Derivatele funcțiilor elementare

Formulele de bază sunt: $c^{\prime }=0$ pentru orice constantă $c$; $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ pentru $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pentru $x>0$; $(e^x{)}^{\prime }=e^x$; $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ pentru $x>0$; $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$; $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$. Suma se derivează termen cu termen, iar un factor constant se scoate în fața derivatei. Pentru funcții compuse, fiecare formulă se combină cu regula funcției compuse din lecția „Reguli de derivare”.

Exemplu rezolvat. Derivăm $f(x)=x^3-4\sqrt{x}+2\cos x$ pe $(0;+\infty )$.

1. $(x^3{)}^{\prime }=3x^2$.
2. $(4\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{4}{2\sqrt{x}}=\frac{2}{\sqrt{x}}$.
3. $(2\cos x{)}^{\prime }=-2\sin x$, deci $f^{\prime }(x)=3x^2-\frac{2}{\sqrt{x}}-2\sin x$.

Puterile se derivează după $(x^{\alpha }{)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$. Pentru $\alpha \in \mathbb{R}$ formula este valabilă pe $(0;+\infty )$; pentru exponent natural ea este valabilă pe $\mathbb{R}$, iar pentru exponent întreg negativ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, de exemplu ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$. Radicalul de ordin $n$ se scrie ca putere: ${\left(\sqrt[n]{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$ pentru $x>0$. Înainte de derivare, expresiile se aduc la forma de putere: $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$, $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$, $\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}$. De exemplu, ${\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{2}{x}^{-3/2}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$ pentru $x>0$.

Pentru $a>0$, $a\ne 1$: $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$ pe $\mathbb{R}$ și $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$ pe $(0;+\infty )$. Funcțiile trigonometrice au $(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ pentru $\cos x\ne 0$ și $(\mathrm{ctg}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ pentru $\sin x\ne 0$. Funcțiile inverse au $(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ și $(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ pentru $x\in (-1;1)$, iar în $\pm 1$ nu sunt derivabile; $(\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$ și $(\mathrm{arcctg}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$ pe $\mathbb{R}$.

Funcția putere și funcția exponențială se deosebesc prin locul variabilei. La $x^3$ variabila este baza, iar exponentul este constant, deci se aplică $n{x}^{n-1}$. La $3^x$ baza este constantă și variabila este în exponent, deci apare factorul $\ln 3$. Cele două formule nu se amestecă, iar $x^x$ nu se încadrează în niciuna (el se tratează în lecția „Reguli de derivare”).

Derivarea este liniară: $(\alpha f+\beta g{)}^{\prime }=\alpha f^{\prime }+\beta g^{\prime }$ pentru orice numere reale $\alpha$ și $\beta$. De aceea un polinom se derivează termen cu termen: $(a_n{x}^n+\dots +a_{1}x+a_0{)}^{\prime }=n{a}_n{x}^{n-1}+\dots +a_1$, iar o constantă adunată dispare.

Formulele se obțin din limitele remarcabile. De exemplu, $\frac{\sin (a+h)-\sin a}{h}=\sin a\cdot \frac{\cos h-1}{h}+\cos a\cdot \frac{\sin h}{h}$, iar $\frac{\sin h}{h}\to 1$ și $\frac{\cos h-1}{h}\to 0$ când $h\to 0$, deci $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$. Din $\frac{e^h-1}{h}\to 1$ rezultă $(e^x{)}^{\prime }=e^x$. Pentru $x^3$, raportul incremental în $a$ este $\frac{(a+h{)}^3-a^3}{h}=3a^2+3ah+h^2$, care tinde la $3a^2$.

Câteva valori ale pantei se citesc direct pe grafic. Tangenta la $\sin x$ în origine are panta $\cos 0=1$, adică este dreapta $y=x$. Tangenta la $e^x$ în punctul $(0;1)$ este $y=x+1$, deoarece panta este $e^0=1$. Tangenta la $\ln x$ în $(1;0)$ este $y=x-1$, pentru că panta este $\frac{1}{1}=1$.

Derivata a doua este derivata derivatei, $f^{\prime \prime }=(f^{\prime }{)}^{\prime }$. De exemplu, $(\sin x{)}^{\prime \prime }=-\sin x$ și $(\ln x{)}^{\prime \prime }=-\frac{1}{x^2}$. Domeniul derivatei se stabilește separat de cel al funcției: $\sqrt{x}$ este definită în $0$, dar derivata ei nu.

Exemplu rezolvat. Calculăm $f^{\prime }(1)$ pentru $f(x)=3x^4-\frac{2}{x}+5\sqrt{x}-7$, definită pe $(0;+\infty )$.

1. Derivăm termenii: $(3x^4{)}^{\prime }=12x^3$, ${\left(-\frac{2}{x}\right)}^{\prime }=\frac{2}{x^2}$, $(5\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{5}{2\sqrt{x}}$, iar constanta $-7$ dă $0$.
2. Deci $f^{\prime }(x)=12x^3+\frac{2}{x^2}+\frac{5}{2\sqrt{x}}$.
3. La $x=1$: $f^{\prime }(1)=12+2+\frac{5}{2}=\frac{33}{2}$.

