Primitive

Funcția $F$ este primitivă a lui $f$ pe un interval $I$ dacă $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru toate $x\in I$. Dacă $F$ este o primitivă, toate primitivele pe acel interval sunt $F+C$, cu $C\in \mathbb{R}$. Mulțimea lor se numește integrala nedefinită a lui $f$ și se notează $\int f(x)dx$. De exemplu, primitivele lui $2x$ sunt $x^2+C$.

Exemplu rezolvat. Găsim primitivele lui $3x^2-2$.

1. O primitivă a lui $3x^2$ este $x^3$.
2. O primitivă a lui $-2$ este $-2x$.
3. Familia este $F(x)=x^3-2x+C$; derivarea confirmă.

Definiție și unicitate. Fie $I$ un interval și $f:I\to \mathbb{R}$. Funcția $F:I\to \mathbb{R}$ este primitivă a lui $f$ dacă este derivabilă pe $I$ și $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in I$. Dacă $F$ și $G$ sunt primitive ale lui $f$ pe $I$, atunci $(F-G{)}^{\prime }=0$ pe $I$, deci $F-G$ este constantă; aceasta este o consecință a teoremei lui Lagrange, din lecția „Teoremele lui Rolle și Lagrange”. Cuvântul „interval” contează: pe $(-\infty ;0)\cup (0;\infty )$, funcțiile $\ln |x|$ și $G$, cu $G(x)=\ln |x|$ pentru $x<0$ și $G(x)=\ln x+1$ pentru $x>0$, au aceeași derivată $\frac{1}{x}$, dar nu diferă printr-o constantă. De aceea, pe o reuniune de intervale, constanta se alege separat pe fiecare interval. Orice funcție continuă pe un interval are primitive; teorema este în lecția „Integrala Riemann”.

Liniaritate. Dacă $f$ și $g$ au primitive pe $I$ și $a,b\in \mathbb{R}$, atunci

Pentru produs și cât nu există reguli corespunzătoare: primitiva lui $f\cdot g$ nu este produsul primitivelor. Aceste cazuri se tratează cu metodele din lecția „Metode de integrare”.

Tabelul primitivelor uzuale, valabil pe fiecare interval inclus în domeniul integrandului:

• $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, pentru $n\in \mathbb{R}\setminus \{-1\}$, pe orice interval pe care $x^n$ este definită: pe $\mathbb{R}$ dacă $n\in \mathbb{N}$, pe intervale fără $0$ dacă $n$ este întreg negativ, pe $(0;\infty )$ în celelalte cazuri;
• $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$, pe $(-\infty ;0)$ sau pe $(0;\infty )$;
• $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$, pentru $a>0$, $a\ne 1$, iar $\int e^{x}dx=e^x+C$;
• $\int \sin xdx=-\cos x+C$ și $\int \cos xdx=\sin x+C$;
• $\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\mathrm{tg}x+C$ și $\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=-\mathrm{ctg}x+C$, pe intervale pe care numitorul nu se anulează;
• $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+C$ și $\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$, pentru $a>0$;
• $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$ pe $(-a;a)$ și $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln \left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C$, pentru $a>0$.

Orice formulă din tabel se verifică prin derivare, iar derivarea este și testul final al oricărei primitive calculate.

Aducerea la tabel. Când integrandul nu apare direct în tabel, se transformă până devine o sumă de termeni din tabel: se desfac parantezele, se scriu radicalii ca puteri, se împarte termen cu termen, se folosesc identități trigonometrice. De exemplu, $\frac{(x+1{)}^2}{x}=x+2+\frac{1}{x}$, deci pe $(0;\infty )$ primitivele sunt $\frac{x^2}{2}+2x+\ln x+C$. La fel, ${\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1$, deci $\int {\mathrm{tg}}^{2}xdx=\mathrm{tg}x-x+C$ pe fiecare interval pe care $\cos x\ne 0$.

Exemplu rezolvat. Determinăm primitiva $F$ a funcției $f:(0;\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2-\frac{4}{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$, pentru care $F(1)=2$.

1. Integrăm termen cu termen: $\int 3x^{2}dx=x^3$, $\int \frac{4}{x}dx=4\ln x$ (pe $(0;\infty )$ modulul dispare), iar $\int x^{-1/2}dx=2\sqrt{x}$.
2. Primitivele sunt $F(x)=x^3-4\ln x+2\sqrt{x}+C$.
3. Condiția $F(1)=2$ dă $1-0+2+C=2$, deci $C=-1$.
4. Primitiva căutată este $F(x)=x^3-4\ln x+2\sqrt{x}-1$.

Exemplu rezolvat. Aflăm numerele $a$ și $b$ pentru care $F(x)=(ax+b)e^x$ este o primitivă a funcției $f(x)=(2x+3)e^x$.

