $X=B{A}^{-1}$.

Înainte și după

Întrebări frecvente