Formule derivate: tabelul derivatelor și regulile (PDF)

Definiția derivatei

$f^{'} (x_{0}) = x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ , dacă limita există și este finită ( $f$ derivabilă în $x_{0}$ ).

Derivabilitate $\Rightarrow$ continuitate (reciproca nu e adevărată: $∣ x ∣$ în $0$ ).

Reguli de derivare

Regulă	Formula	Condiții
Sumă, diferență	$(u \pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'}$	$u, v$ derivabile
Constantă ori funcție	$(c \cdot u)^{'} = c \cdot u^{'}$	$c \in R$
Produs	$(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$	$u, v$ derivabile
Cât	$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$	$v (x) \neq = 0$
Compusă	$(f \circ u)^{'} (x) = f^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$	$u$ derivabilă în $x$ , $f$ în $u (x)$
Funcție inversă	$(f^{- 1})^{'} (y_{0}) = \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )}$	$f$ bijectivă pe un interval, derivabilă în $x_{0}$ , $f^{- 1}$ continuă în $y_{0} = f (x_{0})$ , $f^{'} (x_{0}) \neq = 0$
Putere de funcție	$(u^{v})^{'} = u^{v} (v^{'} ln u + \frac{v u ^{'}}{u})$	$u > 0$

Derivatele funcțiilor elementare

$f (x)$	$f^{'} (x)$	Condiții
$c$ (constantă)	$0$	$x \in R$
$x$	$1$	$x \in R$
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$	$n \in N^{*}$ , $x \in R$
$x^{a}$	$a x^{a - 1}$	$a \in R$ , $x > 0$
$x$	$\frac{1}{2 x}$	$x > 0$
$n x$	$\frac{1}{n n x ^{n - 1}}$	$n \geq 2$ , $x > 0$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$	$x \neq = 0$
$e^{x}$	$e^{x}$	$x \in R$
$a^{x}$	$a^{x} ln a$	$a > 0, a \neq = 1$ , $x \in R$
$ln x$	$\frac{1}{x}$	$x > 0$
$ln ∣ x ∣$	$\frac{1}{x}$	$x \neq = 0$
$lo g_{a} x$	$\frac{1}{x ln a}$	$a > 0, a \neq = 1$ , $x > 0$
$sin x$	$cos x$	$x \in R$
$cos x$	$- sin x$	$x \in R$
$tg x$	$\frac{1}{cos ^{2} x} = 1 + tg^{2} x$	$x \neq = \frac{π}{2} + k π$ , $k \in Z$
$ctg x$	$- \frac{1}{sin ^{2} x}$	$x \neq = k π$ , $k \in Z$
$arcsin x$	$\frac{1}{1 - x ^{2}}$	$x \in (- 1, 1)$
$arccos x$	$- \frac{1}{1 - x ^{2}}$	$x \in (- 1, 1)$
$arctg x$	$\frac{1}{1 + x ^{2}}$	$x \in R$
$arcctg x$	$- \frac{1}{1 + x ^{2}}$	$x \in R$
$∣ x ∣$	$\frac{x}{∣ x ∣}$	$x \neq = 0$

Derivatele funcțiilor compuse

$f (x)$	$f^{'} (x)$	Condiții ( $u = u (x)$ derivabilă)
$u^{a}$	$a u^{a - 1} u^{'}$	$u > 0$ dacă $a \in / Z$ ; $u \neq = 0$ dacă $a \in Z$ , $a < 0$ ; orice $u$ dacă $a \in N$
$u$	$\frac{u ^{'}}{2 u}$	$u > 0$
$e^{u}$	$u^{'} e^{u}$
$a^{u}$	$u^{'} a^{u} ln a$	$a > 0, a \neq = 1$
$ln u$	$\frac{u ^{'}}{u}$	$u > 0$
$sin u$	$u^{'} cos u$
$cos u$	$- u^{'} sin u$
$tg u$	$\frac{u ^{'}}{cos ^{2} u}$	$cos u \neq = 0$
$ctg u$	$- \frac{u ^{'}}{sin ^{2} u}$	$sin u \neq = 0$
$arcsin u$	$\frac{u ^{'}}{1 - u ^{2}}$	$∣ u ∣ < 1$
$arctg u$	$\frac{u ^{'}}{1 + u ^{2}}$

Pentru $ln ∣ u ∣$ se obține tot $\frac{u ^{'}}{u}$ , cu $u \neq = 0$ .