1. Derivăm: $F^{\prime }(x)=a{e}^x+(ax+b)e^x=(ax+a+b)e^x$.
2. Egalitatea $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x$ cere $ax+a+b=2x+3$, deci $a=2$ și $a+b=3$.
3. Rezultă $a=2$ și $b=1$, adică $F(x)=(2x+1)e^x$.

Exemplu rezolvat. Găsim primitivele funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$. Pe $\mathbb{R}$ întreg, o primitivă trebuie să fie derivabilă și în $0$, deci continuă în $0$.

1. Pentru $x\ge 0$ avem $f(x)=x$, deci $F(x)=\frac{x^2}{2}+C_1$.
2. Pentru $x<0$ avem $f(x)=-x$, deci $F(x)=-\frac{x^2}{2}+C_2$.
3. Continuitatea în $0$ cere $C_1=C_2=C$. Atunci $F(x)=\frac{x|x|}{2}+C$, iar derivatele laterale în $0$ sunt ambele $0=f(0)$, deci $F$ este primitivă pe $\mathbb{R}$.

La o grilă, primitivele apar în trei forme: calculul unei primitive cu o condiție dată, aflarea parametrilor pentru care o funcție este primitivă, verificarea unei variante prin derivare. Verificarea prin derivare este cea mai rapidă: dintre variante rămân cele cu $F^{\prime }=f$, iar condiția din enunț o alege pe cea corectă.

Problemă. Primitiva $F:(0;\infty )\to \mathbb{R}$ a funcției $f(x)=\frac{1}{x}+2x$ pentru care $F(1)=3$ este:

• a) $F(x)=\ln x+x^2$
• b) $F(x)=\ln x+x^2+3$
• c) $F(x)=\ln x+x^2+2$
• d) $F(x)=\ln x+2x^2+1$
• e) $F(x)=\ln x+x^2-2$
• f) $F(x)=x^2-\frac{1}{x^2}+3$

Rezolvare. Primitivele sunt $F(x)=\ln x+x^2+C$. Din $F(1)=1+C=3$ rezultă $C=2$, deci $F(x)=\ln x+x^2+2$. Răspunsul corect este c). Variantele greșite vin din greșeli reale: a) omite constanta, iar $F(1)=1\ne 3$; b) ia $C=F(1)=3$, deși $F(1)$ include și termenul $\ln 1+1^2$; d) primitivează $2x$ ca $2x^2$, adică nu împarte la noul exponent; e) calculează $C=1-3$ în loc de $3-1$; f) derivează $\frac{1}{x}$ în loc să o primitiveze și ajustează apoi constanta, așa că verifică $F(1)=3$, dar nu are derivata $f$.

Alt exemplu. Funcția $F(x)=(x^2+ax+b)e^x$ este primitivă a lui $f(x)=(x^2+5x+4)e^x$. Derivata este $F^{\prime }(x)=(x^2+(a+2)x+a+b)e^x$, deci $a+2=5$ și $a+b=4$. Rezultă $a=3$ și $b=1$.

Alt exemplu. Primitiva $F$ a lui $f(x)=2x+1$ pe $\mathbb{R}$ are graficul care trece prin $A(0;5)$. Din $F(x)=x^2+x+C$ și $F(0)=5$ rezultă $C=5$, deci $F(2)=4+2+5=11$.

Alt exemplu. Funcția $f(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}+\sin x$ este definită pe $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$. Primitivele sunt $F(x)=\mathrm{tg}x-\cos x+C$. Condiția $F(0)=1$ dă $0-1+C=1$, deci $C=2$ și $F(x)=\mathrm{tg}x-\cos x+2$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $\int x^{-1}dx=x^0/0$.
  Corect: cazul este $\ln |x|+C$ pe intervale fără $0$.
• Greșit: la primitivă se omite $C$.
  Corect: familia completă include constanta.
• Greșit: orice primitivă este valabilă peste punctele excluse din domeniu.
  Corect: se lucrează pe intervale adecvate.
• Greșit: $\int \sin xdx=\cos x+C$.
  Corect: $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$, deci $\int \sin xdx=-\cos x+C$.
• Greșit: $\int \frac{dx}{x^2+4}=\mathrm{arctg}\frac{x}{2}+C$.
  Corect: derivata lui $\mathrm{arctg}\frac{x}{2}$ este $\frac{2}{x^2+4}$, deci primitiva este $\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x}{2}+C$.
• Greșit: $\int x{e}^{x}dx=\frac{x^2}{2}\cdot e^x+C$, primitivând fiecare factor separat.
  Corect: nu există regulă a produsului pentru primitive; $\int x{e}^{x}dx=(x-1)e^x+C$.

Înainte și după