Rapoarte trigonometrice în triunghiul dreptunghic

Într-un triunghi dreptunghic, latura din fața unghiului drept se numește ipotenuză. Alegem un unghi ascuțit $\alpha$. Cateta din fața lui este cateta opusă, iar cealaltă catetă, care se sprijină pe unghiul $\alpha$, este cateta alăturată.

Rapoartele trigonometrice ale unghiului $\alpha$ sunt:

• sinusul: $\sin \alpha =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}}$;
• cosinusul: $\cos \alpha =\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza˘}}$;
• tangenta: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}}$;
• cotangenta: $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{cateta opusa˘}}$.

Valoarea unui raport depinde numai de unghi, nu de mărimea triunghiului. Două triunghiuri dreptunghice cu același unghi ascuțit sunt asemenea, iar la triunghiuri asemenea rapoartele laturilor corespunzătoare sunt egale. Fiecare catetă este mai mică decât ipotenuza, de aceea $0<\sin \alpha <1$ și $0<\cos \alpha <1$ pentru orice unghi ascuțit.

Exemplu rezolvat. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic are $10$ cm, iar cateta opusă lui $\alpha$ are $6$ cm.

1. $\sin \alpha =\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.
2. Cealaltă catetă, din teorema lui Pitagora, este $\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$ cm.
3. $\cos \alpha =\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ și $\mathrm{tg}\alpha =\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.

Unghiurile de $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ și $60^{\circ }$. Valorile lor se află din două figuri. Un triunghi echilateral cu latura $2$ are înălțimea $\sqrt{3}$; înălțimea îl împarte în două triunghiuri dreptunghice cu catetele $1$ și $\sqrt{3}$ și cu ipotenuza $2$. Un pătrat cu latura $1$ are diagonala $\sqrt{2}$ și o împarte în două triunghiuri dreptunghice isoscele.

Exemplu rezolvat. În triunghiul cu catetele $1$ și $\sqrt{3}$ și ipotenuza $2$, unghiul de $30^{\circ }$ se află în fața catetei $1$.

1. $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. $\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ și $\mathrm{ctg}30^{\circ }=\sqrt{3}$.
3. Unghiul de $60^{\circ }$ are cateta opusă $\sqrt{3}$, deci rolurile catetelor se inversează față de $30^{\circ }$.

În triunghiul dreptunghic isoscel cu catetele $1$ și ipotenuza $\sqrt{2}$ se obțin valorile pentru $45^{\circ }$. Rezultatele sunt adunate în tabel:

Cum alegi raportul. Marchezi unghiul și vezi ce laturi apar în problemă. Ipotenuza și cateta opusă duc la sinus, ipotenuza și cateta alăturată duc la cosinus, iar cele două catete duc la tangentă sau la cotangentă. De exemplu, dacă unghiul este de $30^{\circ }$ și cateta alăturată are $9$ cm, cateta opusă este $9\cdot \mathrm{tg}30^{\circ }=3\sqrt{3}$ cm.

Rapoartele unui unghi sunt legate între ele. Din definiții rezultă $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ și $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }$. Cu catetele $a$ (opusă) și $b$ (alăturată) și ipotenuza $c$, teorema lui Pitagora dă ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=1$. Unghiurile ascuțite ale triunghiului sunt complementare, iar cateta opusă unuia este alăturată celuilalt. De aceea $\sin (90^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha$ și $\mathrm{tg}(90^{\circ }-\alpha )=\mathrm{ctg}\alpha$.

Rapoartele permit calculul laturilor dintr-un triunghi dreptunghic când se cunosc o latură și un unghi ascuțit. Dacă ipotenuza este $c$, catetele sunt $c\sin \alpha$ și $c\cos \alpha$. Dacă se cunoaște cateta alăturată $b$, cateta opusă este $b\mathrm{tg}\alpha$. Invers, dacă se cunosc două laturi, raportul lor determină unghiul. La problemele cu înălțimi și distanțe se identifică mai întâi triunghiul dreptunghic și unghiul dintre segmentul oblic și orizontală. Schimbarea unghiului de referință inversează rolurile catetelor.

Din $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ rezultă că într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de $30^{\circ }$ cateta opusă lui este jumătate din ipotenuză. Reciproca este adevărată: dacă o catetă este jumătate din ipotenuză, unghiul opus ei are $30^{\circ }$. Proprietatea servește și ca probă a calculelor.

Exemplu rezolvat. O scară de $5$ m este sprijinită de un perete vertical și formează cu solul orizontal un unghi de $60^{\circ }$.

1. Scara este ipotenuza, iar înălțimea atinsă pe perete este cateta opusă unghiului de la sol.
2. Înălțimea este $h=5\sin 60^{\circ }=\frac{5\sqrt{3}}{2}$ m.
3. Distanța dintre piciorul scării și perete este $d=5\cos 60^{\circ }=\frac{5}{2}$ m.
4. Verificare prin Pitagora: $h^2+d^2=\frac{75}{4}+\frac{25}{4}=25$, pătratul lungimii scării.

Exemplu rezolvat. Un copac aruncă pe teren orizontal o umbră de $12$ m, iar razele Soarelui fac cu solul un unghi de $30^{\circ }$. Aflăm înălțimea copacului.

1. Copacul, umbra și raza care trece prin vârf formează un triunghi dreptunghic. Umbra este cateta alăturată unghiului de $30^{\circ }$, iar copacul este cateta opusă.
2. Din $\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{h}{12}$ rezultă $h=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$ m, adică aproximativ $6,9$ m.

Exemplu rezolvat. Un triunghi isoscel are baza $10$ cm și unghiurile de la bază de $30^{\circ }$. Calculăm înălțimea și laturile egale.

1. Înălțimea corespunzătoare bazei împarte baza în două segmente de $5$ cm și formează un triunghi dreptunghic cu unghiul de $30^{\circ }$.
2. Înălțimea este cateta opusă: $h=5\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{5\sqrt{3}}{3}$ cm.
3. Latura egală este ipotenuza: $\ell =\frac{5}{\cos 30^{\circ }}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$ cm.

Când se cunosc două laturi, raportul lor dă unghiul, dacă raportul este una dintre valorile din tabel. Pentru alte rapoarte unghiul se citește cu calculatorul.

Exemplu rezolvat. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ cm și $BC=12$ cm. Aflăm unghiurile și cateta $AC$.

1. Cateta $AB$ este alăturată unghiului $B$, iar $BC$ este ipotenuza, deci $\cos B=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
2. Valoarea $\frac{1}{2}$ este cosinusul lui $60^{\circ }$, deci $m(\sphericalangle B)=60^{\circ }$ și $m(\sphericalangle C)=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$.
3. Cateta $AC$ este opusă unghiului $B$: $AC=12\sin 60^{\circ }=6\sqrt{3}$ cm. Verificare: $\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: înălțimea atinsă de scara din exemplu este $5\cos 60^{\circ }$.
  Corect: ea este cateta opusă unghiului de la sol, deci se folosește sinusul.
• Greșit: schimbarea unghiului ascuțit schimbă și ipotenuza.
  Corect: ipotenuza rămâne latura din fața unghiului drept; numai rolurile catetelor se inversează.
• Greșit: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}}$.
  Corect: tangenta este raportul catetelor, opusă supra alăturată; raportul dintre cateta opusă și ipotenuză este sinusul.
• Greșit: într-un triunghi dreptunghic există un unghi ascuțit cu $\sin \alpha =1,2$.
  Corect: cateta este mai mică decât ipotenuza, deci sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit sunt între $0$ și $1$.

Înainte și după