Convexitate și concavitate

O funcție derivabilă este convexă pe un interval dacă graficul ei se află deasupra tangentelor duse în punctele intervalului (graficul are forma unui „bol”, ca la $x^2$). Este concavă dacă graficul se află sub tangente (forma unui „deal”, ca la $-x^2$). Pentru o funcție de două ori derivabilă, derivata a doua decide: $f^{\prime \prime }\ge 0$ pe interval înseamnă funcție convexă, iar $f^{\prime \prime }\le 0$ înseamnă funcție concavă. Motivul este că $f^{\prime \prime }$ arată cum variază panta $f^{\prime }$: dacă panta crește, graficul se curbează în sus. Un punct de inflexiune este un punct al graficului în care funcția trece de la convexă la concavă sau invers.

Exemplu rezolvat. Studiem convexitatea funcției $f(x)=x^3$.

1. $f^{\prime }(x)=3x^2$ și $f^{\prime \prime }(x)=6x$.
2. Pentru $x<0$, $f^{\prime \prime }(x)<0$, deci $f$ este concavă pe $(-\infty ;0]$; pentru $x>0$, $f^{\prime \prime }(x)>0$, deci $f$ este convexă pe $[0;+\infty )$.
3. Convexitatea se schimbă în $x=0$, deci $(0;0)$ este punct de inflexiune.

Definiția cu coarde. Funcția $f$ este convexă pe intervalul $I$ dacă pentru orice $x_1,x_2\in I$ și orice $t\in [0;1]$ avem $f(t{x}_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)$, adică graficul se află sub fiecare coardă. Pentru concavitate, inegalitatea se inversează. Dacă $f$ este de două ori derivabilă, sunt echivalente: $f$ este convexă pe $I$; $f^{\prime }$ este crescătoare pe $I$; $f^{\prime \prime }\ge 0$ pe $I$.

Punctul de inflexiune. Punctul $x_0$ al domeniului este abscisă de inflexiune dacă $f$ este continuă în $x_0$, graficul are tangentă în $(x_0;f(x_0))$ (eventual verticală) și funcția este convexă de o parte a lui $x_0$ și concavă de cealaltă. Dacă $f^{\prime \prime }$ există, într-un punct de inflexiune $f^{\prime \prime }(x_0)=0$; reciproca nu este adevărată. De aceea, după rezolvarea ecuației $f^{\prime \prime }(x)=0$ se verifică semnul lui $f^{\prime \prime }$ de o parte și de alta a fiecărei soluții. Un punct de inflexiune poate apărea și acolo unde $f^{\prime \prime }$ nu există: la $f(x)=\sqrt[3]{x}$, derivata a doua este $-\frac{2}{9x\sqrt[3]{x^2}}$, pozitivă pe $(-\infty ;0)$ și negativă pe $(0;+\infty )$, iar tangenta în origine este verticală, deci $(0;0)$ este punct de inflexiune.

Exemplu rezolvat. Pentru $g(x)=x^4$, $g^{\prime \prime }(x)=12x^2$. Deși $g^{\prime \prime }(0)=0$, derivata a doua este pozitivă pe ambele părți ale lui $0$, deci $g$ este convexă pe $\mathbb{R}$ și nu există punct de inflexiune. Pentru $h(x)=x^5$, $h^{\prime \prime }(x)=20x^3$ este negativă pentru $x<0$ și pozitivă pentru $x>0$, deci $(0;0)$ este punct de inflexiune.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=x^3-3x^2+2$ avem $f^{\prime \prime }(x)=6x-6=6(x-1)$. Funcția este concavă pe $(-\infty ;1]$ și convexă pe $[1;+\infty )$. Cum $f(1)=1-3+2=0$, punctul de inflexiune este $(1;0)$. Graficul se află sub tangenta din $(1;0)$ pentru $x<1$ și deasupra ei pentru $x>1$.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=\frac{1}{x}$, domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ și $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}$. Pe $(-\infty ;0)$ avem $f^{\prime \prime }<0$, deci funcția este concavă, iar pe $(0;+\infty )$ avem $f^{\prime \prime }>0$, deci este convexă. Convexitatea se schimbă în jurul lui $0$, dar $0$ nu aparține domeniului, iar funcția nu este definită în el. De aceea graficul nu are punct de inflexiune. Cele două intervale de convexitate se dau separat, deoarece reuniunea lor nu este interval.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=x{e}^x$, derivata întâi este $f^{\prime }(x)=(x+1)e^x$, iar derivata a doua este $f^{\prime \prime }(x)=(x+2)e^x$. Factorul $e^x$ este pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime \prime }$ este semnul lui $x+2$: negativ pe $(-\infty ;-2)$ și pozitiv pe $(-2;+\infty )$. Funcția este concavă pe $(-\infty ;-2]$ și convexă pe $[-2;+\infty )$, iar punctul de inflexiune este $\left(-2;-\frac{2}{e^2}\right)$, cu ordonata aproximativ $-0,27$.

