Derivate — introducere

Derivata măsoară variația locală a unei funcții: într-un punct, ea este limita ratelor medii de variație pe intervale tot mai mici și coincide cu panta tangentei la grafic. Semnul derivatei arată dacă funcția crește sau scade, iar zerourile ei indică punctele în care pot apărea maxime sau minime. Tema se dezvoltă în lecțiile „Derivata într-un punct”, „Reguli de derivare”, „Derivatele funcțiilor elementare”, „Monotonia prin derivată”, „Extremele funcțiilor”, „Convexitate și concavitate”, „Studiul complet al funcțiilor”, „Teoremele lui Rolle și Lagrange” și „Regula lui l'Hospital”.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=x^2$, calculăm rata medie între $x=1$ și $x=1+h$.

1. $f(1+h)-f(1)=(1+h{)}^2-1=2h+h^2$.
2. Împărțim la $h\ne 0$: $2+h$.
3. Când $h\to 0$, rata se apropie de $2$; aceasta este derivata în $1$.

Rata medie de variație a lui $f$ pe intervalul de capete $x_0$ și $x_0+h$ este $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$: cu cât se modifică valoarea funcției, în medie, la o creștere a variabilei cu o unitate. Geometric, ea este panta secantei dintre două puncte ale graficului. Rata instantanee în $x_0$ este limita ratei medii când $h\to 0$, adică $f^{\prime }(x_0)$, iar geometric este panta tangentei.

Exemplu rezolvat. Un mobil parcurge distanța $s(t)=5t^2$ metri în $t$ secunde. Aflăm viteza în momentul $t=2$.

1. Pe $[2;3]$, viteza medie este $\frac{45-20}{1}=25$ m/s.
2. Pe $[2;2,1]$, ea este $\frac{22,05-20}{0,1}=20,5$ m/s, iar pe $[2;2,01]$ este $20,05$ m/s.
3. Vitezele medii se apropie de $20$. Într-adevăr, $s^{\prime }(t)=10t$, deci viteza instantanee este $s^{\prime }(2)=20$ m/s.

Funcția este derivabilă în $x_0$ dacă raportul incremental are limită finită. Dacă limita este $+\infty$ sau $-\infty$, graficul are tangentă verticală, dar nu există o derivată finită. Orice funcție derivabilă într-un punct este continuă în acel punct, iar reciproca este falsă.

Panta tangentei arată direct comportamentul graficului: unde $f^{\prime }>0$ graficul urcă, unde $f^{\prime }<0$ coboară, iar unde $f^{\prime }=0$ tangenta este orizontală. Cu cât $|f^{\prime }|$ este mai mare, cu atât graficul este mai abrupt. Regulile de calcul $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$, $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ și $(f/g{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$, aceasta din urmă unde $g\ne 0$, permit derivarea funcțiilor construite din altele mai simple.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=x^3-2x$, derivata este $f^{\prime }(x)=3x^2-2$.

1. La $x=1$ panta tangentei este $f^{\prime }(1)=1$, iar $f(1)=-1$.
2. Tangenta este $y+1=1\cdot (x-1)$, adică $y=x-2$.

Dacă $f$ este derivabilă în fiecare punct al unui interval $I$, funcția $f^{\prime }:I\to \mathbb{R}$, $x\mapsto f^{\prime }(x)$, se numește derivata lui $f$. Domeniul lui $f^{\prime }$ poate fi mai mic decât al lui $f$: $\sqrt{x}$ este definită pe $[0;+\infty )$, dar derivata ei, $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, există numai pe $(0;+\infty )$. Derivata derivatei, $f^{\prime \prime }=(f^{\prime }{)}^{\prime }$, arată cum se schimbă panta; în fizică, dacă $s$ este distanța, $s^{\prime }$ este viteza, iar $s^{\prime \prime }$ este accelerația. Dacă $f^{\prime \prime }>0$ pe un interval, panta tangentei crește odată cu $x$ și graficul este convex; dacă $f^{\prime \prime }<0$, panta scade și graficul este concav.

