Sisteme de ecuații liniare

Un sistem de ecuații cere valori ale necunoscutelor care verifică toate ecuațiile în același timp. De exemplu, pentru $x+y=7$ și $x-y=1$, perechea $(4;3)$ este soluție, fiindcă $4+3=7$ și $4-3=1$. Perechea $(5;2)$ verifică doar prima ecuație ($5+2=7$, dar $5-2=3$), deci nu este soluția sistemului.

Două metode de rezolvare sunt substituția și reducerea. La substituție, exprimi o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă; de pildă, din $x+y=7$ scrii $x=7-y$. La reducere, aduni sau scazi ecuațiile, după ce le-ai înmulțit eventual cu numere nenule, astfel încât o necunoscută să dispară; ea merge bine când coeficienții unei necunoscute sunt egali sau opuși. Ambele metode transformă sistemul într-o ecuație cu o singură necunoscută, iar apoi a doua necunoscută se află prin înlocuire.

Când nicio necunoscută nu are coeficienți egali sau opuși, înmulțești mai întâi o ecuație. De exemplu, pentru $2x+3y=12$ și $3x-y=7$, înmulțești a doua ecuație cu $3$ și obții $9x-3y=21$. Adunând-o cu prima, termenii cu $y$ dispar: $11x=33$, deci $x=3$, iar din $3\cdot 3-y=7$ rezultă $y=2$.

Într-o problemă cu obiecte sau prețuri, definești mai întâi ce înseamnă fiecare literă. După calcul, verifici perechea în ambele relații și în context.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $\{\begin{array}{l}x+y=7\\ x-y=1.\end{array}$

1. Adunăm ecuațiile: $2x=8$.
2. Împărțim la $2$: $x=4$.
3. Din $x+y=7$ rezultă $y=3$.
4. Verificăm: $4-3=1$.

Soluția este $(4;3)$.

Problemă cu text. $3$ caiete și $2$ pixuri costă $29$ de lei, iar un caiet și $4$ pixuri costă $23$ de lei. Cât costă un caiet și cât un pix?

1. Notăm cu $c$ prețul unui caiet și cu $p$ prețul unui pix, în lei. Sistemul este $3c+2p=29$ și $c+4p=23$.
2. Din a doua ecuație, $c=23-4p$.
3. Înlocuim în prima: $3(23-4p)+2p=29$, adică $69-10p=29$, deci $p=4$.
4. Atunci $c=23-16=7$.
5. Verificăm: $3\cdot 7+2\cdot 4=29$ și $7+4\cdot 4=23$.

Răspuns: caietul costă $7$ lei, pixul $4$ lei.

Grafic, fiecare ecuație $ax+by=c$, cu $a$ și $b$ nu simultan nuli, reprezintă o dreaptă. Soluțiile sistemului sunt coordonatele punctelor comune ale dreptelor. Două drepte se pot tăia într-un punct (o soluție), pot fi paralele (nicio soluție) sau pot coincide (infinit de multe soluții). Sistemul $x+y=7$, $x+y=9$ nu are soluții, deoarece o sumă nu poate fi și $7$, și $9$; sistemul $x+y=7$, $2x+2y=14$ are infinit de multe soluții, fiindcă a doua ecuație este dublul primeia.

Pentru sistemul $a_{1}x+b_{1}y=c_1$, $a_{2}x+b_{2}y=c_2$ se definește determinantul $D=a_1{b}_2-a_2{b}_1$. Dacă $D\ne 0$, sistemul are soluție unică, dată de formulele lui Cramer: $x=\frac{D_x}{D}$ și $y=\frac{D_y}{D}$, unde $D_x=c_1{b}_2-c_2{b}_1$ și $D_y=a_1{c}_2-a_2{c}_1$. Geometric, $D\ne 0$ înseamnă drepte secante. Dacă $D=0$, dreptele sunt paralele sau coincid: termenii liberi hotărăsc dacă ecuațiile sunt compatibile (coincid) sau incompatibile (paralele, fără soluții).

Același lucru se citește din proporții. Dacă toți coeficienții sunt nenuli, sistemul are soluție unică atunci când $\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}$, are infinit de multe soluții atunci când $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ și nu are soluții atunci când $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$. Metoda reducerii, aplicată sistematic, se numește metoda lui Gauss: se elimină pe rând câte o necunoscută, până când ultima ecuație are o singură necunoscută, apoi se urcă înapoi prin înlocuire. Ea funcționează la orice număr de ecuații și necunoscute.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $3x+2y=7$ și $x-4y=-7$ cu formulele lui Cramer.

1. $D=3\cdot (-4)-1\cdot 2=-14\ne 0$, deci soluția este unică.
2. $D_x=7\cdot (-4)-(-7)\cdot 2=-14$, deci $x=\frac{-14}{-14}=1$.
3. $D_y=3\cdot (-7)-1\cdot 7=-28$, deci $y=\frac{-28}{-14}=2$.
4. Verificăm: $3\cdot 1+2\cdot 2=7$ și $1-4\cdot 2=-7$.

Exemplu rezolvat. Discută după $m$ sistemul $x+2y=1$, $2x+4y=m$. Coeficienții sunt proporționali, deci $D=1\cdot 4-2\cdot 2=0$ pentru orice $m$. A doua ecuație este $2(x+2y)=m$. Dacă $m=2$, ea coincide cu prima, iar sistemul are infinit de multe soluții $(1-2s;s)$, cu $s\in \mathbb{R}$. Dacă $m\ne 2$, din prima ecuație $2(x+2y)=2$, deci $2=m$, contradicție: sistemul nu are soluții.

