Limite remarcabile

Limitele remarcabile sunt limite cunoscute, care servesc drept model pentru expresii mai complicate. Patru dintre ele pornesc de la $x\to 0$, cu unghiul $x$ măsurat în radiani: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$, ${\lim }_{x\to 0}\frac{\mathrm{tg}x}{x}=1$, ${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$ și ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$. Ele rămân adevărate dacă $x$ este înlocuit cu o expresie $u(x)$ care tinde la $0$ și este nenulă lângă punctul de limită; de exemplu, ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{3x}=1$. Metoda este aceeași în toate cazurile: expresia se amplifică și se împarte cu argumentul funcției, astfel încât să apară exact modelul.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (3x)}{x}$.

1. Scriem $\frac{\sin (3x)}{x}=3\cdot \frac{\sin (3x)}{3x}$ pentru $x\ne 0$.
2. Punem $u=3x$; atunci $u\to 0$ și $\frac{\sin u}{u}\to 1$.
3. Limita este $3\cdot 1=3$.

Restul listei. Din aceeași familie fac parte ${\lim }_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1$ și ${\lim }_{x\to 0}\frac{\mathrm{arctg}x}{x}=1$. Pentru exponențială și putere: ${\lim }_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$ pentru orice $a>0$ și ${\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^r-1}{x}=r$ pentru orice $r\in \mathbb{R}$. Numărul $e$ apare în ${\lim }_{x\to 0}(1+x{)}^{1/x}=e$ și în ${\lim }_{x\to \pm \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$. În forma generală, $\lim {\left(1+\frac{1}{v(x)}\right)}^{v(x)}=e$ când $v(x)\to +\infty$ sau $v(x)\to -\infty$, iar $\lim (1+u(x){)}^{1/u(x)}=e$ când $u(x)\to 0$, $u(x)\ne 0$. Din $1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2}$ rezultă ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$.

Unghiul în radiani este esențial: dacă $x$ ar fi dat în grade, atunci $\sin x^{\circ }=\sin \frac{\pi x}{180}$ și ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x^{\circ }}{x}=\frac{\pi }{180}$.

De unde provin. Pe cercul trigonometric, compararea ariilor dă $\sin x<x<\mathrm{tg}x$ pentru $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$. Împărțind cu $\sin x>0$ obținem $1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$, deci $\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$. Cum $\cos x\to 1$, criteriul cleștelui dă limita $1$ la dreapta lui $0$; la stânga rezultă din faptul că $\frac{\sin x}{x}$ este o funcție pară. Apoi $\frac{\mathrm{tg}x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x}\to 1$. Din $(1+x{)}^{1/x}\to e$ și din continuitatea logaritmului rezultă $\frac{\ln (1+x)}{x}=\ln \left[(1+x{)}^{1/x}\right]\to \ln e=1$. Limitele cu $\arcsin$ și $\mathrm{arctg}$ rezultă din substituțiile $t=\arcsin x$, respectiv $t=\mathrm{arctg}x$, care dau $\frac{\arcsin x}{x}=\frac{t}{\sin t}$ și $\frac{\mathrm{arctg}x}{x}=\frac{t}{\mathrm{tg}t}$, cu $t\to 0$. Cu substituția $t=e^x-1$ (atunci $t\to 0$ și $x=\ln (1+t)$) avem $\frac{e^x-1}{x}=\frac{t}{\ln (1+t)}\to 1$. În sfârșit, pentru $a>0$, $a\ne 1$, $\frac{a^x-1}{x}=\ln a\cdot \frac{e^{x\ln a}-1}{x\ln a}\to \ln a$, iar pentru $r\ne 0$, $\frac{(1+x{)}^r-1}{x}=\frac{e^{r\ln (1+x)}-1}{r\ln (1+x)}\cdot r\cdot \frac{\ln (1+x)}{x}\to r$.

Regulă pentru $1^{\infty }$. Dacă $u(x)\to 0$, $u(x)\ne 0$, iar $u(x)\cdot v(x)\to l$ cu $l$ real, atunci $(1+u(x){)}^{v(x)}={\left[(1+u(x){)}^{1/u(x)}\right]}^{u(x)v(x)}\to e^l$. Cazul $u=\frac{3}{x}$, $v=x$ apare în al doilea exemplu de mai jos, rezolvat și prin substituție directă. Alt caz: în ${\lim }_{x\to 0}(1+2x{)}^{3/x}$ avem $u=2x$ și $v=\frac{3}{x}$, deci $uv=6$ și limita este $e^6$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{x\to 0}\frac{\mathrm{tg}(5x)}{\sin (2x)}$. Pentru $x\ne 0$ scriem raportul ca $\frac{\mathrm{tg}(5x)}{5x}\cdot \frac{2x}{\sin (2x)}\cdot \frac{5x}{2x}$, unde ultimul factor este $\frac{5}{2}$. Primii doi factori tind la $1$, deci limita este $\frac{5}{2}$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{x\to +\infty }{\left(1+\frac{3}{x}\right)}^x$. Notăm $v=\frac{x}{3}$, deci $v\to +\infty$ și $x=3v$. Expresia devine ${\left[{\left(1+\frac{1}{v}\right)}^v\right]}^3$, iar paranteza tinde la $e$. Limita este $e^3$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{x\to 0}\frac{2^x-3^x}{x}$. Scădem și adunăm $1$ la numărător: $\frac{2^x-3^x}{x}=\frac{2^x-1}{x}-\frac{3^x-1}{x}$. Primul raport tinde la $\ln 2$, al doilea la $\ln 3$, deci limita este $\ln 2-\ln 3=\ln \frac{2}{3}$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\lim }_{x\to 0}\frac{\arcsin (2x)-\mathrm{arctg}(3x)}{x}$. Separăm diferența în două rapoarte: $\frac{\arcsin (2x)}{x}=2\cdot \frac{\arcsin (2x)}{2x}\to 2$ și $\frac{\mathrm{arctg}(3x)}{x}=3\cdot \frac{\mathrm{arctg}(3x)}{3x}\to 3$. Fiecare limită există și este finită, deci limita diferenței este $2-3=-1$.

