Trigonometrie — introducere

Trigonometria leagă măsura unui unghi de lungimi și de coordonate. Are două definiții care se completează. În triunghiul dreptunghic, sinusul, cosinusul și tangenta unui unghi ascuțit sunt rapoarte de laturi. Pe cercul trigonometric, cosinusul și sinusul oricărui unghi sunt coordonatele unui punct. Unghiurile se măsoară în grade sau în radiani, iar $180^{\circ }=\pi$ radiani.

Capitolul continuă cu lecțiile „Rapoarte trigonometrice în triunghiul dreptunghic”, „Cercul trigonometric”, „Valori trigonometrice remarcabile”, „Identități trigonometrice fundamentale”, „Formule de adunare trigonometrice”, „Formule pentru unghi dublu și jumătate”, „Transformarea sumelor în produse” și „Teorema sinusurilor și teorema cosinusului”.

Radianul. Un radian este măsura unui unghi la centru care subîntinde un arc cu lungimea egală cu raza cercului. Cercul întreg are lungimea $2\pi r$, deci unghiul de $360^{\circ }$ măsoară $2\pi$ radiani. Conversiile sunt $x_{\mathrm{rad}}=\frac{\pi }{180}{x}_{\mathrm{grade}}$ și $x_{\mathrm{grade}}=\frac{180}{\pi }{x}_{\mathrm{rad}}$. Un radian are aproximativ $57,3^{\circ }$. Unghiurile uzuale sunt:

Lungimea unui arc. Într-un cerc de rază $r$, un unghi la centru de $x$ radiani subîntinde un arc cu lungimea $s=rx$. Formula cere unghiul în radiani, nu în grade.

Funcțiile trigonometrice. Pe cercul cu centrul în origine și raza $1$, punctul $M$ asociat unghiului orientat $x$ are coordonatele $(\cos x;\sin x)$. Cosinusul este abscisa lui $M$, iar sinusul este ordonata lui. De aceea $-1\le \sin x\le 1$, $-1\le \cos x\le 1$ și ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$, iar $\sin (x+2\pi )=\sin x$ și $\cos (x+2\pi )=\cos x$. Tangenta și cotangenta sunt rapoarte: $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ pentru $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ și $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$ pentru $x\ne k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$. Pentru un unghi ascuțit, cele două definiții dau aceleași valori: un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $1$ și un unghi ascuțit $x$ are catetele $\cos x$ și $\sin x$, iar la o ipotenuză $c$ catetele devin $c\cos x$ și $c\sin x$. Rapoartele cateta supra ipotenuză depind deci numai de unghi, nu de mărimea triunghiului.

Unghiuri orientate. Un unghi orientat se măsoară din semidreapta de start, punctul $(1;0)$. Rotirea în sens invers acelor de ceasornic dă măsură pozitivă, iar rotirea în sensul acelor dă măsură negativă. Valorile $x$ și $x+2k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$, duc în același punct $M$, deci au același sinus și același cosinus. Pe calculator, modul de lucru trebuie să corespundă unității: $\sin 30$ în modul de grade este $0,5$, dar în modul de radiani este aproximativ $-0,99$.

Exemplu rezolvat. Un cerc de rază $6$ cm are un arc sub un unghi la centru de $120^{\circ }$.

1. Convertim unghiul: $120\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{2\pi }{3}$ radiani.
2. Lungimea arcului este $s=6\cdot \frac{2\pi }{3}=4\pi$ cm.
3. Unghiul se află în cadranul al doilea, deci sinusul este pozitiv și cosinusul negativ.
4. Valorile sunt $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$; verificăm: $\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$.

Exemplu rezolvat. Minutarul unui ceas are $15$ cm. Cât parcurge capătul lui în $25$ de minute?

1. Într-un minut minutarul se rotește cu $360^{\circ }:60=6^{\circ }$, deci în $25$ de minute cu $150^{\circ }$.
2. În radiani, $150\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{5\pi }{6}$.
3. Capătul parcurge $s=15\cdot \frac{5\pi }{6}=\frac{25\pi }{2}\approx 39,3$ cm.

Exemplu rezolvat. Stabilim dacă sunt definite $\mathrm{tg}\frac{5\pi }{2}$ și $\mathrm{tg}\frac{3\pi }{4}$.

1. Avem $\frac{5\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+2\pi$, adică de forma $\frac{\pi }{2}+k\pi$ cu $k=2$. Cosinusul este $0$, deci $\mathrm{tg}\frac{5\pi }{2}$ nu este definită.
2. Unghiul $\frac{3\pi }{4}=135^{\circ }$ nu are forma $\frac{\pi }{2}+k\pi$. Aici $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
3. Tangenta este definită și $\mathrm{tg}\frac{3\pi }{4}=-1$.

Greșeli frecvente

• Greșit: arcul de $120^{\circ }$ dintr-un cerc de rază $6$ cm are lungimea $6\cdot 120=720$ cm.
  Corect: formula $s=rx$ cere radiani și dă $4\pi$ cm.
• Greșit: $\mathrm{tg}\frac{\pi }{2}=0$.
  Corect: $\cos \frac{\pi }{2}=0$ este numitorul, deci tangenta nu este definită în $\frac{\pi }{2}$.
• Greșit: $\pi$ radiani înseamnă $360^{\circ }$.
  Corect: $\pi$ radiani sunt $180^{\circ }$, iar $360^{\circ }$ sunt $2\pi$ radiani.
• Greșit: $\mathrm{ctg}0=0$.
  Corect: $\mathrm{ctg}0=\frac{\cos 0}{\sin 0}$ are numitorul $0$, deci nu este definită.
• Greșit: un radian este egal cu $1^{\circ }$.
  Corect: $1$ radian $=\frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 57,3^{\circ }$.

Înainte și după