Principiile adunării și înmulțirii

Principiul adunării numără alternative care nu se suprapun: dacă există $m$ moduri de a alege din prima categorie și $n$ din a doua, sunt $m+n$ posibilități. Principiul înmulțirii numără alegeri succesive: dacă după fiecare dintre cele $m$ alegeri inițiale există $n$ opțiuni, sunt $mn$ perechi.

Exemplu rezolvat. Alegi o cămașă dintre $3$ și o pereche de pantaloni dintre $2$.

1. Pentru fiecare cămașă există $2$ opțiuni de pantaloni.
2. Numărul ținutelor este $3\cdot 2=6$.
3. Dacă ai alege doar o cămașă sau doar o pereche de pantaloni, din categorii distincte, ai avea $3+2=5$ alegeri.

Cele două principii se enunță pentru mulțimi finite. Dacă $A$ și $B$ nu au elemente comune, $|A\cup B|=|A|+|B|$; același lucru este valabil pentru oricâte mulțimi disjuncte două câte două. Pentru produsul cartezian, $|A\times B|=|A|\cdot |B|$, iar pentru o succesiune de $k$ etape cu $n_1;n_2;\dots ;n_k$ opțiuni obținem $n_1\cdot n_2\cdots n_k$ rezultate, cu condiția ca numărul opțiunilor de la fiecare etapă să fie același oricum s-ar fi făcut alegerile anterioare. Aici numărăm obiecte, nu probabilități, deci nu apare nicio condiție de independență. Dacă numărul opțiunilor depinde de cazul ales, cazurile se separă, se numără fiecare cu produsul, iar totalurile se adună. Principiul sumei cere cazuri disjuncte: același obiect nu trebuie numărat în două categorii. O restricție de poziție, precum interzicerea cifrei zero la început, modifică numărul alegerilor pe acea poziție, iar interzicerea repetării scade opțiunile pentru pozițiile următoare.

Exemplu rezolvat. Numărăm numerele de $3$ cifre distincte formate cu $0;1;2;3;4$.

1. Cifra sutelor are $4$ opțiuni, deoarece $0$ este interzis la început.
2. Pentru zeci rămân $4$ cifre: $0$ și cele $3$ cifre nenule nefolosite.
3. Pentru unități rămân $3$ cifre.
4. Aplicăm produsul și obținem $4\cdot 4\cdot 3=48$ de numere. Fiecare alegere ordonată produce un număr diferit, astfel că nu apare numărare dublă.

Exemplu rezolvat. Câți divizori naturali are numărul $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$?

1. Un divizor are forma $2^a\cdot 3^b\cdot 5^c$, cu $a\in \{0;1;2;3\}$, $b\in \{0;1;2\}$, $c\in \{0;1\}$.
2. Exponenții se aleg independent unul de altul: $4$ variante pentru $a$, $3$ pentru $b$, $2$ pentru $c$.
3. Numărul divizorilor este $4\cdot 3\cdot 2=24$.

Exemplu rezolvat. Între orașele $A$ și $B$ există $3$ drumuri, între $B$ și $C$ există $4$ drumuri, iar între $A$ și $C$ există $2$ drumuri directe. Câte trasee duc de la $A$ la $C$, fără a trece de două ori prin același oraș?

1. Traseele prin $B$ sunt alegeri succesive: $3\cdot 4=12$.
2. Traseele directe sunt $2$ și nu se suprapun cu cele prin $B$.
3. Se adună cele două categorii disjuncte: $12+2=14$ trasee.

Când categoriile se suprapun, suma simplă numără de două ori elementele comune. Exemplu rezolvat. Câte numere de două cifre sunt divizibile cu $3$ sau cu $5$?

1. Multiplii lui $3$ de la $12$ la $99$ sunt $30$, iar multiplii lui $5$ de la $10$ la $95$ sunt $18$.
2. Numerele divizibile cu ambele, deci cu $15$, sunt $15;30;45;60;75;90$, adică $6$.
3. Cele $6$ numere au fost numărate în ambele categorii, deci totalul este $30+18-6=42$.

Aceeași regulă numără funcțiile: o funcție $f:A\to B$ cu $|A|=3$ și $|B|=4$ atribuie fiecărui element din $A$ o imagine în $B$, în $4$ moduri, independent de celelalte, deci există $4^3=64$ de funcții.

La grilă, problemele combină ambele principii și cer atenție la restricții. Se începe cu poziția cea mai restrictivă, iar când o restricție se schimbă de la un caz la altul, cazurile se separă.

Problemă. Câte numere pare de $3$ cifre distincte se pot forma cu cifrele $0;1;2;3;4$?

• a) $12$
• b) $18$
• c) $30$
• d) $36$
• e) $48$
• f) $60$

Rezolvare. Cazul 1: ultima cifră este $0$. Sutele se aleg în $4$ moduri, zecile în $3$, deci $4\cdot 3=12$ numere. Cazul 2: ultima cifră este $2$ sau $4$, adică $2$ alegeri. Sutele nu pot fi $0$ și nici cifra deja folosită, deci $3$ alegeri; zecile au $3$ alegeri, deci $2\cdot 3\cdot 3=18$. Cazurile sunt disjuncte, totalul este $12+18=30$. Răspunsul corect este c). Varianta a) uită cazul ultimei cifre $2$ sau $4$, iar b) uită cazul ultimei cifre $0$. Varianta d) apare dacă se alege ultima cifră în $3$ moduri și se iau mereu $4\cdot 3$ moduri pentru sute și zeci, deși pentru ultima cifră $2$ sau $4$ zero nu poate fi pe prima poziție și o cifră este deja folosită. Varianta e) numără toate numerele de trei cifre distincte, fără condiția de paritate. Varianta f) numără șirurile $5\cdot 4\cdot 3$, adică permite și cifra $0$ în față.

Alt exemplu. Câte numere de trei cifre au toate cifrele impare, repetările fiind permise? Fiecare poziție are $5$ alegeri ($1;3;5;7;9$), deci $5\cdot 5\cdot 5=125$ numere. Cele cu cel puțin o cifră pară sunt $900-125=775$.

Greșeli frecvente

• Greșit: toate cele cinci cifre pot ocupa poziția sutelor, deci sunt $5\cdot 4\cdot 3$ numere.
  Corect: zero nu poate fi prima cifră; totalul este $48$.
• Greșit: $3$ cămăși și $2$ perechi de pantaloni dau $3+2=5$ ținute complete.
  Corect: fiecare cămașă se combină cu fiecare pereche de pantaloni, deci sunt $3\cdot 2=6$ ținute.
• Greșit: divizorii lui $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$ sunt $3+2+1=6$, pentru că exponenții se adună.
  Corect: exponenții se aleg independent, deci numărul divizorilor este $(3+1)(2+1)(1+1)=24$.
• Greșit: traseele de la $A$ la $C$ din exemplul cu orașe sunt $3\cdot 4\cdot 2=24$.
  Corect: drumul prin $B$ și drumul direct sunt alternative, nu pași succesivi, deci $3\cdot 4+2=14$.

Înainte și după