Ecuații exponențiale

O ecuație exponențială are necunoscuta în exponent, de exemplu $4^x=8$. Funcția $a^x$, cu baza $a>0$, $a\ne 1$, are numai valori strict pozitive și este injectivă (strict crescătoare pentru $a>1$, strict descrescătoare pentru $0<a<1$). Din aceasta rezultă două reguli:

• din $a^{u(x)}=a^{v(x)}$ urmează $u(x)=v(x)$;
• ecuația $a^{u(x)}=b$ are soluții numai dacă $b>0$, iar atunci $u(x)={\log }_{a}b$; pentru $b\le 0$ nu are soluții, de pildă $2^x=-4$.

Grafic, dreapta orizontală $y=b$ taie graficul funcției $y=a^x$ într-un singur punct când $b>0$ și nu îl taie când $b\le 0$, ceea ce explică de ce ecuația $a^x=b$ are cel mult o soluție. Dacă bazele diferă, ele se aduc la aceeași bază, atunci când se poate: $4=2^2$, $8=2^3$, $\frac{1}{9}=3^{-2}$. Dacă ecuația conține puteri ale aceleiași baze cu exponenți diferiți, se notează $t=a^x$, cu $t>0$, sau se scoate factor comun.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $4^x=8$.

1. Scriem $4=2^2$ și $8=2^3$.
2. Obținem $2^{2x}=2^3$.
3. Egalăm exponenții: $2x=3$, deci $x=\frac{3}{2}$.
4. Verificăm $4^{3/2}=(\sqrt{4}{)}^3=8$.

Alegerea metodei depinde de forma ecuației:

1. Dacă ambii membri sunt puteri ale aceleiași baze (sau pot fi scriși ca atare), se egalează exponenții.
2. Dacă puterile au aceeași bază și exponenți care diferă printr-o constantă, se scoate factor comun.
3. Dacă apar $a^{2x}$ și $a^x$, se face substituția $t=a^x$.
4. Dacă niciuna dintre acestea nu se aplică, se logaritmează ambii membri pozitivi.

La expresii de tipul $a^{2x}+p{a}^x+q=0$, notezi $t=a^x$, cu condiția $t>0$, apoi rezolvi ecuația algebrică în $t$. Valorile nepozitive ale lui $t$ se resping, deoarece $a^x>0$ pentru orice $x$ real. Pentru fiecare valoare $t>0$ găsită, ecuația $a^x=t$ are exact o soluție, $x={\log }_{a}t$.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $9^x-4\cdot 3^x+3=0$.

1. Punem $t=3^x>0$; atunci $9^x=(3^x{)}^2=t^2$.
2. $t^2-4t+3=(t-1)(t-3)=0$, deci $t=1$ sau $t=3$.
3. Revenim: $3^x=1$ dă $x=0$, iar $3^x=3$ dă $x=1$.
4. Verificăm: $x=0$ dă $1-4+3=0$, iar $x=1$ dă $9-12+3=0$.

Substituția ține seama de proprietățile puterilor: $a^{x+k}=a^k\cdot a^x$, $a^{2x}=(a^x{)}^2$ și $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$. Exemplu rezolvat. Rezolvă $2^{2x+1}-5\cdot 2^x+2=0$. Avem $2^{2x+1}=2\cdot (2^x{)}^2$, deci cu $t=2^x>0$ ecuația devine $2t^2-5t+2=0$, adică $(2t-1)(t-2)=0$. Rezultă $t=\frac{1}{2}$ sau $t=2$, adică $2^x=2^{-1}$ sau $2^x=2^1$, deci $x=-1$ sau $x=1$.

Când termenii au aceeași bază și exponenți care diferă printr-o constantă, se scoate factor comun puterea cea mai mică. Exemplu rezolvat. Rezolvă $3^{x+1}+3^{x-1}=30$.

1. Scoatem factor comun $3^{x-1}$: $3^{x-1}\left(3^2+1\right)=30$.
2. Rezultă $3^{x-1}\cdot 10=30$, deci $3^{x-1}=3$.
3. Egalăm exponenții: $x-1=1$, deci $x=2$.
4. Verificăm: $3^3+3^1=27+3=30$.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $2^{x+3}-2^x=56$. Avem $2^{x+3}=8\cdot 2^x$, deci $8\cdot 2^x-2^x=7\cdot 2^x=56$, adică $2^x=8$ și $x=3$. Verificare: $2^6-2^3=64-8=56$.

Pentru bază fixă $a>0$, $a\ne 1$, funcția $a^x$ este strict monotonă, așa că $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ este echivalentă cu $f(x)=g(x)$. Exemplu rezolvat. Din $4^{x-1}=8^{x-2}$ obținem $2^{2x-2}=2^{3x-6}$, deci $2x-2=3x-6$ și $x=4$. Verificare: $4^3=64$ și $8^2=64$.