Aplicație la inegalități. Pentru $f(x)=e^x$, $f^{\prime \prime }(x)=e^x>0$, deci $f$ este convexă pe $\mathbb{R}$ și graficul se află deasupra tangentei în $(0;1)$, care este $y=x+1$. Rezultă $e^x\ge x+1$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$, cu egalitate numai pentru $x=0$; de exemplu, pentru $x=2$ avem $e^2\approx 7,39\ge 3$. În mod analog, $\ln x$ este concavă pe $(0;+\infty )$ și $\ln x\le x-1$.

La probleme, se calculează $f^{\prime \prime }$, se rezolvă $f^{\prime \prime }(x)=0$, se scrie semnul lui $f^{\prime \prime }$ într-un tabel și se răspunde cu intervalele de convexitate și cu punctele $(x_0;f(x_0))$ în care semnul se schimbă. O rădăcină dublă a lui $f^{\prime \prime }$ nu schimbă semnul, deci nu produce inflexiune.

Problemă. Punctul de inflexiune al graficului funcției $f(x)=3x^5-5x^4$ este:

• a) $(1;-2)$
• b) $(0;0)$
• c) $(0;0)$ și $(1;-2)$
• d) $x=1$
• e) $(1;2)$
• f) graficul nu are puncte de inflexiune

Rezolvare. Avem $f^{\prime }(x)=15x^4-20x^3$ și $f^{\prime \prime }(x)=60x^3-60x^2=60x^2(x-1)$. Zerourile lui $f^{\prime \prime }$ sunt $0$ (dublu) și $1$ (simplu). Factorul $x^2$ este pozitiv pentru $x\ne 0$, deci semnul lui $f^{\prime \prime }$ este semnul lui $x-1$: negativ pe $(-\infty ;0)$ și pe $(0;1)$, nul în $0$ și pozitiv pe $(1;+\infty )$. Convexitatea se schimbă numai în $x=1$, unde $f(1)=3-5=-2$. Punctul de inflexiune este $(1;-2)$. Răspunsul corect este a). Varianta b) reține doar rădăcina dublă $x=0$, fără să verifice semnul. Varianta c) include și $x=0$, deși $f^{\prime \prime }$ nu își schimbă semnul acolo. Varianta d) dă numai abscisa, nu coordonatele punctului. Varianta e) greșește semnul ordonatei, calculând $-3+5$ în loc de $3-5$. Varianta f) elimină ambele rădăcini pe motiv că $x=0$ nu schimbă semnul, dar $x=1$ îl schimbă.

Alt exemplu. Determinăm punctele de inflexiune ale funcției $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$. Derivata a doua este $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2(3x^2-1)}{(x^2+1{)}^3}$, cu zerourile $x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$. Semnul lui $f^{\prime \prime }$ este semnul lui $3x^2-1$: pozitiv în exteriorul acestor valori și negativ între ele, deci semnul se schimbă în ambele puncte. Ordonata este $f\left(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{1}{\frac{1}{3}+1}=\frac{3}{4}$. Punctele de inflexiune sunt $\left(-\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{3}{4}\right)$ și $\left(\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{3}{4}\right)$.

Alt exemplu. Pentru $f(x)=\ln (x^2+1)$, derivata a doua este $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1{)}^2}$. Funcția este convexă pe $[-1;1]$, unde $f^{\prime \prime }\ge 0$, și concavă pe $(-\infty ;-1]$ și pe $[1;+\infty )$. Punctele de inflexiune sunt $(-1;\ln 2)$ și $(1;\ln 2)$.

Greșeli frecvente

• Greșit: orice zero al derivatei a doua este abscisă de inflexiune.
  Corect: trebuie să se schimbe semnul lui $f^{\prime \prime }$; pentru $x^4$, $f^{\prime \prime }(0)=0$, dar nu există inflexiune.
• Greșit: $f^{\prime \prime }>0$ înseamnă că funcția este crescătoare.
  Corect: $f^{\prime \prime }>0$ înseamnă $f^{\prime }$ crescătoare, adică funcție convexă; $x^2$ are $f^{\prime \prime }=2>0$ și descrește pe $(-\infty ;0)$.
• Greșit: punctul de inflexiune al lui $x^3$ este $x=0$.
  Corect: punctul este $(0;0)$, cu ambele coordonate $(x_0;f(x_0))$.
• Greșit: funcția $\ln x$ este convexă, pentru că are graficul „în sus”.
  Corect: $(\ln x{)}^{\prime \prime }=-\frac{1}{x^2}<0$, deci $\ln x$ este concavă pe $(0;+\infty )$.
• Greșit: funcția convexă are graficul sub tangente.
  Corect: graficul unei funcții convexe se află deasupra tangentelor și sub coardele sale.

Înainte și după

Întrebări frecvente