Cum alegi modelul. Se identifică funcția al cărei argument tinde la $0$ și se caută raportul în care apare. Dacă este $\sin u$, $\mathrm{tg}u$, $\arcsin u$ sau $\mathrm{arctg}u$, numitorul trebuie adus la forma $u$. Dacă este $\ln (1+u)$, se împarte la $u$. Dacă este $a^u-1$, se împarte la $u$ și rezultatul se înmulțește cu $\ln a$. Dacă baza este $1+u$ și exponentul este mare, se aplică regula pentru $1^{\infty }$. Factorul numeric care lipsește se introduce în același timp la numărător și la numitor, ca valoarea expresiei să nu se schimbe.

În toate transformările, argumentul funcției trebuie să tindă la $0$ (respectiv $v$ la infinit) chiar în punctul în care se calculează limita. De exemplu, ${\lim }_{x\to 1}\frac{\sin x}{x}=\sin 1$ se obține prin substituție, nu din modelul $\frac{\sin x}{x}\to 1$, care cere $x\to 0$.

Limitele cu $1-\cos u$ se reduc la $\sin$ prin $1-\cos u=2{\sin }^2\frac{u}{2}$. Argumentul din model trebuie să fie același cu cel din numitor, deci se compensează cu un factor numeric.

Problemă. Valoarea limitei ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos 4x}{x^2}$ este:

• a) $\frac{1}{2}$
• b) $4$
• c) $16$
• d) $+\infty$
• e) $8$
• f) $0$

Rezolvare. Folosim $1-\cos 4x=2{\sin }^2(2x)$. Pentru $x\ne 0$ raportul este $2\cdot \frac{{\sin }^2(2x)}{x^2}=2\cdot 4\cdot {\left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)}^2$. Parantezele tind la $1$, deci limita este $8$. Numeric, pentru $x=0,01$ valoarea este aproximativ $7,999$. Răspunsul corect este e). Varianta a) aplică $\frac{1-\cos u}{u^2}\to \frac{1}{2}$ fără să țină cont că $u=4x$, deci $u^2=16x^2$. Varianta c) folosește $\frac{1-\cos u}{u^2}\to 1$ și pierde factorul $\frac{1}{2}$: $16\cdot 1$. Varianta b) pierde factorul $2$ din $2{\sin }^2(2x)$ și obține $4$. Varianta f) înlocuiește $x=0$ în numărător și scrie $\frac{0}{0}=0$. Varianta d) aproximează $1-\cos 4x$ cu o valoare fixă nenulă și rămâne cu $\frac{1}{x^2}\to +\infty$, deși numărătorul tinde și el la $0$.

Alt exemplu. Calculăm ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^{2x}-e^{-x}}{x}$. Scriem $\frac{e^{2x}-e^{-x}}{x}=\frac{e^{2x}-1}{x}-\frac{e^{-x}-1}{x}$. Primul termen este $2\cdot \frac{e^{2x}-1}{2x}\to 2\cdot 1=2$. Al doilea este $\frac{e^{-x}-1}{x}=-\frac{e^{-x}-1}{-x}\to -1$. Limita este $2-(-1)=3$. Valorile numerice confirmă rezultatul: pentru $x=0,001$ expresia este aproximativ $3,0015$.

Alt exemplu. Calculăm ${\lim }_{x\to +\infty }x\ln \left(1+\frac{4}{x}\right)$. Cu $u=\frac{4}{x}\to 0$ avem $x=\frac{4}{u}$, deci expresia este $4\cdot \frac{\ln (1+u)}{u}\to 4\cdot 1=4$. Forma inițială este $\infty \cdot 0$, pentru că $x\to +\infty$, iar $\ln \left(1+\frac{4}{x}\right)\to 0$; substituția o transformă în raportul din model. Pentru $x=1000$ valoarea este aproximativ $3,992$.

Alt exemplu. Calculăm ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+6x}-1}{x}$. Radicalul este puterea $r=\frac{1}{2}$, iar $u=6x\to 0$. Scriem expresia ca $6\cdot \frac{(1+6x{)}^{1/2}-1}{6x}$ și folosim $\frac{(1+u{)}^r-1}{u}\to r$. Limita este $6\cdot \frac{1}{2}=3$. Verificarea prin amplificare cu conjugata dă același rezultat: $\frac{6x}{x(\sqrt{1+6x}+1)}=\frac{6}{\sqrt{1+6x}+1}\to \frac{6}{2}=3$.

Greșeli frecvente

• Greșit: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ și când $x$ este măsurat în grade.
  Corect: limita standard folosește radiani; în grade limita este $\frac{\pi }{180}$.
• Greșit: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (3x)}{x}=1$.
  Corect: argumentul $3x$ cere factorul $3$, iar limita este $3$.
• Greșit: ${\lim }_{x\to +\infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=1$, pentru că baza tinde la $1$.
  Corect: forma $1^{\infty }$ este nedeterminată, iar această limită este $e$.
• Greșit: ${\lim }_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=1$ pentru orice $a$.
  Corect: limita este $\ln a$ și este $1$ numai pentru $a=e$.
• Greșit: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sin x}{x}=1$.
  Corect: modelul cere $x\to 0$; la infinit, $\left|\frac{\sin x}{x}\right|\le \frac{1}{x}$, deci limita este $0$.

Înainte și după

Întrebări frecvente