Ecuații de gradul al doilea

O ecuație este de gradul al doilea dacă se poate scrie $a{x}^2+bx+c=0$, cu $a\ne 0$ și $a,b,c$ numere reale. În clasa a VIII-a o rezolvi prin descompunere în factori, cu ajutorul formulelor de calcul prescurtat. Regula-cheie: un produs este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este zero. Așa, din $(x-2)(x+3)=0$ obții $x=2$ sau $x=-3$. Regula funcționează numai când produsul este egal cu $0$: din $(x-2)(x-3)=6$ nu rezultă $x-2=6$ sau $x-3=6$; mai întâi se aduce ecuația la forma $x^2-5x=0$.

Ecuațiile incomplete se rezolvă direct. Dacă $b=0$, ecuația este $a{x}^2+c=0$, adică $x^2=-\frac{c}{a}$: are două soluții opuse când $-\frac{c}{a}>0$, o singură soluție, $0$, când $c=0$, și nicio soluție reală când $-\frac{c}{a}<0$. Pentru $x^2=9$ soluțiile sunt $3$ și $-3$, deoarece ambele au pătratul $9$, deși $\sqrt{9}=3$. Ecuația $x^2=-9$ nu are soluții reale, pentru că pătratul unui număr real nu este negativ. Dacă $c=0$, scoți factor comun: $a{x}^2+bx=x(ax+b)=0$, deci $x=0$ sau $x=-\frac{b}{a}$.

Pentru ecuația completă, caută întâi un factor comun sau o formulă: $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Când nu se vede o formulă, o creezi prin completarea pătratului: adaugi și scazi numărul care face din $x^2-6x$ un pătrat perfect. După ce găsești soluțiile, le înlocuiești în ecuația inițială. Într-o problemă practică, o soluție negativă este corectă algebric, dar nu convine dacă $x$ este o lungime. La final, mulțimea soluțiilor conține toate valorile distincte, inclusiv $x=0$ când apare.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $x^2-5x=0$.

1. Scoatem factor comun: $x(x-5)=0$.
2. Primul factor dă $x=0$.
3. Al doilea dă $x-5=0$, deci $x=5$.
4. Verificăm: pentru ambele valori, $x^2-5x=0$.

Mulțimea soluțiilor este $\{0;5\}$.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $x^2-6x+5=0$ prin completarea pătratului.

1. Scriem $x^2-6x=(x-3{)}^2-9$, deci ecuația devine $(x-3{)}^2-9+5=0$, adică $(x-3{)}^2-4=0$.
2. Aplicăm diferența de pătrate: $(x-3-2)(x-3+2)=0$, adică $(x-5)(x-1)=0$.
3. Rezultă $x=5$ sau $x=1$.
4. Verificăm: $25-30+5=0$ și $1-6+5=0$.

Problemă cu text. Lungimea unui dreptunghi este cu $3$ cm mai mare decât lățimea, iar aria este $40$ cm${}^2$. Află lățimea.

1. Notăm lățimea cu $x$ cm; lungimea este $x+3$ cm. Ecuația ariei este $x(x+3)=40$.
2. O aducem la forma $x^2+3x-40=0$ și descompunem: $(x+8)(x-5)=0$.
3. Rezultă $x=-8$ sau $x=5$. Lățimea este pozitivă, deci rămâne $x=5$.
4. Verificăm: $5\cdot 8=40$.

Pentru $a{x}^2+bx+c=0$ cu $a\ne 0$ se definește discriminantul $\Delta =b^2-4ac$. Formula rezultă prin completarea pătratului:

1. Înmulțim ecuația cu $4a\ne 0$: $4a^2{x}^2+4abx+4ac=0$.
2. Observăm că $4a^2{x}^2+4abx=(2ax+b{)}^2-b^2$, deci ecuația devine $(2ax+b{)}^2=b^2-4ac=\Delta$.
3. Un pătrat este egal cu $\Delta$ numai dacă $\Delta \ge 0$, iar atunci $2ax+b=\pm \sqrt{\Delta }$, de unde $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.

