Progresii geometrice

Într-o progresie geometrică, fiecare termen se obține înmulțind termenul precedent cu aceeași rație $q$: $b_{n+1}=q{b}_n$. Termenii sunt nenuli, deci $b_1\ne 0$ și $q\ne 0$. Dacă primul termen este $b_1$, atunci $b_n=b_1{q}^{n-1}$. Pentru $q\ne 1$, suma primilor $n$ termeni este $S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}$; pentru $q=1$, suma este $n{b}_1$. Trei numere nenule $a;b;c$ sunt termeni consecutivi dacă $b^2=ac$.

Exemplu rezolvat. Pentru $b_1=2$ și $q=3$:

1. Termenii sunt $2;6;18;54$.
2. $b_4=2\cdot 3^3=54$.
3. $S_4=2\frac{3^4-1}{3-1}=80$, verificat prin $2+6+18+54=80$.

Raportul a doi termeni consecutivi este rația: $q=b_{n+1}/b_n$. Pentru indici $k<l$ avem $b_l=b_k{q}^{l-k}$, deci rația se află din doi termeni care nu sunt vecini. Trei numere nenule $a,b,c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă $b^2=ac$, deoarece $b/a=c/b$. Pentru $k\ge 3$ numere nenule, pătratul fiecărui termen din interior trebuie să fie produsul vecinilor lui. Dacă $p+s=t+u$, atunci $b_p{b}_s=b_t{b}_u$, fiindcă ambele produse sunt $b_1^2{q}^{p+s-2}$.

Formula sumei se demonstrează calculând $S_n-q{S}_n$: termenii intermediari se reduc și rămâne $b_1-b_1{q}^n$. Împărțirea la $1-q$ cere $q\ne 1$, iar cazul $q=1$ se calculează separat. Pentru $b_1>0$, condiția $q>1$ dă creștere strictă, iar $0<q<1$ dă descreștere strictă. Dacă $q<0$, semnele alternează și șirul nu este monoton. O creștere cu $p\%$ la fiecare pas înmulțește valoarea cu $q=1+\frac{p}{100}$, iar o scădere cu $p\%$ o înmulțește cu $q=1-\frac{p}{100}$.

Un șir $b_n=c\cdot d^n$, cu $c,d\ne 0$, este progresie geometrică de rație $d$, fiindcă $b_{n+1}/b_n=d$. O progresie geometrică cu $b_1>0$ și $q>1$ crește mai repede decât orice progresie aritmetică: șirul $2^n$ întrece șirul $100n$ de la $n=10$, fiindcă $2^{10}=1024>1000$, în timp ce la $n=9$ avem $512<900$. Pentru $|q|<1$ termenii se apropie de $0$, iar sumele $S_n$ se apropie de $\frac{b_1}{1-q}$; lecția Limita unui șir justifică această afirmație.

Exemplu rezolvat. Pentru $b_1=48$ și $q=1/2$ calculăm $b_5$ și $S_5$.

1. Termenii sunt $48;24;12;6;3$.
2. Formula dă $b_5=48(1/2{)}^4=3$.
3. Aplicăm suma: $S_5=48\frac{1-(1/2{)}^5}{1-1/2}=48\cdot \frac{31}{32}\cdot 2=93$.
4. Adunarea termenilor enumerați dă tot $93$.

Exemplu rezolvat. Într-o progresie geometrică $b_3=12$ și $b_7=192$. Aflăm progresiile posibile.

1. Din $b_7=b_3{q}^4$ rezultă $q^4=16$, deci $q=2$ sau $q=-2$.
2. Din $b_3=b_1{q}^2=4b_1$ rezultă $b_1=3$ în ambele cazuri.
3. Pentru $q=2$ termenii sunt $3;6;12;24;48;96;192$. Pentru $q=-2$ sunt $3;-6;12;-24;48;-96;192$.

Exemplu rezolvat. Inserăm două numere reale între $4$ și $108$ astfel încât cele patru numere să fie în progresie geometrică.

1. Avem $b_1=4$ și $b_4=108$, deci $4q^3=108$ și $q^3=27$.
2. Ecuația $q^3=27$ are în $\mathbb{R}$ o singură soluție, $q=3$.
3. Numerele inserate sunt $12$ și $36$. Exponentul impar nu permite rația negativă, spre deosebire de exemplul precedent.

Exemplu rezolvat. Aflăm trei numere în progresie geometrică, cu suma $21$ și produsul $216$.