Reducerea se aplică și la trei necunoscute. Exemplu rezolvat. Rezolvă $x+y+z=6$, $x-y+z=2$, $2x+y-z=1$.

1. Scădem a doua ecuație din prima: $2y=4$, deci $y=2$.
2. Înlocuim $y=2$ în primele ecuații: $x+z=4$, iar în a treia $2x-z=-1$.
3. Adunăm: $3x=3$, deci $x=1$ și $z=3$.
4. Verificăm: $1+2+3=6$, $1-2+3=2$, $2+2-3=1$.

Verificarea se face în toate cele trei ecuații: un triplet care verifică doar două dintre ele nu este soluția sistemului. Sistemele liniare modelează probleme cu mărimi legate între ele. Exemplu rezolvat. Suma de $10000$ lei este împărțită în două depozite, unul cu dobânda de $3\%$ pe an și altul cu $5\%$. Dobânda totală este $380$ lei. Notăm cu $x$ și $y$ sumele depuse. Avem $x+y=10000$ și $0,03x+0,05y=380$. Din prima, $x=10000-y$; înlocuim în a doua: $300-0,03y+0,05y=380$, deci $0,02y=80$ și $y=4000$, iar $x=6000$. Verificare: $0,03\cdot 6000+0,05\cdot 4000=180+200=380$.

Dacă la reducere se ajunge la $0=0$, ecuația nu adaugă nicio restricție, iar o necunoscută rămâne liberă și se notează cu un parametru. Dacă se ajunge la $0$ egal cu un număr nenul, sistemul este incompatibil. Exemplu rezolvat. Sistemul format din ecuațiile $x+2y-z=1$ și $2x+4y-2z=2$ se reduce la prima ecuație, fiindcă a doua este dublul ei. Alegem liber $y=s$ și $z=t$, cu $s,t\in \mathbb{R}$, și obținem $x=1-2s+t$. Soluțiile sunt $(1-2s+t;s;t)$. De exemplu, pentru $s=0$ și $t=0$ se obține $(1;0;0)$, un caz particular din această familie.

Problemele de examen cer de obicei discuția unui sistem cu parametru: se calculează determinantul sistemului, apoi se studiază separat valorile care îl anulează.

Problemă. Pentru ce valoare a lui $a\in \mathbb{R}$ sistemul $x+2y=3$, $2x+ay=5$ nu are soluții?

• a) $a=2$
• b) $a=-4$
• c) $a=4$
• d) $a\in \mathbb{R}\setminus \{4\}$
• e) $a=0$
• f) pentru nicio valoare a lui $a$

Rezolvare. Determinantul sistemului este $D=1\cdot a-2\cdot 2=a-4$. Dacă $a\ne 4$, sistemul are soluție unică: $x=\frac{3a-10}{a-4}$, $y=\frac{-1}{a-4}$. Dacă $a=4$, a doua ecuație este $2x+4y=5$, iar prima, înmulțită cu $2$, dă $2x+4y=6$. Cele două relații se contrazic ($5\ne 6$), deci sistemul nu are soluții. Răspunsul corect este c). Varianta b) rezultă dintr-un determinant calculat greșit ca $a+4$, iar varianta d) descrie cazul soluției unice.

Același răspuns rezultă din proporții: $\frac{1}{2}=\frac{2}{a}$ dă $a=4$, iar $\frac{1}{2}\ne \frac{3}{5}$, deci pentru $a=4$ dreptele sunt paralele și distincte. Când variantele sunt valori numerice, se poate și înlocui fiecare valoare în sistem, dar discuția cu determinantul este mai sigură, fiindcă arată și ce se întâmplă pentru celelalte valori ale parametrului.

Alt exemplu. Rezolvă sistemul omogen $x+y+z=0$, $x-y+z=0$, $x+z=0$. Scăderea primelor două ecuații dă $2y=0$, deci $y=0$. A treia ecuație dă $x=-z$, iar prima este apoi verificată. Soluțiile sunt $(-t;0;t)$, cu $t\in \mathbb{R}$; sistemul are și soluții nenule. De exemplu, pentru $t=1$ se obține tripletul $(-1;0;1)$, iar verificarea dă $-1+0+1=0$, $-1-0+1=0$ și $-1+1=0$. Un sistem omogen are întotdeauna cel puțin soluția nulă $(0;0;0)$; aici apar și altele pentru că a treia ecuație se obține din primele două.

Greșeli frecvente

• Greșit: perechea găsită se verifică doar în prima ecuație.
  Corect: se verifică în ambele ecuații; perechea $(5;2)$ verifică $x+y=7$, dar nu și $x-y=1$.
• Greșit: la reducere, din $3x-2y=9$ se scade $x-2y=3$ și se obține $2x-4y=6$.
  Corect: $-2y-(-2y)=0$, deci rezultatul este $2x=6$ și $x=3$.
• Greșit: se înmulțește cu $2$ ecuația $x+3y=5$ și se scrie $2x+6y=5$.
  Corect: se înmulțesc ambii membri, deci $2x+6y=10$.
• Greșit: sistemul $x+y=7$, $2x+2y=14$ are soluție unică.
  Corect: a doua ecuație este dublul primeia, deci perechile $(x;7-x)$ sunt toate soluții.
• Greșit: din $0=0$ deducem că necunoscutele sunt zero.
  Corect: egalitatea nu impune nicio valoare; soluțiile rămân cele date de celelalte ecuații, cu o necunoscută liberă.

Înainte și după