Formule integrale: tabelul primitivelor și regulile (PDF)

Primitive uzuale (pe intervale)

Constanta de integrare $C \in R$ ; formulele sunt valabile pe intervale incluse în domeniul indicat.

$f (x)$	$\int f (x) d x$	Condiții
$x^{a}$	$\frac{x ^{a + 1}}{a + 1} + C$	$a \neq = - 1$ ; $x > 0$ (sau $x \in R$ dacă $a \in N$ )
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + C$	$x \neq = 0$ (pe un interval)
$a^{x}$	$\frac{a ^{x}}{ln a} + C$	$a > 0, a \neq = 1$
$e^{x}$	$e^{x} + C$
$sin x$	$- cos x + C$
$cos x$	$sin x + C$
$\frac{1}{cos ^{2} x}$	$tg x + C$	$x \neq = \frac{π}{2} + k π$
$\frac{1}{sin ^{2} x}$	$- ctg x + C$	$x \neq = k π$
$tg x$	$- ln ∣ cos x ∣ + C$	$cos x \neq = 0$
$ctg x$	$ln ∣ sin x ∣ + C$	$sin x \neq = 0$
$\frac{1}{sin x}$	$ln tg \frac{x}{2} + C$	$sin x \neq = 0$
$\frac{1}{cos x}$	$ln tg (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) + C$	$cos x \neq = 0$
$ln x$	$x ln x - x + C$	$x > 0$
$\frac{1}{x ^{2} + a ^{2}}$	$\frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C$	$a > 0$
$\frac{1}{x ^{2} - a ^{2}}$	$\frac{1}{2 a} ln \frac{x - a}{x + a} + C$	$a > 0$ , $x \neq = \pm a$
$\frac{1}{a ^{2} - x ^{2}}$	$arcsin \frac{x}{a} + C$	$a > 0$ , $∣ x ∣ < a$
$\frac{1}{x ^{2} + a ^{2}}$	$ln (x + x^{2} + a^{2}) + C$	$a > 0$
$\frac{1}{x ^{2} - a ^{2}}$	$ln x + x^{2} - a^{2} + C$	$a > 0$ , $∣ x ∣ > a$
$a^{2} - x^{2}$	$\frac{x}{2} a^{2} - x^{2} + \frac{a ^{2}}{2} arcsin \frac{x}{a} + C$	$a > 0$ , $∣ x ∣ \leq a$
$x^{2} + a^{2}$	$\frac{x}{2} x^{2} + a^{2} + \frac{a ^{2}}{2} ln (x + x^{2} + a^{2}) + C$	$a > 0$
$sin^{2} x$	$\frac{x}{2} - \frac{sin 2 x}{4} + C$
$cos^{2} x$	$\frac{x}{2} + \frac{sin 2 x}{4} + C$

Liniaritate: $\int (α f + β g) = α \int f + β \int g$ .

Integrare prin părți: $\int f g^{'} d x = f g - \int f^{'} g d x$ ( $f, g$ de clasă $C^{1}$ ).

Schimbare de variabilă: $\int f (u (x)) u^{'} (x) d x = F (u (x)) + C$ , unde $F^{'} = f$ .

Primitive: o funcție $F$ cu $F^{'} = f$ pe un interval $I$ ; orice alta diferă printr-o constantă.

Descompunere	Condiții
$\frac{1}{( x - a ) ( x - b )} = \frac{1}{a - b} (\frac{1}{x - a} - \frac{1}{x - b})$	$a \neq = b$ , $x \neq = a, b$
$\frac{1}{x ( x + a )} = \frac{1}{a} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + a})$	$a \neq = 0$ , $x \neq = 0, - a$

Proprietate	Formula	Ipoteze
Newton–Leibniz	$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) = F (x)_{a}^{b}$	$f$ continuă pe $[a, b]$ ; $F$ primitivă a lui $f$ pe $[a, b]$
Aditivitate	$\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f$	$f$ continuă pe $[a, b]$ ; $c \in [a, b]$
Inversarea limitelor	$\int_{b}^{a} f = - \int_{a}^{b} f$	$f$ continuă pe intervalul care conține $a$ și $b$
Monotonie	$f \leq g$ pe $[a, b] \Rightarrow \int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$	$a \leq b$ ; $f, g$ continue pe $[a, b]$ (pentru $a > b$ inegalitatea se inversează)
Modul	$\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} ∣ f ∣$	$a \leq b$ ; $f$ continuă pe $[a, b]$
Prin părți	$\int_{a}^{b} f g^{'} = [f g]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} g$	$f, g$ de clasă $C^{1}$ pe $[a, b]$
Schimbare de variabilă	$\int_{a}^{b} f (u (x)) u^{'} (x) d x = \int_{u (a)}^{u (b)} f (t) d t$	$u$ de clasă $C^{1}$ pe $[a, b]$ ; $f$ continuă pe $u ([a, b])$
Funcție impară / pară	$f$ impară: $\int_{- a}^{a} f = 0$ ; $f$ pară: $\int_{- a}^{a} f = 2 \int_{0}^{a} f$	$a > 0$ ; $f$ continuă pe $[- a, a]$
Funcție periodică	$f$ periodică de perioadă $T$ : $\int_{a}^{a + T} f = \int_{0}^{T} f$	$T > 0$ ; $f$ continuă pe $R$

Mărime	Formula	Condiții
Aria subgraficului	$A = \int_{a}^{b} f (x) d x$	$f \geq 0$ continuă pe $[a, b]$
Aria dintre două grafice	$A = \int_{a}^{b} f (x) - g (x) d x$	$f, g$ continue pe $[a, b]$
Volumul corpului de rotație (în jurul $O x$ )	$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$	$f$ continuă, $f \geq 0$
Lungimea graficului	$ℓ = \int_{a}^{b} 1 + (f^{'} (x))^{2} d x$	$f$ de clasă $C^{1}$
Aria laterală a corpului de rotație	$A_{ℓ} = 2 π \int_{a}^{b} f (x) 1 + (f^{'} (x))^{2} d x$	$f \geq 0$ , de clasă $C^{1}$
Valoarea medie pe $[a, b]$	$μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$	$f$ continuă

Integrale definite de funcții continue pe intervalul de integrare; integralele improprii nu fac parte din programa de liceu și nu sunt incluse.