Un exercițiu obișnuit de analiză folosește lecțiile temei în această ordine:

1. se stabilește domeniul și se calculează $f^{\prime }$ cu regulile și formulele de derivare;
2. se rezolvă $f^{\prime }(x)=0$ și se determină semnul lui $f^{\prime }$, de unde rezultă intervalele de monotonie;
3. schimbările de semn dau extremele, iar semnul lui $f^{\prime \prime }$ dă convexitatea;
4. valorile obținute, împreună cu limitele și asimptotele, dau graficul.

Exemplu rezolvat. Studiem $f(x)=x^2-4x+5$ pe $\mathbb{R}$.

1. $f^{\prime }(x)=2x-4$ se anulează la $x=2$ și este negativă pentru $x<2$, pozitivă pentru $x>2$.
2. Funcția scade pe $(-\infty ;2]$, crește pe $[2;+\infty )$ și are minimul $f(2)=1$.
3. Tangenta în $x=3$ are panta $f^{\prime }(3)=2$ și trece prin $(3;2)$, deci este $y=2x-4$.

Problemele de optimizare cer o formulă pentru mărimea de maximizat, într-o singură variabilă, apoi zerourile derivatei și compararea cu valorile de la capetele domeniului. Dacă domeniul este un interval deschis, ca aici, valoarea extremă se află numai din semnul derivatei, fiindcă nu există capete de comparat.

Problemă. Un dreptunghi are perimetrul de $20$ cm. Aria maximă pe care o poate avea, în cm${}^2$, este:

• a) $24$
• b) $25$
• c) $50$
• d) $5$
• e) $100$
• f) $20$

Rezolvare. Laturile sunt $x$ și $10-x$, cu $0<x<10$, deci $A(x)=x(10-x)=10x-x^2$ și $A^{\prime }(x)=10-2x$. Derivata se anulează la $x=5$, este pozitivă pentru $x<5$ și negativă pentru $x>5$, deci $A(5)=25$ este maximul. Răspunsul corect este b), pătratul cu latura de $5$ cm. Varianta a) este aria dreptunghiului cu laturile $4$ și $6$, o valoare apropiată, dar nu maximă. Varianta c) înmulțește latura $5$ cu semiperimetrul $10$. Varianta d) dă latura, nu aria. Varianta e) scrie $x(20-x)$, adică ia semiperimetrul egal cu $20$. Varianta f) răspunde cu perimetrul.

Alt exemplu. Poziția unui mobil este $s(t)=t^3-6t^2+9t$ metri, $t\ge 0$ secunde. Viteza este $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$, deci mobilul se oprește la $t=1$ s și la $t=3$ s.

Alt exemplu. Profitul zilnic al unui atelier, în sute de lei, este $P(q)=-q^2+8q-6$ pentru $q$ obiecte realizate. Derivata $P^{\prime }(q)=-2q+8$ se anulează la $q=4$, este pozitivă înainte și negativă după, deci profitul maxim este $P(4)=-16+32-6=10$ sute de lei, adică $1000$ de lei.

Greșeli frecvente

• Greșit: orice funcție continuă este derivabilă.
  Corect: $|x|$ este contraexemplu în $0$.
• Greșit: derivata este aceeași cu rata medie pe un interval mare.
  Corect: este limita ratelor medii pe intervale tot mai mici.
• Greșit: dacă $f^{\prime }(a)=0$, atunci $a$ este sigur punct de maxim.
  Corect: pentru $f(x)=x^3$ avem $f^{\prime }(0)=0$, dar $0$ nu este extrem.
• Greșit: derivata are același domeniu ca funcția.
  Corect: $\sqrt{x}$ este definită în $0$, dar $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ nu.
• Greșit: derivata distanței $s(t)$, dată în metri, se măsoară tot în metri.
  Corect: unitatea ei este unitatea lui $s$ împărțită la unitatea lui $t$, adică m/s.

Înainte și după