Din pasul 3 se văd și cazurile. Dacă $\Delta >0$, ecuația are două rădăcini reale distincte; dacă $\Delta =0$, o rădăcină reală dublă; dacă $\Delta <0$, nicio rădăcină reală. În formulă, tot numărătorul $-b\pm \sqrt{\Delta }$ se împarte la $2a$. Dacă $a,b,c$ sunt numere raționale și $\Delta$ este pătratul unui număr rațional, rădăcinile sunt raționale; altfel conțin radicali. Ecuațiile incomplete ($b=0$ sau $c=0$) se rezolvă mai repede fără $\Delta$, prin $x^2=-\frac{c}{a}$ sau prin factor comun; formula se folosește când descompunerea în factori nu se vede. Ecuațiile cu coeficienți fracționari se înmulțesc mai întâi cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor: $\frac{x^2}{2}-\frac{3x}{2}-2=0$ devine $x^2-3x-4=0$, cu $\Delta =25$ și rădăcinile $4$ și $-1$.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $2x^2-7x+3=0$.

1. Identificăm $a=2$, $b=-7$ și $c=3$.
2. $\Delta =49-24=25$.
3. $x_{1,2}=\frac{7\pm 5}{4}$, deci $x_1=3$ și $x_2=\frac{1}{2}$.
4. Verificăm: $2\cdot 9-21+3=0$ și $2\cdot \frac{1}{4}-\frac{7}{2}+3=0$.

Când $\Delta \ge 0$, trinomul se descompune în factori: $a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$. Pentru $2x^2-7x+3$, cu rădăcinile $3$ și $\frac{1}{2}$, avem $2(x-3)\left(x-\frac{1}{2}\right)=(x-3)(2x-1)$, iar înmulțirea factorilor dă din nou $2x^2-7x+3$. Dacă $\Delta <0$, trinomul nu se descompune în factori reali de gradul întâi.

Numărul rădăcinilor reale se citește și pe grafic: rădăcinile ecuației $a{x}^2+bx+c=0$ sunt abscisele punctelor în care parabola $y=a{x}^2+bx+c$ taie axa $Ox$. Pentru $\Delta >0$ parabola taie axa în două puncte, pentru $\Delta =0$ o atinge într-un singur punct, iar pentru $\Delta <0$ axa nu este intersectată.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $4x^2-12x+9=0$. Avem $\Delta =144-144=0$, deci ecuația are rădăcina dublă $x=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$. Același rezultat se vede din formula pătratului: $4x^2-12x+9=(2x-3{)}^2$.

În clasa a X-a, ecuația cu $\Delta <0$ se rezolvă în mulțimea numerelor complexe, cu $i^2=-1$: rădăcinile sunt $x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}$ și sunt conjugate. Exemplu rezolvat. Pentru $x^2-2x+5=0$ avem $\Delta =4-20=-16$, deci $x_{1,2}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$. Ecuația nu are rădăcini reale.

Când coeficienții depind de un parametru, numărul rădăcinilor se discută după semnul discriminantului. Exemplu rezolvat. Pentru $x^2-4x+m=0$ avem $\Delta =16-4m$. Ecuația are două rădăcini reale distincte pentru $m<4$, rădăcina dublă $x=2$ pentru $m=4$ și nicio rădăcină reală pentru $m>4$. Între rădăcini și coeficienți există relații care se studiază în Relațiile lui Viète.

Problemele care duc la ecuații de gradul al doilea cer, ca și în clasa a VIII-a, să verifici soluțiile în context. Exemplu rezolvat. Suma pătratelor a două numere naturale consecutive este $61$. Care sunt numerele?

