Relațiile lui Viète

Când rădăcinile unei ecuații de gradul al doilea sunt numere întregi mici, le poți găsi fără radicali, cu ajutorul sumei și al produsului lor. Pentru $x^2-5x+6=0$ observi că $2+3=5$ și $2\cdot 3=6$. Într-adevăr, $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, deci rădăcinile sunt $2$ și $3$.

Ideea din spate este legătura dintre suma și produsul rădăcinilor și coeficienții ecuației. Pentru forma $x^2-Sx+P=0$, dacă rădăcinile sunt $x_1$ și $x_2$, atunci $x_1+x_2=S$ și $x_1{x}_2=P$. Poți verifica dezvoltând $(x-x_1)(x-x_2)$: se obține $x^2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2$. Observă semnul din fața lui $S$: în $x^2-5x+6$, coeficientul lui $x$ este $-5$, iar suma rădăcinilor este $+5$.

Invers, două numere reale cu suma $S$ și produsul $P$ există dacă și numai dacă $S^2-4P\ge 0$, pentru că ele sunt rădăcinile ecuației $x^2-Sx+P=0$. De exemplu, nu există două numere reale cu suma $4$ și produsul $5$, deoarece $16-20<0$. La un exercițiu, verifică soluțiile găsite în ecuația inițială.

Exemplu rezolvat. Găsește rădăcinile lui $x^2-7x+10=0$.

1. Căutăm numere cu suma $7$ și produsul $10$.
2. Perechea $2;5$ respectă ambele condiții.
3. Scriem $(x-2)(x-5)=0$, deci $x=2$ sau $x=5$.
4. Verificăm în ecuația dată: $4-14+10=0$ și $25-35+10=0$.

Pentru ecuația $a{x}^2+bx+c=0$, cu $a\ne 0$, suma și produsul rădăcinilor sunt $S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ și $P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}$. Se verifică din formula rădăcinilor, $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$: la adunare, termenii cu $\sqrt{\Delta }$ se reduc și rămâne $\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$; la înmulțire se obține $\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$. Relațiile sunt valabile și pentru rădăcini complexe, numărate cu multiplicitate; dacă enunțul cere rădăcini reale, se verifică separat $\Delta \ge 0$. Reconstrucția unei ecuații din sumă și produs dă $x^2-Sx+P=0$.

Multe expresii simetrice în rădăcini se calculează fără a afla rădăcinile:

• $x_1^2+x_2^2=S^2-2P$;
• $x_1^3+x_2^3=S^3-3PS$;
• $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{S}{P}$, dacă $P\ne 0$;
• $(x_1-x_2{)}^2=S^2-4P$.

Semnele rădăcinilor reale se citesc din $S$ și $P$. Dacă $P<0$, rădăcinile au semne opuse, iar $\Delta >0$ rezultă automat. Dacă $P>0$ și $\Delta \ge 0$, rădăcinile au același semn: ambele pozitive pentru $S>0$, ambele negative pentru $S<0$. De exemplu, $x^2-x-6=0$ are $P=-6<0$ și rădăcinile $-2$ și $3$, de semne opuse, iar $x^2+5x+4=0$ are $S=-5$, $P=4$ și $\Delta =9>0$, deci ambele rădăcini sunt negative: $-1$ și $-4$.

Relațiile permit și descompunerea trinomului: $a{x}^2+bx+c=a(x^2-Sx+P)=a(x-x_1)(x-x_2)$. Dacă se cunoaște o rădăcină, cealaltă se află imediat. Ecuația $x^2-5x+m=0$ cu rădăcina $2$ are a doua rădăcină $5-2=3$, iar $m=2\cdot 3=6$; înlocuirea lui $2$ în ecuație confirmă: $4-10+6=0$.

Sistemul $x+y=S$, $xy=P$ se rezolvă tot cu Viète: $x$ și $y$ sunt rădăcinile ecuației $t^2-St+P=0$. Pentru $x+y=10$ și $xy=21$ avem $t^2-10t+21=0$, cu $\Delta =100-84=16$ și $t=\frac{10\pm 4}{2}$, deci perechile $(3;7)$ și $(7;3)$.

La polinoamele de grad mai mare, relațiile lui Viète leagă toate rădăcinile de coeficienți, cu semne alternante. Pentru $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$, cu rădăcinile $x_1,x_2,x_3$ (reale sau complexe, numărate cu multiplicitate), avem $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}$ și $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$. Pentru $x^3-2x^2-5x+6=0$ rădăcinile sunt $-2$, $1$ și $3$: suma este $2=-\frac{-2}{1}$, suma produselor câte două este $-2-6+3=-5=\frac{-5}{1}$, iar produsul este $-6=-\frac{6}{1}$. Suma pătratelor se află fără rădăcini: $x_1^2+x_2^2+x_3^2={\left(x_1+x_2+x_3\right)}^2-2\left(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3\right)=4+10=14$, iar direct $4+1+9=14$.

Exemplu rezolvat. Pentru $2x^2-6x+1=0$, calculează suma pătratelor și suma inverselor rădăcinilor.

1. Discriminantul este $36-8=28>0$, deci există două rădăcini reale.
2. Avem $S=3$ și $P=\frac{1}{2}$, nenul.
3. Suma pătratelor este $S^2-2P=9-1=8$.
4. Suma inverselor este $\frac{S}{P}=3:\frac{1}{2}=6$.

Rădăcinile nu au fost calculate cu radicali.

Exemplu rezolvat. Determină $m$ astfel încât ecuația $x^2-2(m-1)x+m^2-3=0$ să aibă rădăcini reale cu $x_1^2+x_2^2=10$.

