Ecuația dreptei

O dreaptă din plan poate fi descrisă prin $ax+by+c=0$, unde $(a;b)\ne (0;0)$. Un punct aparține dreptei când coordonatele sale satisfac ecuația. Dacă $b\ne 0$, obținem forma $y=mx+n$, cu $m=-a/b$; dreptele verticale au forma $x=k$ și nu se pot scrie $y=mx+n$.

Exemplu rezolvat. Scriem dreapta prin $A(1;2)$ și $B(3;6)$.

1. Diferențele sunt $\Delta x=2$, $\Delta y=4$, deci panta este $m=2$.
2. Folosim $y-2=2(x-1)$.
3. Rezultă $y=2x$; ambele puncte verifică ecuația.

Forma prin punct și pantă este $y-y_0=m(x-x_0)$ pentru o dreaptă neverticală. Vectorul $(a;b)$ este normal pe dreapta $ax+by+c=0$, iar $(b;-a)$ este director. Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă; pentru $x_A=x_B$ ecuația este $x=x_A$. Conversia între forme trebuie să păstreze mulțimea soluțiilor.

Pentru două puncte distincte $A(x_A;y_A)$ și $B(x_B;y_B)$, dreapta $AB$ are ecuația $\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ x_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\end{array}\right|=0$. Dacă $x_A\ne x_B$ și $y_A\ne y_B$, se poate scrie $\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}$. Forma cu determinant rămâne valabilă și pentru o dreaptă verticală.

Două drepte $a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ și $a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ sunt paralele când vectorii lor normali sunt proporționali, adică $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$; pot coincide dacă sunt proporționale și constantele. Exemplu rezolvat. Punctele $A(2;-1)$ și $B(2;4)$ au aceeași abscisă, deci dreapta prin ele este verticală: $x=2$. Nu calculăm panta prin împărțire la $x_B-x_A=0$. Dreapta $x=5$ este paralelă distinctă, iar $y=0$ este perpendiculară pe ambele. În forma generală, $x=2$ se scrie $x-2=0$, cu vector normal $(1;0)$.

Ecuația dreptei prin $(p;0)$ și $(0;q)$, cu $p,q\ne 0$, se scrie în forma cu tăieturile: $\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1$. Două drepte care nu sunt paralele se intersectează într-un singur punct, ale cărui coordonate se află rezolvând sistemul format din cele două ecuații. Dreapta prin $P(x_0;y_0)$ paralelă cu $ax+by+c=0$ are ecuația $ax+by-a{x}_0-b{y}_0=0$, iar cea perpendiculară pe ea are ecuația $bx-ay-b{x}_0+a{y}_0=0$.

Pentru a scrie ecuația unei drepte, alegi forma după datele problemei: dacă ai două puncte, folosești forma prin două puncte; dacă ai un punct și panta, forma punct–pantă; dacă ai punctul și un vector normal, forma generală. Forma $y=mx+n$ spune imediat unde dreapta taie axa $Oy$, în $(0;n)$, iar punctul în care taie axa $Ox$ se află punând $y=0$. Pentru dreapta $3x-2y-6=0$, de exemplu, tăieturile sunt $(2;0)$ și $(0;-3)$. Cu ele poți trasa dreapta rapid: marchezi cele două puncte și le unești, iar a treia verificare se face cu un punct oarecare, de exemplu $(4;3)$, care satisface $3\cdot 4-2\cdot 3-6=0$. Dacă ecuația se înmulțește cu un număr nenul, dreapta rămâne aceeași, deci $6x-4y-12=0$ descrie aceeași dreaptă ca și $3x-2y-6=0$; de aceea se compară rapoartele coeficienților, nu coeficienții înșiși.

Exemplu rezolvat. Scrie ecuațiile dreptelor prin $P(2;1)$, paralelă și perpendiculară pe $3x-2y+5=0$.

1. Paralela păstrează coeficienții $3$ și $-2$: $3x-2y+c=0$. Din $3\cdot 2-2\cdot 1+c=0$ rezultă $c=-4$, deci $3x-2y-4=0$.
2. Perpendiculara are vectorul normal $(2;3)$, adică ecuația $2x+3y+c=0$. Din $2\cdot 2+3\cdot 1+c=0$ rezultă $c=-7$, deci $2x+3y-7=0$.
3. Verificăm perpendicularitatea vectorilor normali: $3\cdot 2+(-2)\cdot 3=0$.

Exemplu rezolvat. Află punctul de intersecție al dreptelor $x+y=5$ și $2x-y=1$.

1. Adunăm ecuațiile: $3x=6$, deci $x=2$.
2. Din prima ecuație, $y=5-2=3$.
3. Verificăm în a doua: $2\cdot 2-3=1$.

Răspuns: $(2;3)$. Dacă sistemul nu are soluție, dreptele sunt paralele distincte; dacă are infinit de multe, ele coincid.

Greșeli frecvente

• Greșit: dreapta prin $P(2;1)$ perpendiculară pe $3x-2y+5=0$ este $3x-2y+c=0$.
  Corect: aceea este paralela; perpendiculara folosește vectorul normal rotit, $2x+3y+c=0$.
• Greșit: orice dreaptă are pantă numerică.
  Corect: o dreaptă verticală nu are pantă definită.
• Greșit: $a=b=0$ descrie tot o dreaptă.
  Corect: cel puțin unul dintre coeficienți trebuie să fie nenul.
• Greșit: verificarea unui singur punct dovedește că două ecuații dau aceeași dreaptă.
  Corect: se compară întregile mulțimi de soluții.

Înainte și după

Întrebări frecvente