1. Le notăm $\frac{b}{q};b;bq$. Produsul este $b^3=216$, deci $b=6$.
2. Suma dă $\frac{6}{q}+6+6q=21$, adică $2q^2-5q+2=0$, cu soluțiile $q=2$ și $q=\frac{1}{2}$.
3. Numerele sunt $3;6;12$, sau aceleași în ordine inversă, $12;6;3$.

Exemplu rezolvat. O mașină de $20000$ de lei pierde în fiecare an $10\%$ din valoarea pe care o avea la începutul anului. Care este valoarea ei după trei ani?

1. După un an valoarea este $90\%$ din cea precedentă, deci se înmulțește cu $q=0,9$.
2. Valorile sunt $20000;18000;16200;14580$ lei.
3. După trei ani, mașina valorează $20000\cdot 0,9^3=14580$ lei.

Subiectele cer o sumă de termeni, valorile unui parametru din condiția $b^2=ac$ sau limita unei sume de termeni ai unei progresii cu $|q|<1$.

Problema 1. O progresie geometrică are $b_2=6$ și $b_5=162$. Suma primilor cinci termeni este:

a) $80$ b) $121$ c) $242$ d) $243$ e) $484$ f) $726$

Din $b_5=b_2{q}^3$ rezultă $q^3=27$, deci $q=3$ și $b_1=2$. Termenii sunt $2;6;18;54;162$, iar suma este $2\cdot \frac{3^5-1}{3-1}=242$.

Răspuns corect: c). Variantele greșite: a) $80=S_4$ adună un termen mai puțin; b) $121$ uită factorul $b_1=2$; d) $243=3^5$ nu aplică formula sumei; e) $484$ uită împărțirea la $q-1$; f) $726$ ia $b_1=6$, adică $b_2$ în loc de $b_1$.

Problema 2. Numerele $x-1;x+1;2x+2$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice pentru:

a) $x=-1$ b) $x=1$ c) $x=3$ d) $x\in \{-1;3\}$ e) $x\in \{-3;1\}$ f) niciun $x$

Condiția $(x+1{)}^2=(x-1)(2x+2)$ devine $x^2+2x+1=2x^2-2$, adică $x^2-2x-3=0$, cu soluțiile $x=-1$ și $x=3$. Pentru $x=-1$ numerele sunt $-2;0;0$, iar progresia geometrică nu are termeni nuli. Rămâne $x=3$, cu termenii $2;4;8$.

Răspuns corect: c). Variantele greșite: a) păstrează tocmai valoarea care dă termeni nuli; b) dă termenii $0;2;4$, în care primul este nul; d) uită cerința termenilor nenuli; e) provine din semne greșite, $x^2+2x-3=0$; f) crede că ecuația nu are soluții.

Problema 3. Limita sumelor $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\cdots +{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ când $n\to \infty$ este:

a) $0$ b) $\frac{1}{2}$ c) $\frac{2}{3}$ d) $1$ e) $\frac{3}{2}$ f) $2$

Rația este $q=-\frac{1}{2}$, cu $|q|<1$, deci $S_n=\frac{1-(-1/2{)}^n}{1+1/2}$. Cum $(-1/2{)}^n\to 0$, limita este $\frac{1}{3/2}=\frac{2}{3}$.

Răspuns corect: c). Variantele greșite: a) $0$ confundă limita termenilor cu limita sumelor; b) $\frac{1}{2}$ adună primii doi termeni; d) $1$ reține doar primul termen; e) $\frac{3}{2}=1+\frac{1}{2}$ ignoră alternarea semnelor la primii doi termeni; f) $2$ folosește rația $\frac{1}{2}$ în loc de $-\frac{1}{2}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: la $q=1$ se aplică formula cu numitor $1-q$.
  Corect: numitorul ar fi zero; suma este $n{b}_1$.
• Greșit: șirul $1;-2;4;-8;\dots$ este crescător fiindcă modulele cresc.
  Corect: alternarea semnelor împiedică monotonia termenilor.
• Greșit: $b_n=b_1\cdot q^n$.
  Corect: de la $b_1$ la $b_n$ sunt $n-1$ înmulțiri, deci $b_n=b_1{q}^{n-1}$ și, de exemplu, $b_3=b_1{q}^2$.
• Greșit: din $b_3=12$ și $b_7=192$ rezultă numai $q=2$.
  Corect: $q^4=16$ are soluțiile $q=2$ și $q=-2$, iar fiecare dă o progresie.

Înainte și după

Întrebări frecvente