1. Avem $S=2(m-1)$ și $P=m^2-3$, deci $x_1^2+x_2^2=S^2-2P=4(m-1{)}^2-2(m^2-3)=2m^2-8m+10$.
2. Condiția $2m^2-8m+10=10$ dă $2m(m-4)=0$, deci $m=0$ sau $m=4$.
3. Discriminantul este $\Delta =16-8m$, iar rădăcinile sunt reale dacă și numai dacă $m\le 2$.
4. Valoarea $m=4$ se respinge: ecuația $x^2-6x+13=0$ are $\Delta =-16$. Rămâne $m=0$, cu ecuația $x^2+2x-3=0$, rădăcinile $-3$ și $1$ și suma pătratelor $9+1=10$.

Exemplu rezolvat. Pentru ce $m$ are ecuația $x^2-6x+m=0$ o rădăcină dublul celeilalte? Notăm rădăcinile cu $x_1$ și $2x_1$. Suma este $3x_1=6$, deci $x_1=2$, iar rădăcinile sunt $2$ și $4$. Produsul este $m=8$. Verificare: $\Delta =36-32=4>0$ și $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$.

Relațiile lui Viète servesc și la formarea unei ecuații ale cărei rădăcini sunt legate de ale altei ecuații, fără a calcula rădăcinile. Exemplu rezolvat. Fie $x_1,x_2$ rădăcinile ecuației $x^2-3x-4=0$. Scrie ecuația cu rădăcinile $x_1+1$ și $x_2+1$.

1. Din ecuația dată, $S=3$ și $P=-4$.
2. Noua sumă este $(x_1+1)+(x_2+1)=S+2=5$.
3. Noul produs este $(x_1+1)(x_2+1)=P+S+1=-4+3+1=0$.
4. Ecuația cerută este $x^2-5x=0$.
5. Verificăm: $x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$ are rădăcinile $4$ și $-1$, iar $4+1=5$ și $-1+1=0$ sunt chiar rădăcinile lui $x^2-5x=x(x-5)$.

Notăm $s=x_1+x_2$ și $p=x_1{x}_2$. Pentru rădăcinile ecuației de gradul al doilea, folosim și identitățile:

La examen, Relațiile lui Viète apar în probleme cu expresii simetrice sau cu condiții asupra semnelor rădăcinilor. Se exprimă condiția cerută prin $S$ și $P$ și, dacă enunțul cere rădăcini reale, se adaugă $\Delta \ge 0$.

Problemă. Dacă $x_1$ și $x_2$ sunt rădăcinile ecuației $x^2-3x+1=0$, valoarea lui $x_1^3+x_2^3$ este:

• a) $24$
• b) $27$
• c) $21$
• d) $36$
• e) $18$
• f) $15$

Rezolvare. Din ecuație, $S=3$ și $P=1$ (discriminantul $9-4=5>0$, deci rădăcinile sunt reale). Folosim $x_1^3+x_2^3=S^3-3PS=27-3\cdot 1\cdot 3=18$. Răspunsul corect este e). Valoarea expresiei nu depinde de ordinea rădăcinilor și nu cere calculul lor cu radicali; discriminantul se verifică doar pentru a ști că rădăcinile sunt reale. Varianta a) apare când se uită factorul $S$ din $3PS$ ($27-3$), b) când se reține doar $S^3$, d) când se adună $3PS$ în loc să se scadă, iar c) când se aplică prin analogie formula de la pătrate, $S^3-2PS$.

Alt exemplu. Dacă $x_1$ și $x_2$ sunt rădăcinile ecuației $x^2-4x+2=0$, calculează $(x_1-x_2{)}^2$. Avem $S=4$ și $P=2$, deci $(x_1-x_2{)}^2=S^2-4P=16-8=8$. Verificare: rădăcinile sunt $2\pm \sqrt{2}$, iar diferența lor este $2\sqrt{2}$, cu pătratul $8$. Formula arată că diferența dintre rădăcini se află din coeficienți, fără a le calcula.

Alt exemplu. Pentru ce valori reale ale lui $m$ are $x^2-2mx+m+2=0$ două rădăcini reale pozitive, cu posibilitatea egalității lor? Cerem $S=2m>0$, $P=m+2>0$ și $\Delta =4(m-2)(m+1)\ge 0$. Prima condiție dă $m>0$, iar împreună cu discriminantul rezultă $m\ge 2$. Pentru rădăcini distincte, rezultatul este $m>2$.

Greșeli frecvente

• Greșit: suma rădăcinilor lui $2x^2-6x+1$ este $-3$.
  Corect: $S=-\frac{-6}{2}=3$.
• Greșit: produsul rădăcinilor lui $3x^2-6x+2$ este $2$.
  Corect: $P=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$; relațiile împart la coeficientul dominant $a$.
• Greșit: $x_1^2+x_2^2=S^2$.
  Corect: $x_1^2+x_2^2=S^2-2P$; pentru $x^2-5x+6=0$ rădăcinile sunt $2$ și $3$, iar $4+9=13=25-12$.
• Greșit: $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{S}$.
  Corect: $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{S}{P}$; pentru rădăcinile $2$ și $3$ suma inverselor este $\frac{5}{6}$.
• Greșit: $S>0$ și $P>0$ garantează rădăcini reale pentru $x^2-2x+5$.
  Corect: discriminantul este negativ; condițiile de semn nu înlocuiesc existența rădăcinilor.

Înainte și după

Întrebări frecvente