Integrale — introducere

Integrarea are două perspective legate: găsirea primitivelor și acumularea descrisă de integrala definită. O primitivă $F$ a lui $f$ satisface $F^{\prime }=f$. Integrala definită ${\int }_a^{b}f(x)dx$ este o valoare orientată, calculată adesea prin $F(b)-F(a)$. Tema continuă în „Primitive”, „Integrala definită”, „Integrala Riemann”, „Metode de integrare”, „Aplicații ale integralelor”, „Lungimi de arc și suprafețe de rotație” și „Centrul de greutate al unei suprafețe”.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\int }_0^{2}xdx$.

1. O primitivă este $F(x)=x^2/2$.
2. Evaluăm $F(2)=2$, $F(0)=0$.
3. Integrala este $2-0=2$.

De unde vine ideea. Două întrebări diferite duc la aceeași operație. Prima: se cunoaște viteza unui mobil și se cere distanța parcursă. Dacă $v(t)=3t^2$ metri pe secundă, distanța dintre $t=1$ și $t=3$ este $s(3)-s(1)$, unde $s^{\prime }=v$. Cum $s(t)=t^3$, distanța este $27-1=26$ metri. A doua: se cunoaște o funcție pozitivă și se cere aria de sub grafic. La viteză constantă de $5$ m/s, timp de $4$ s, graficul este un dreptunghi cu aria $20$, iar distanța este tot $20$ metri. Integrala definită este numărul care răspunde la ambele întrebări. Unitatea de măsură a integralei este produsul unităților lui $f$ și ale variabilei: dacă un robinet curge cu $q(t)=2t$ litri pe minut, cantitatea scursă în primele $5$ minute este ${\int }_0^{5}2tdt=25$ litri.

Două obiecte diferite. Integrala nedefinită $\int f(x)dx$ este o familie de funcții, primitivele lui $f$. Integrala definită ${\int }_a^{b}f(x)dx$ este un număr, care depinde de $f$ și de capetele $a$, $b$, nu de litera folosită pentru variabilă: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt$. Orice funcție continuă pe $[a;b]$ are integrală definită, iar motivul este explicat în lecția „Integrala Riemann”. Legătura dintre cele două obiecte este formula Leibniz–Newton.

Teorema fundamentală, în ambele sensuri. Dacă $f$ este continuă pe un interval $I$ și $a\in I$, funcția $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ este derivabilă pe $I$ și $F^{\prime }(x)=f(x)$; astfel, derivarea desface integrarea. Reciproc, dacă $f$ este continuă pe $[a;b]$ și $G$ este o primitivă oarecare a lui $f$, atunci ${\int }_a^{b}f(x)dx=G(b)-G(a)$. De exemplu, pentru $x>0$, $F(x)={\int }_1^x\frac{dt}{t}=\ln x$ are derivata $\frac{1}{x}$, iar ${\int }_1^e\frac{dt}{t}=\ln e-\ln 1=1$.

Integrala nedefinită este familia primitivelor: dacă $F^{\prime }=f$ pe un interval, atunci $\int f(x)dx=F(x)+C$. Constanta $C$ apare fiindcă două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă pe interval. Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=2x+3$, integrăm termen cu termen: $\int (2x+3)dx=x^2+3x+C$. Verificăm prin derivare: $(x^2+3x+C{)}^{\prime }=2x+3$. Integrala definită ${\int }_0^2(2x+3)dx=[x^2+3x{]}_0^2=10$, fără constanta $C$ în rezultat, deoarece $C$ se reduce în diferența $F(2)-F(0)$.

Cum se lucrează o integrală definită. Se verifică întâi dacă $f$ este continuă pe $[a;b]$; altfel formula nu se aplică. Apoi se află o primitivă, din tabel sau prin una dintre metodele de integrare. Se calculează $F(b)-F(a)$. În final se interpretează semnul: rezultatul este o arie numai dacă $f\ge 0$ pe $[a;b]$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\int }_{-1}^2(x^2-x)dx$.