1. Notăm numerele cu $x$ și $x+1$; ecuația este $x^2+(x+1{)}^2=61$.
2. Desfacem parantezele: $2x^2+2x+1=61$, adică $x^2+x-30=0$.
3. $\Delta =1+120=121$, deci $x=\frac{-1\pm 11}{2}$, adică $x=5$ sau $x=-6$.
4. Numerele sunt naturale, deci rămâne $x=5$; numerele sunt $5$ și $6$.
5. Verificăm: $25+36=61$.

La ecuații cu parametru se calculează discriminantul în funcție de parametru și se rezolvă ecuația sau inecuația obținută, cu atenție la semnul fiecărui termen. Cerința „rădăcină dublă” înseamnă $\Delta =0$.

Problemă. Pentru ce valori ale lui $m\in \mathbb{R}$ ecuația $x^2+mx+m+3=0$ are o rădăcină reală dublă?

• a) $m=6$
• b) $m=-2$
• c) $m\in \{-2;6\}$
• d) $m\in \{-6;2\}$
• e) $m\in \{2;6\}$
• f) $m\in \varnothing$

Rezolvare. Discriminantul este $\Delta =m^2-4(m+3)=m^2-4m-12=(m-6)(m+2)$. Rădăcina dublă cere $\Delta =0$, deci $m=6$ sau $m=-2$. Verificare: pentru $m=6$ ecuația este $x^2+6x+9=(x+3{)}^2=0$, cu rădăcina dublă $-3$; pentru $m=-2$ ecuația este $x^2-2x+1=(x-1{)}^2=0$, cu rădăcina dublă $1$. Răspunsul corect este c). Variantele a) și b) rețin o singură valoare, iar d) provine dintr-un discriminant scris greșit ca $m^2+4m-12$.

Dacă enunțul nu precizează gradul, coeficientul lui $x^2$ trebuie discutat separat. Alt exemplu. Ecuația $m{x}^2-2x+1=0$ cu $m\in \mathbb{R}$ se studiază astfel: pentru $m=0$ este ecuația de gradul întâi $-2x+1=0$, cu soluția $\frac{1}{2}$; pentru $m\ne 0$ avem $\Delta =4-4m$, deci rădăcini reale dacă și numai dacă $m\le 1$. În total, soluții reale există pentru $m\le 1$, iar dacă se cere o ecuație de gradul al doilea cu rădăcini reale, răspunsul este $m\in (-\infty ;1]\setminus \{0\}$.

Alt exemplu. Ecuația $x^2-(m+1)x+m=0$ se scrie $(x-1)(x-m)=0$, cu rădăcinile $1$ și $m$, reale pentru orice $m\in \mathbb{R}$. Sunt distincte dacă și numai dacă $m\ne 1$. Ambele sunt strict pozitive dacă și numai dacă $m>0$, deci pentru rădăcini pozitive distincte se cer simultan $m>0$ și $m\ne 1$. Pentru $m=1$ apare rădăcina dublă $1$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $\sqrt{9}=\pm 3$.
  Corect: $\sqrt{9}=3$, iar ecuația $x^2=9$ are soluțiile $3$ și $-3$.
• Greșit: formula discriminantului se aplică și dacă $a=0$.
  Corect: pentru $a=0$ ecuația este cel mult de gradul întâi.
• Greșit: $\Delta <0$ înseamnă două soluții reale negative.
  Corect: nu există soluții reale.
• Greșit: ecuația $x^2-5x=0$ se împarte la $x$ și se obține doar $x=5$.
  Corect: se scoate factor comun, $x(x-5)=0$, deci $x=0$ sau $x=5$.
• Greșit: $x=-b\pm \frac{\sqrt{\Delta }}{2a}$.
  Corect: $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$; la ecuația $2x^2-7x+3=0$, formula scrisă greșit ar da altă valoare decât $3$ și $\frac{1}{2}$.
• Greșit: din $(x-2)(x-3)=6$ rezultă $x-2=6$ sau $x-3=6$.
  Corect: produsul este $6$, nu $0$; ecuația se aduce la $x^2-5x=0$, cu soluțiile $0$ și $5$.

Înainte și după

Întrebări frecvente