Exemplu rezolvat. Derivăm $g(x)=2^x+{\log }_{3}x-\mathrm{tg}x$. Domeniul cere $x>0$ și $\cos x\ne 0$. Cu formulele de mai sus, $g^{\prime }(x)=2^x\ln 2+\frac{1}{x\ln 3}-\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.

Exemplu rezolvat. Pentru $h(x)=\mathrm{arctg}x+\arcsin x$ pe $(-1;1)$, derivata este $h^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, deci $h^{\prime }(0)=1+1=2$. Pentru $f(x)=x^4-\ln x$ pe $(0;+\infty )$ avem $f^{\prime }(x)=4x^3-\frac{1}{x}$ și $f^{\prime \prime }(x)=12x^2+\frac{1}{x^2}$, deci $f^{\prime \prime }(1)=13$.

Exemplu rezolvat. Studiem derivata funcției $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$, definită pe $\mathbb{R}$.

1. Scriem $f(x)=x^{2/3}$, deci $f^{\prime }(x)=\frac{2}{3}{x}^{-1/3}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ pentru $x\ne 0$.
2. La $x=8$: $f^{\prime }(8)=\frac{2}{3\cdot 2}=\frac{1}{3}$.
3. În $0$, raportul incremental $\frac{f(x)-f(0)}{x}=x^{-1/3}$ tinde la $-\infty$ la stânga și la $+\infty$ la dreapta, deci $f$ nu este derivabilă în $0$, deși este definită acolo.

La grilă, formulele se aplică într-un singur punct, iar erorile apar la semn, la factorul $\frac{1}{2}$ al radicalului și la termenii tratați ca fiind constanți. Fiecare termen se derivează și se înlocuiește separat, iar fracțiile se aduc la numitor comun abia la sfârșit.

Problemă. Pentru $f(x)=\ln x+\sqrt{x}+\frac{1}{x}$, definită pe $(0;+\infty )$, valoarea $f^{\prime }(4)$ este:

• a) $\frac{1}{4}$
• b) $\frac{5}{16}$
• c) $\frac{9}{16}$
• d) $\frac{1}{2}$
• e) $\frac{7}{16}$
• f) $\frac{11}{16}$

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}$, deci $f^{\prime }(4)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{16}=\frac{7}{16}$. Răspunsul corect este e). Varianta a) derivează $\frac{1}{x}$ ca $-\frac{1}{x}$. Varianta b) folosește $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2x}$. Varianta c) pierde semnul minus: ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=+\frac{1}{x^2}$. Varianta d) tratează $\frac{1}{x}$ ca pe o constantă. Varianta f) folosește $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x}}$, fără factorul $\frac{1}{2}$.

Alt exemplu. Panta tangentei la graficul lui $f(x)=\mathrm{tg}x$ în punctul de abscisă $\frac{\pi }{4}$ este $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{{\cos }^2\frac{\pi }{4}}=\frac{1}{1/2}=2$.

Alt exemplu. Pentru $f(x)={\log }_{2}x$ avem $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln 2}$, deci $f^{\prime }(8)=\frac{1}{8\ln 2}$.

Alt exemplu. Soluțiile ecuației $f^{\prime }(x)=0$ pentru $f(x)=\sin x+\cos x$ pe $[0;2\pi ]$ se află din $\cos x-\sin x=0$, adică $\mathrm{tg}x=1$. Pe acest interval, soluțiile sunt $x=\frac{\pi }{4}$ și $x=\frac{5\pi }{4}$. Ecuația $\sin x=\cos x$ nu se rezolvă împărțind la $\cos x$ fără a verifica separat $\cos x=0$; aici $\cos x=0$ nu este soluție, deoarece atunci $\sin x=\pm 1\ne 0$.

Alt exemplu. Funcția $\arcsin$ este definită pe $[-1;1]$, dar derivata ei $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ există numai pe $(-1;1)$. La o grilă despre domeniul de derivabilitate, capetele $\pm 1$ se exclud: acolo raportul incremental tinde la $+\infty$, iar tangenta graficului este verticală.

Greșeli frecvente

• Greșit: $(\cos x{)}^{\prime }=\sin x$.
  Corect: $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$.
• Greșit: $(2^x{)}^{\prime }=x\cdot 2^{x-1}$.
  Corect: baza este constantă și exponentul variabil, deci $(2^x{)}^{\prime }=2^x\ln 2$.
• Greșit: $(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$.
  Corect: $(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.
• Greșit: $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x}}$.
  Corect: $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
• Greșit: $(e^2{)}^{\prime }=2e$.
  Corect: $e^2$ este o constantă, deci derivata este $0$.
• Greșit: formula $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ permite derivarea lui $\ln x$ și pentru $x<0$.
  Corect: $\ln x$ real este definit numai pentru $x>0$.

Înainte și după

Întrebări frecvente