Intră în cont Începe cu lecțiile

fișă de formule · Matematică

Formule trigonometrice

Formulele de trigonometrie de liceu, pe o fișă de două pagini: tabelul de valori, relațiile fundamentale, reducerea la primul cadran, formulele de adunare, unghiul dublu, triplu și pe jumătate, transformările sumă–produs, funcțiile inverse, ecuațiile fundamentale, teoremele sinusurilor și cosinusului și substituția universală.

Descarcă (PDF)PDF, A4, două pagini · Liceu. Fără cont.

Valori ale funcțiilor trigonometrice

Unghi	$sin$	$cos$	$tg$	$ctg$
$0^{\circ}$ ( $0$ )	$0$	$1$	$0$	—
$3 0^{\circ}$ ( $\frac{π}{6}$ )	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{3}{3}$	$3$
$4 5^{\circ}$ ( $\frac{π}{4}$ )	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$	$1$	$1$
$6 0^{\circ}$ ( $\frac{π}{3}$ )	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$3$	$\frac{3}{3}$
$9 0^{\circ}$ ( $\frac{π}{2}$ )	$1$	$0$	—	$0$
$18 0^{\circ}$ ( $π$ )	$0$	$- 1$	$0$	—
$27 0^{\circ}$ ( $\frac{3 π}{2}$ )	$- 1$	$0$	—	$0$
$36 0^{\circ}$ ( $2 π$ )	$0$	$1$	$0$	—

Radiani: $α_{rad} = α^{\circ} \cdot \frac{π}{180}$ . Lungimea arcului: $ℓ = r α$ ( $α$ în radiani).

Relații fundamentale

Formula	Condiții
$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$	$x \in R$
$tg x = \frac{sin x}{cos x}$ , $ctg x = \frac{cos x}{sin x}$	$cos x \neq = 0$ ; respectiv $sin x \neq = 0$
$tg x \cdot ctg x = 1$	$x \neq = \frac{k π}{2}$
$1 + tg^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$	$x \neq = \frac{π}{2} + k π$
$1 + ctg^{2} x = \frac{1}{sin ^{2} x}$	$x \neq = k π$

Paritate, periodicitate, reducere la primul cadran

Formula	Formula
$sin (- x) = - sin x$	$cos (- x) = cos x$
$tg (- x) = - tg x$	$ctg (- x) = - ctg x$
$sin (π - x) = sin x$	$cos (π - x) = - cos x$
$sin (π + x) = - sin x$	$cos (π + x) = - cos x$
$sin (2 π - x) = - sin x$	$cos (2 π - x) = cos x$
$sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$	$cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$
$tg (π - x) = - tg x$	$tg (x + π) = tg x$
$sin (x + 2 k π) = sin x$	$cos (x + 2 k π) = cos x$ , $k \in Z$

Formule de adunare

Formula	Condiții
$sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b$
$cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b$
$tg (a \pm b) = \frac{tg a \pm tg b}{1 \mp tg a tg b}$	$a, b, a \pm b \neq = \frac{π}{2} + k π$ ; $1 \mp tg a tg b \neq = 0$
$ctg (a + b) = \frac{ctg a ctg b - 1}{ctg a + ctg b}$	$a, b, a + b \neq = k π$ ; $ctg a + ctg b \neq = 0$

Unghi dublu, triplu, pe jumătate

Formula	Condiții
$sin 2 a = 2 sin a cos a = \frac{2 tg a}{1 + tg ^{2} a}$	$a \neq = \frac{π}{2} + k π$ (pentru forma cu tg)
$cos 2 a = cos^{2} a - sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1 = 1 - 2 sin^{2} a = \frac{1 - tg ^{2} a}{1 + tg ^{2} a}$	$a \neq = \frac{π}{2} + k π$ (pentru forma cu tg)
$tg 2 a = \frac{2 tg a}{1 - tg ^{2} a}$	$a \neq = \frac{π}{2} + k π$ , $a \neq = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$
$sin 3 a = 3 sin a - 4 sin^{3} a$ , $cos 3 a = 4 cos^{3} a - 3 cos a$
$sin^{2} \frac{a}{2} = \frac{1 - cos a}{2}$ , $cos^{2} \frac{a}{2} = \frac{1 + cos a}{2}$
$tg \frac{a}{2} = \frac{sin a}{1 + cos a} = \frac{1 - cos a}{sin a}$	$a \neq = π + 2 k π$ ; (a doua formă) $a \neq = k π$