Aplicații

Monotonie. Dacă $f$ este derivabilă pe intervalul $I$ : $f^{'} \geq 0 \Rightarrow f$ crescătoare; $f^{'} \leq 0 \Rightarrow f$ descrescătoare; $f^{'} > 0 \Rightarrow f$ strict crescătoare; $f^{'} < 0 \Rightarrow f$ strict descrescătoare.
Extreme. Dacă $f$ este continuă în $x_{0}$ și $f^{'}$ își schimbă semnul în $x_{0}$ : de la $+$ la $-$ ⇒ maxim local; de la $-$ la $+$ ⇒ minim local. Teorema lui Fermat: un extrem local interior, în care $f$ e derivabilă, are $f^{'} (x_{0}) = 0$ (reciproca e falsă: $x^{3}$ în $0$ ).
Convexitate. Dacă $f$ este de două ori derivabilă pe $I$ : $f^{''} \geq 0 \Rightarrow f$ convexă; $f^{''} \leq 0 \Rightarrow f$ concavă (strict convexă dacă $f^{''} > 0$ , strict concavă dacă $f^{''} < 0$ ). Punct de inflexiune: $f^{''}$ își schimbă semnul și $f$ are tangentă în punct.
Tangenta la graficul lui $f$ în $x_{0}$ : $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ . Panta tangentei $= f^{'} (x_{0})$ ; viteza instantanee $v (t) = s^{'} (t)$ ; accelerația $a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t)$ .

Asimptotele funcției $f$

Orizontală: $y = ℓ$ dacă $x \to \pm \infty lim f (x) = ℓ \in R$ .

Oblică ( $x \to \pm \infty$ ): $y = m x + n$ , $m = lim \frac{f ( x )}{x} \in R^{*}$ , $n = lim (f (x) - m x) \in R$ .

Verticală: $x = a$ dacă $x \to a x < a lim f (x) = \pm \infty$ sau $x \to a x > a lim f (x) = \pm \infty$ .

Teoreme importante

Rolle: $f$ continuă pe $[a, b]$ , derivabilă pe $(a, b)$ , $f (a) = f (b) \Rightarrow \exists c \in (a, b)$ , $f^{'} (c) = 0$ .

Lagrange: $f$ continuă pe $[a, b]$ , derivabilă pe $(a, b) \Rightarrow \exists c \in (a, b)$ : $f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a)$ .

Regula lui l'Hospital (pentru $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$ ): dacă $lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}$ există, atunci $lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}$ (cu $g^{'} (x) \neq = 0$ în jurul punctului).

Derivate de ordin superior

$f (x)$	$f^{(n)} (x)$	Condiții
$e^{x}$	$e^{x}$	$n \in N$
$sin x$	$sin (x + \frac{nπ}{2})$	$n \in N$
$cos x$	$cos (x + \frac{nπ}{2})$	$n \in N$
$x^{m}$	$\frac{m !}{( m - n )!} x^{m - n}$	$m, n \in N$ , $n \leq m$
$ln x$	$\frac{( - 1 ) ^{n - 1} ( n - 1 )!}{x ^{n}}$	$x > 0$ , $n \geq 1$
$u \cdot v$ (formula lui Leibniz)	$(uv)^{(n)} = k = 0 \sum n C_{n}^{k} u^{(k)} v^{(n - k)}$	$u, v$ de $n$ ori derivabile; $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$

Meniu

Formule derivate: tabelul derivatelor și regulile

Definiția derivatei

Reguli de derivare

Derivatele funcțiilor elementare

Derivatele funcțiilor compuse

Aplicații

Asimptotele funcției $f$

Teoreme importante

Derivate de ordin superior

Fișa în PDF

Lecțiile care merg cu fișa

Alte fișe de formule: matematică

Surse și referințe

Formule derivate: tabelul derivatelor și regulile

Definiția derivatei

Reguli de derivare

Derivatele funcțiilor elementare

Derivatele funcțiilor compuse

Aplicații

Asimptotele funcției f

Teoreme importante

Derivate de ordin superior

Fișa în PDF

Lecțiile care merg cu fișa

Alte fișe de formule: matematică

Surse și referințe

Asimptotele funcției $f$