Regula $a^{f(x)}=a^{g(x)}\Rightarrow f(x)=g(x)$ rezultă din injectivitate: dacă exponenții ar fi diferiți, funcția strict monotonă ar da valori diferite. Baza subunitară se tratează la fel, după ce se scrie ca putere cu exponent negativ. Exemplu rezolvat. Rezolvă ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x=8$. Scriem $\frac{1}{2}=2^{-1}$, deci $2^{-x}=2^3$ și $-x=3$, adică $x=-3$. Verificare: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=2^3=8$.

Ecuațiile exponențiale descriu creșteri la intervale egale. Exemplu rezolvat. O populație de bacterii se dublează la fiecare $3$ ore. Dacă la început sunt $500$ de bacterii, după $x$ ore sunt $500\cdot 2^{x/3}$. După câte ore sunt $4000$?

1. Ecuația este $500\cdot 2^{x/3}=4000$.
2. Împărțim la $500$: $2^{x/3}=8=2^3$.
3. Egalăm exponenții: $\frac{x}{3}=3$, deci $x=9$.
4. Verificăm: după $9$ ore populația s-a dublat de trei ori, $500\cdot 2\cdot 2\cdot 2=4000$.

Dacă puterile au baze diferite și nu se pot aduce la aceeași bază, ambii membri, care sunt pozitivi, se pot logaritma sau se grupează factorii cu același exponent. De exemplu, $2^x\cdot 3^x=6^x$, deci $2^x\cdot 3^x=36$ devine $6^x=36=6^2$, cu $x=2$. Ecuația $2^x=5$ are soluția $x={\log }_{2}5\approx 2,32$, iar $3^{2x-1}=5$ dă $2x-1={\log }_{3}5$, deci $x=\frac{1+{\log }_{3}5}{2}\approx 1,23$.

Substituția $t=a^x$ impune $t>0$. La variantele de răspuns, o valoare $t$ negativă nu duce la nicio soluție în $x$, iar valoarea lui $t$ nu trebuie confundată cu valoarea lui $x$.

Problemă. Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $4^x-3\cdot 2^x-4=0$ este:

• a) $\{4\}$
• b) $\{-1;4\}$
• c) $\{-1;2\}$
• d) $\{2\}$
• e) $\{-1\}$
• f) $\varnothing$

Rezolvare. Cu $t=2^x>0$ avem $4^x=t^2$, deci $t^2-3t-4=0$, adică $(t-4)(t+1)=0$. Valoarea $t=-1$ se respinge, deoarece $2^x>0$. Din $t=4$ rezultă $2^x=2^2$, deci $x=2$. Verificare: $16-12-4=0$. Răspunsul corect este d). Varianta a) reține $t$ în loc de $x$, b) reține ambele valori ale lui $t$, c) acceptă și $t=-1$ ca și cum ar da $x=-1$, iar e) reține tocmai valoarea respinsă.

Verificarea se face în ecuația dată, nu în cea cu $t$. Pentru $x=2$, $4^2=16$ și $2^2=4$, deci $16-3\cdot 4-4=0$; pentru $x=-1$ avem $\frac{1}{4}-\frac{3}{2}-4\ne 0$, ceea ce arată că $-1$ nu este soluție.

Dacă întrebarea cere numărul de soluții, fiecare valoare $t>0$ a ecuației în $t$ dă exact o soluție $x$. De exemplu, $4^x-5\cdot 2^x+4=0$ devine $t^2-5t+4=0$, cu $t=1$ sau $t=4$, ambele pozitive, deci cu $x=0$ și $x=2$: ecuația are exact două soluții.

Alt exemplu. Rezolvăm $9^x=3^{x+2}$. Scriem $9^x=3^{2x}$, deci $2x=x+2$ și $x=2$. Verificare: $9^2=81=3^4$.

Alt exemplu. Rezolvăm $2^x+2^{-x}=\frac{5}{2}$. Punem $t=2^x>0$; atunci $2^{-x}=\frac{1}{t}$. Înmulțim cu $2t$ și obținem $2t^2-5t+2=0$, adică $(2t-1)(t-2)=0$. Valorile admise sunt $t=\frac{1}{2}$ și $t=2$, deci $x=-1$ sau $x=1$. Pentru ambele, suma inițială este $\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $a^x$ poate fi zero sau negativ pentru un $x$ real când $a>0$.
  Corect: $a^x>0$ pentru orice $x$ real, deci $2^x=-4$ nu are soluții.
• Greșit: într-o substituție $t=a^x$ se acceptă $t\le 0$.
  Corect: se păstrează numai $t>0$; la $4^x-3\cdot 2^x-4=0$ se respinge $t=-1$.
• Greșit: se egalează exponenții unor puteri cu baze diferite, de pildă din $2^x=3^{x-1}$ se scrie $x=x-1$.
  Corect: se aduc mai întâi la aceeași bază sau se folosește logaritmarea.
• Greșit: $2^x\cdot 3^x=5^x$.
  Corect: la înmulțirea puterilor cu același exponent se înmulțesc bazele, deci $2^x\cdot 3^x=6^x$.
• Greșit: $2^{x+1}=2^x+2$.
  Corect: $2^{x+1}=2\cdot 2^x$; la o sumă de puteri se scoate factor comun, nu se adună exponenții.

Înainte și după