Transformări de sumă în produs și invers

Sumă în produs	Produs în sumă
$sin a + sin b = 2 sin \frac{a + b}{2} cos \frac{a - b}{2}$	$sin a cos b = \frac{sin ( a + b ) + sin ( a - b )}{2}$
$sin a - sin b = 2 sin \frac{a - b}{2} cos \frac{a + b}{2}$	$sin a sin b = \frac{cos ( a - b ) - cos ( a + b )}{2}$
$cos a + cos b = 2 cos \frac{a + b}{2} cos \frac{a - b}{2}$	$cos a cos b = \frac{cos ( a - b ) + cos ( a + b )}{2}$
$cos a - cos b = - 2 sin \frac{a + b}{2} sin \frac{a - b}{2}$

Funcții trigonometrice și inverse

Funcția	Domeniu	Imagine	Perioada	Paritate
$sin$	$R$	$[- 1, 1]$	$2 π$	impară
$cos$	$R$	$[- 1, 1]$	$2 π$	pară
$tg$	$R ∖ {\frac{π}{2} + k π}$	$R$	$π$	impară
$ctg$	$R ∖ {k π}$	$R$	$π$	impară
$arcsin$	$[- 1, 1]$	$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$	—	impară
$arccos$	$[- 1, 1]$	$[0, π]$	—	$arccos (- x) = π - arccos x$
$arctg$	$R$	$(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$	—	impară
$arcctg$	$R$	$(0, π)$	—	$arcctg (- x) = π - arcctg x$

Formula	Condiții
$arcsin x + arccos x = \frac{π}{2}$	$x \in [- 1, 1]$
$arctg x + arcctg x = \frac{π}{2}$	$x \in R$
$arcsin (- x) = - arcsin x$ , $arctg (- x) = - arctg x$
$arccos (- x) = π - arccos x$	$x \in [- 1, 1]$
$sin (arcsin x) = x$ ; $arcsin (sin x) = x$	$x \in [- 1, 1]$ ; respectiv $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
$tg (arctg x) = x$ ; $arctg (tg x) = x$	$x \in R$ ; respectiv $x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Ecuații trigonometrice fundamentale

Ecuația	Soluțiile	Condiții
$sin x = a$	$x = (- 1)^{k} arcsin a + k π$	$∣ a ∣ \leq 1$ , $k \in Z$
$cos x = a$	$x = \pm arccos a + 2 k π$	$∣ a ∣ \leq 1$ , $k \in Z$
$tg x = a$	$x = arctg a + k π$	$a \in R$ , $k \in Z$
$ctg x = a$	$x = arcctg a + k π$	$a \in R$ , $k \in Z$
$sin x = sin y$	$x = y + 2 k π$ sau $x = π - y + 2 k π$	$k \in Z$
$cos x = cos y$	$x = \pm y + 2 k π$	$k \in Z$
$tg x = tg y$	$x = y + k π$	$k \in Z$

Triunghiul oarecare

Formula	Condiții
$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ (teorema sinusurilor)	$R$ : raza cercului circumscris
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ (teorema cosinusului)
$A = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} a c sin B$
$tg \frac{A}{2} = \frac{r}{p - a}$	$p = \frac{a + b + c}{2}$ , $r$ : raza cercului înscris

Substituția universală

Substituția $t = tg \frac{x}{2}$	Condiții
$sin x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}$	$x \neq = π + 2 k π$
$cos x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}$	$x \neq = π + 2 k π$
$tg x = \frac{2 t}{1 - t ^{2}}$	$x \neq = π + 2 k π$ , $t \neq = \pm 1$

Fișa în PDF

Descarcă (PDF)Două pagini A4, fără cont, gata de tipărit.

Lecțiile care merg cu fișa

Alte fișe de formule: matematică

Surse și referințe

Redactare proprie.

fișele sunt gratuite

Tipărește fișa și ține-o la îndemână.

Descarcă (PDF)Lecțiile de matematică