Distanța dintre două puncte

Distanța dintre $A(x_A;y_A)$ și $B(x_B;y_B)$ este lungimea segmentului $AB$. Într-un reper ortonormat, deplasările pe axe formează catetele unui triunghi dreptunghic, deci $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$. Rezultatul este mereu nenegativ și nu depinde de ordinea punctelor.

Imaginează-ți o hartă desenată pe hârtie cu pătrățele: de la un punct la altul te poți deplasa mai întâi orizontal și apoi vertical. Aceste două deplasări formează laturile unui triunghi dreptunghic, iar drumul direct dintre puncte este ipotenuza. De aceea nu adunăm pur și simplu deplasările ca să aflăm drumul direct.

Exemplu rezolvat. Pentru $A(1;-2)$, $B(4;2)$:

1. Diferența orizontală este $4-1=3$.
2. Diferența verticală este $2-(-2)=4$.
3. $AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$ unități de lungime.

Verifică rezultatul pe desen: drumul direct de $5$ unități este mai scurt decât drumul de $3+4=7$ unități care urmărește axele. Dacă punctele au aceeași ordonată, deplasarea verticală este zero și distanța este diferența în modul a absciselor. Dacă au aceeași abscisă, procedezi la fel cu ordonatele. Punctele identice au distanța zero.

Înainte de calcul, marchează cele două puncte pe axele cu aceeași unitate de măsură.

Formula poate decide și ce fel de triunghi formează trei puncte. Pentru $A(1;1)$, $B(5;1)$ și $C(1;4)$ calculezi cele trei lungimi: $AB=4$, $AC=3$, $BC=\sqrt{4^2+3^2}=5$. Cum $3^2+4^2=5^2$, triunghiul este dreptunghic în $A$ (reciproca teoremei lui Pitagora). Dacă două dintre lungimi sunt egale, triunghiul este isoscel, iar dacă toate trei sunt egale, este echilateral. Dacă obții o rădăcină care nu este pătrat perfect, o lași scrisă exact, de exemplu $\sqrt{13}$, sau o aproximezi numai la final. Cel mai bun mod de a lucra este să calculezi pătratele distanțelor, $A{B}^2$, $A{C}^2$, $B{C}^2$, fiindcă așa nu apar rădăcini până la final.

Exemplu rezolvat. Un copil merge $6$ m spre est și apoi $8$ m spre nord. La ce distanță în linie dreaptă se află de punctul de plecare?

1. Alegem plecarea ca origine, $A(0;0)$, și poziția finală $B(6;8)$.
2. $AB=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ m.

Răspuns: $10$ m, mai puțin decât drumul parcurs, $6+8=14$ m.

Formula este teorema lui Pitagora aplicată vectorului $\overrightarrow{AB}$. Dacă punctele au aceeași abscisă, distanța devine $|y_B-y_A|$; dacă au aceeași ordonată, devine $|x_B-x_A|$. Condiția $AB=0$ este echivalentă cu $A=B$. În geometria cu coordonate, formula permite verificarea unui triunghi isoscel ori a egalității unor segmente fără a te baza pe desen.

Exemplu rezolvat. Pentru $A(-1;2)$ și $B(5;-6)$, deplasarea orizontală este $5-(-1)=6$, iar cea verticală $-6-2=-8$. Aplicăm Pitagora: $AB=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{100}=10$ unități. Mijlocul segmentului este $M((-1+5)/2;(2-6)/2)=(2;-2)$. Verificăm că $AM=MB=5$ unități, folosind aceeași formulă. Ordinea punctelor $A$ și $B$ schimbă semnele componentelor vectorului, însă distanța rămâne $10$ deoarece diferențele sunt ridicate la pătrat.

Distanța se poate deduce și din vectori: $AB=|\overrightarrow{AB}|$, iar modulul unei sume de vectori nu este suma modulelor, ci satisface inegalitatea triunghiului $|\vec{u}+\vec{v}|\le |\vec{u}|+|\vec{v}|$. Pe planul cartezian, distanța de la un punct la origine este $\sqrt{x^2+y^2}$, formulă folosită des la cerc și la numere complexe. Formula nu depinde de poziția figurii în plan: dacă muți toate punctele cu același vector, distanțele rămân aceleași, fiindcă diferențele de coordonate nu se schimbă. De aceea poți translata figura astfel încât un punct să ajungă în origine, ceea ce simplifică calculele. Într-un reper care nu este ortonormat, formula nu se mai aplică în această formă, deoarece unitățile de pe axe sunt diferite sau axele nu sunt perpendiculare; toate problemele acestei lecții presupun un reper ortonormat. Pentru patru puncte care formează un patrulater, egalitatea laturilor opuse două câte două arată că figura este paralelogram (dacă nu este degenerată), iar egalitatea diagonalelor într-un paralelogram arată că este dreptunghi. De exemplu, $A(0;0)$, $B(4;0)$, $C(4;3)$, $D(0;3)$ au $AB=CD=4$, $BC=DA=3$ și diagonalele $AC=BD=5$, deci formează un dreptunghi. Calculul pe coordonate permite să arăți ușor, fără desen exact, că un punct este mai aproape de un capăt decât de celălalt, comparând pătratele distanțelor. Distanța servește la a descrie figuri. Cercul cu centrul $C(a;b)$ și raza $r>0$ este mulțimea punctelor $P(x;y)$ cu $PC=r$, adică $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$. Condiția ca trei puncte $A$, $B$, $C$ să fie coliniare, cu $B$ între $A$ și $C$, este $AB+BC=AC$; inegalitatea triunghiului, $AB+BC\ge AC$, are egalitate numai în acest caz.

Exemplu rezolvat. Arată că $A(0;0)$, $B(2;1)$ și $C(6;3)$ sunt coliniare și află poziția relativă a punctelor.

1. $AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$.
2. $BC=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
3. $AC=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$.
4. Cum $AB+BC=\sqrt{5}+2\sqrt{5}=3\sqrt{5}=AC$, punctele sunt coliniare, iar $B$ se află între $A$ și $C$.

Exemplu rezolvat. Află $a$ astfel încât triunghiul cu vârfurile $A(0;0)$, $B(4;0)$ și $C(2;a)$, $a>0$, să fie echilateral.

1. $AB=4$, deci trebuie $AC=BC=4$.
2. $A{C}^2=4+a^2=16$, deci $a^2=12$ și $a=2\sqrt{3}$.
3. Verificăm: $B{C}^2=(2-4{)}^2+a^2=4+12=16$.

Deci $a=2\sqrt{3}$, iar înălțimea triunghiului echilateral de latură $4$ este $2\sqrt{3}$, în acord cu formula $\frac{l\sqrt{3}}{2}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: dacă $AB+BC=AC$ nu se verifică, punctele pot totuși fi coliniare cu $B$ între $A$ și $C$.
  Corect: pentru $B$ între $A$ și $C$ egalitatea este obligatorie; altfel $B$ nu este pe segment.
• Greșit: se adună direct diferențele de coordonate.
  Corect: se ridică la pătrat, se adună și se extrage rădăcina.
• Greșit: $\sqrt{a^2+b^2}=a+b$.
  Corect: egalitatea nu este general valabilă.
• Greșit: distanța depinde de sensul $A\to B$.
  Corect: $AB=BA$.

Înainte și după

Întrebări frecvente