Identități trigonometrice fundamentale

Identitatea de bază este ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Ea rezultă din cercul trigonometric și este valabilă pentru orice $x\in \mathbb{R}$. Unde $\cos x\ne 0$, $\mathrm{tg}x=\sin x/\cos x$; unde $\sin x\ne 0$, $\mathrm{ctg}x=\cos x/\sin x$. Dacă se cunosc o valoare trigonometrică a unui unghi și cadranul lui, toate celelalte valori se calculează cu aceste relații.

Exemplu rezolvat. Dacă $\sin x=3/5$ și $x$ este în cadranul I:

1. ${\cos }^{2}x=1-9/25=16/25$.
2. În cadranul I cosinusul este pozitiv, deci $\cos x=4/5$.
3. $\mathrm{tg}x=(3/5)/(4/5)=3/4$.

Împărțind identitatea fundamentală la ${\cos }^{2}x$, obținem $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ pentru $\cos x\ne 0$, adică $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Prin împărțire la ${\sin }^{2}x$, rezultă $1+{\mathrm{ctg}}^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ pentru $\sin x\ne 0$, adică $x\ne k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$. Dacă ambele funcții sunt definite, $\mathrm{tg}x\cdot \mathrm{ctg}x=1$. Pentru unghiuri complementare, $\sin (\pi /2-x)=\cos x$ și $\cos (\pi /2-x)=\sin x$.

Din prima relație se obțin ${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}$ și ${\sin }^{2}x=\frac{{\mathrm{tg}}^{2}x}{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}$: tangenta determină pătratele celorlalte două funcții, iar cadranul stabilește semnele. Tot din ele rezultă $\sin x\cos x=\mathrm{tg}x\cdot {\cos }^{2}x=\frac{\mathrm{tg}x}{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}$. Alte consecințe ale identității fundamentale sunt $(\sin x\pm \cos x{)}^2=1\pm 2\sin x\cos x$, ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ și ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)$.

Identitatea fundamentală arată și când două numere pot fi sinusul și cosinusul aceluiași unghi: perechea $(s;c)$ convine dacă și numai dacă $s^2+c^2=1$. De exemplu, perechea $\left(\frac{5}{13};\frac{12}{13}\right)$ convine, iar perechea $\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$ nu convine, fiindcă $\frac{1}{9}+\frac{4}{9}=\frac{5}{9}\ne 1$.

Când $\sin x\ne 0$ și $\cos x\ne 0$, suma tangentei și a cotangentei se simplifică: $\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}$. De exemplu, la $x=\pi /4$ ambele sunt $1$, iar membrul din dreapta este $1/(1/2)=2$. Condițiile de existență fac parte din identitate.

Exemplu rezolvat. Aflăm $\sin x$ și $\cos x$ când $\mathrm{tg}x=-2$ și $x\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$.

1. ${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}=\frac{1}{5}$.
2. În cadranul II cosinusul este negativ: $\cos x=-\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$.
3. $\sin x=\mathrm{tg}x\cdot \cos x=(-2)\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)=\frac{2\sqrt{5}}{5}$, pozitiv, ca pentru orice unghi din cadranul II.
4. Verificare: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1$.

Exemplu rezolvat. Știm că $\mathrm{tg}x=2$ și calculăm $E=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}$. Deoarece tangenta este definită, împărțim numărătorul și numitorul la $\cos x$: $E=\frac{\mathrm{tg}x+1}{\mathrm{tg}x-1}=\frac{2+1}{2-1}=3$. Numitorul este nenul deoarece $\mathrm{tg}x\ne 1$. Rezultatul nu cere alegerea unui cadran, fiindcă raportul depinde numai de tangentă.

Exemplu rezolvat. Știm că $\sin x+\cos x=\frac{1}{2}$. Calculăm $\sin x\cos x$ și ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x$.

1. Ridicăm egalitatea la pătrat: ${\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$, adică $1+2\sin x\cos x=\frac{1}{4}$.
2. Rezultă $\sin x\cos x=-\frac{3}{8}$.
3. ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)=\frac{1}{2}\cdot \left(1+\frac{3}{8}\right)=\frac{11}{16}$.

Exemplu rezolvat. Demonstrăm că $\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$ pentru $\sin x\ne 0$.

1. Dacă $\sin x\ne 0$, atunci $\cos x\ne -1$, deci $1+\cos x\ne 0$ și ambele fracții sunt definite.
2. Egalitatea este echivalentă cu $(1-\cos x)(1+\cos x)={\sin }^{2}x$.
3. Membrul stâng este $1-{\cos }^{2}x$, egal cu ${\sin }^{2}x$ conform identității fundamentale.

Exemplu rezolvat. Simplificăm $E=\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}$ pentru $\sin x\ne 0$.

1. Aducem la numitor comun: $E=\frac{{\sin }^{2}x+(1+\cos x{)}^2}{\sin x(1+\cos x)}$.
2. Numărătorul este ${\sin }^{2}x+1+2\cos x+{\cos }^{2}x=2+2\cos x=2(1+\cos x)$.
3. Simplificăm cu $1+\cos x\ne 0$ și obținem $E=\frac{2}{\sin x}$.
4. Verificare la $x=\frac{\pi }{2}$: $\frac{1}{1+0}+\frac{1+0}{1}=2=\frac{2}{1}$.

Exemplu rezolvat. Dacă $\mathrm{tg}x=3$, calculăm $F=\frac{2{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}$.

1. Tangenta este definită, deci $\cos x\ne 0$ și putem împărți numărătorul și numitorul la ${\cos }^{2}x$.
2. Obținem $F=\frac{2{\mathrm{tg}}^{2}x-1}{\mathrm{tg}x}$.
3. Prin urmare $F=\frac{2\cdot 9-1}{3}=\frac{17}{3}$.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm ecuația $2{\sin }^{2}x+\cos x-1=0$ în $\mathbb{R}$.

1. Înlocuim ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$: $2-2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$, adică $2{\cos }^{2}x-\cos x-1=0$.
2. Notăm $t=\cos x$, cu $t\in [-1;1]$. Ecuația $2t^2-t-1=0$ are rădăcinile $t=1$ și $t=-\frac{1}{2}$, ambele convenabile.
3. Din $\cos x=1$ rezultă $x=2k\pi$, iar din $\cos x=-\frac{1}{2}$ rezultă $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$.

Dacă o rădăcină a ecuației în $t$ ar fi ieșit în afara intervalului $[-1;1]$, ea s-ar fi respins, pentru că cosinusul nu depășește $1$ în modul.

La o expresie cu fracții trigonometrice se scriu întâi condițiile de existență ($\sin x\ne 0$, $\cos x\ne 0$ sau numitorul dat), apoi expresia se aduce la o singură funcție sau la sinus și cosinus.

Greșeli frecvente

• Greșit: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=(\sin x+\cos x{)}^2$.
  Corect: pătratul sumei mai conține $2\sin x\cos x$.
• Greșit: pentru $x$ în cadranul al II-lea și $\sin x=3/5$, se ia $\cos x=4/5$.
  Corect: cosinusul este negativ în acel cadran, deci $\cos x=-4/5$.
• Greșit: identitățile cu tangentă se aplică unde $\cos x=0$.
  Corect: acolo tangenta nu este definită.
• Greșit: $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$.
  Corect: $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$; numitorul ${\sin }^{2}x$ aparține relației $1+{\mathrm{ctg}}^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$.
• Greșit: $\sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}$ pentru orice $x$.
  Corect: $\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=|\sin x|$; pentru $x$ în cadranul III sau IV, $\sin x=-\sqrt{1-{\cos }^{2}x}$.

Înainte și după