1. O primitivă este $F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}$.
2. Avem $F(2)=\frac{8}{3}-2=\frac{2}{3}$ și $F(-1)=-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{5}{6}$.
3. Integrala este $\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=\frac{3}{2}$.

Funcția $x^2-x=x(x-1)$ este negativă pe $(0;1)$, deci $\frac{3}{2}$ nu este aria regiunii dintre grafic și axa $Ox$; aria geometrică se obține separat pe fiecare interval de semn constant.

Liniaritatea permite integrarea sumei termen cu termen și scoaterea unei constante multiplicative în fața integralei. O primitivă se verifică mereu prin derivare. Pentru integrala definită, capetele și ordinea lor fac parte din problemă: inversarea capetelor schimbă semnul rezultatului.

Tema generală apare pe grilă în două feluri. Fie se cere o valoare ${\int }_a^{b}f$, iar greșelile vin din ordinea capetelor sau din evaluarea primitivei. Fie funcția este definită printr-o integrală cu limita superioară variabilă și se cere derivata ei; atunci integrala nu se calculează, ci se aplică ${\left({\int }_a^{x}f(t)dt\right)}^{\prime }=f(x)$.

Problemă. Valoarea integralei ${\int }_1^2(x^3-x)dx$ este:

• a) $-\frac{9}{4}$
• b) $\frac{7}{4}$
• c) $\frac{9}{4}$
• d) $2$
• e) $6$
• f) $9$

Rezolvare. O primitivă este $F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}$. Avem $F(2)=4-2=2$ și $F(1)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$, deci integrala este $2-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{9}{4}$. Răspunsul corect este c). Variantele greșite: a) calculează $F(1)-F(2)$; b) adună $F(2)+F(1)$; d) reține doar $F(2)$ și uită să scadă $F(1)$; e) evaluează funcția $f$ în loc de primitivă, $f(2)-f(1)=6-0$; f) derivează în loc să primitiveze, adică ia $(3x^2-1)$ la capete: $11-2$.

Alt exemplu. Funcția continuă $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ are proprietatea că $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt=x^3+x^2$ pentru orice $x$. Atunci $f(x)=F^{\prime }(x)=3x^2+2x$, deci $f(1)=5$.

Alt exemplu. Pentru $x>0$, $G(x)={\int }_1^x\frac{t^2+1}{t}dt$ are $G^{\prime }(x)=\frac{x^2+1}{x}$, deci $G^{\prime }(2)=\frac{5}{2}$, fără niciun calcul de primitivă.

Alt exemplu. Funcția $G$ este o primitivă a lui $g(x)=3x^2-4x$ și $G(0)=7$. Avem ${\int }_0^{2}g(x)dx=[x^3-2x^2{]}_0^2=8-8=0$, deci $G(2)-G(0)=0$ și $G(2)=7$. Valoarea lui $G(2)$ se află fără a scrie formula lui $G$: diferența $G(2)-G(0)$ este chiar integrala.

Alt exemplu. Capetele inversate cer atenție la semn: ${\int }_3^1(2x-1)dx=-{\int }_1^3(2x-1)dx=-[x^2-x{]}_1^3=-(6-0)=-6$. Variantele $6$ și $-6$ diferă doar prin semn, de aceea ordinea capetelor se verifică înaintea oricărui calcul.

Greșeli frecvente

• Greșit: ${\int }_a^{b}f$ este întotdeauna arie pozitivă.
  Corect: integrala este orientată și poate fi negativă.
• Greșit: o primitivă este unică fără constantă.
  Corect: toate primitivele diferă printr-o constantă pe un interval.
• Greșit: $F(b)-F(a)$ se folosește fără a verifica ipotezele.
  Corect: se identifică mai întâi o primitivă pe intervalul cerut.
• Greșit: ${\left({\int }_1^{x}f(t)dt\right)}^{\prime }=f(x)-f(1)$.
  Corect: limita inferioară este fixă, iar derivata este $f(x)$.
• Greșit: ${\int }_0^2(2x+3)dx=x^2+3x+C$.
  Corect: integrala definită este un număr, $10$, iar constanta $C$ apare numai la integrala nedefinită.

Înainte și după

Întrebări frecvente