Ecuația tangentei

Ce înseamnă derivata pentru grafic

Dreapta care trece prin punctele $(a,f(a))$ și $(x,f(x))$ ale graficului are panta $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$. Când $x$ se apropie de $a$, această dreaptă (o secantă) se rotește spre o poziție limită, tangenta, iar panta ei tinde la $f^{\prime }(a)$. Asta înseamnă că derivata într-un punct este panta tangentei în acel punct.

Cei trei pași

1. Calculezi $f(a)$: afli punctul de tangență, $(a,f(a))$.
2. Calculezi $f^{\prime }(x)$, apoi $f^{\prime }(a)$: afli panta.
3. Înlocuiești în $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$ și, dacă vrei, aduci ecuația la forma $y=mx+n$.

Formula este ecuația dreptei care trece printr-un punct dat și are o pantă dată. În ea, $f(a)$ și $f^{\prime }(a)$ sunt numere; $x$ și $y$ sunt coordonatele unui punct oarecare de pe tangentă.

Tangenta cu o direcție dată

Uneori nu știi punctul, ci direcția tangentei:

• paralelă cu o dreaptă de pantă $m$: rezolvi $f^{\prime }(a)=m$;
• orizontală: rezolvi $f^{\prime }(a)=0$;
• perpendiculară pe o dreaptă de pantă $m\ne 0$: rezolvi $f^{\prime }(a)=-\frac{1}{m}$.

Ecuația poate avea mai multe soluții. Pentru fiecare soluție $a$ scrii câte o tangentă; uneori tangentele obținute sunt distincte, alteori coincid.

Tangenta dusă dintr-un punct exterior

Dacă punctul $P(x_0,y_0)$ nu este pe grafic, nu îl poți folosi ca punct de tangență. Scrii tangenta într-un punct necunoscut $a$, apoi pui condiția ca $P$ să fie pe ea: $y_0-f(a)=f^{\prime }(a)(x_0-a)$. Din această ecuație afli $a$, apoi tangenta.

Două observații

• Tangenta poate tăia graficul: la $f(x)=x^3$, tangenta în origine este axa $Ox$, iar graficul trece de o parte pe alta a ei. Asta se întâmplă în punctele de inflexiune.
• Dacă $f$ nu este derivabilă în $a$, formula nu se aplică. De exemplu, $f(x)=|x|$ nu are tangentă în origine, pentru că derivatele laterale sunt diferite.

Exemplul 1: tangenta într-un punct dat

Exemplu rezolvat. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+5$, în punctul de abscisă $a=3$.

1. $f(3)=9-12+5=2$, deci punctul de tangență este $(3,2)$.
2. $f^{\prime }(x)=2x-4$, deci $f^{\prime }(3)=2$.
3. $y-2=2(x-3)$, adică $y=2x-4$.

Exemplul 2: o funcție logaritmică

Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f:(0,\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x$, în punctul de abscisă $e$.

1. $f(e)=\ln e=1$.
2. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, deci $f^{\prime }(e)=\frac{1}{e}$.
3. $y-1=\frac{1}{e}(x-e)$, adică $y=\frac{x}{e}$.

Observă: tangenta trece prin origine, pentru că termenul liber a ieșit $0$.

Exemplul 3: tangente paralele cu o dreaptă

Determină tangentele la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+2$, care sunt paralele cu dreapta $y=9x+1$.

1. Panta dreptei este $9$, deci rezolvi $f^{\prime }(a)=9$: $3a^2-6a=9$, adică $a^2-2a-3=0$, cu soluțiile $a=3$ și $a=-1$.
2. Pentru $a=3$: $f(3)=27-27+2=2$, iar tangenta este $y-2=9(x-3)$, adică $y=9x-25$.
3. Pentru $a=-1$: $f(-1)=-1-3+2=-2$, iar tangenta este $y+2=9(x+1)$, adică $y=9x+7$.

Există deci două tangente paralele cu dreapta dată.

Exemplul 4: tangenta orizontală

Determină punctul în care tangenta la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^{-x}$, este paralelă cu axa $Ox$, apoi scrie ecuația ei.

1. $f^{\prime }(x)=e^{-x}-x{e}^{-x}=(1-x)e^{-x}$.
2. $f^{\prime }(a)=0⟺1-a=0$, pentru că $e^{-a}>0$. Deci $a=1$.
3. $f(1)=\frac{1}{e}$, iar tangenta este $y=\frac{1}{e}$, în punctul $\left(1,\frac{1}{e}\right)$.

Exemplul 5: nivel de examen, tangenta dintr-un punct exterior

Exemplu rezolvat. Determină tangenta la graficul funcției $f:[0,\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, care trece prin punctul $P(-4,0)$.

1. $P$ nu este pe grafic (abscisa lui nu e în domeniu). Iei un punct de tangență necunoscut $a>0$, unde $f$ este derivabilă: $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
2. Tangenta în $a$: $y=\sqrt{a}+\frac{1}{2\sqrt{a}}(x-a)$.
3. Pui condiția ca $P(-4,0)$ să fie pe ea: $0=\sqrt{a}+\frac{-4-a}{2\sqrt{a}}$. Înmulțești cu $2\sqrt{a}$: $0=2a-4-a$, deci $a=4$.
4. $f(4)=2$ și $f^{\prime }(4)=\frac{1}{4}$, iar tangenta este $y=\frac{1}{4}x+1$.

Verificare: pentru $x=-4$, $y=-1+1=0$.

Cum recunoști tipul: punctul dat nu verifică $y_0=f(x_0)$. Atunci el este pe tangentă, dar nu este punctul de tangență.

Înainte și după

• Înainte: tabelul derivatelor și regulile de derivare; limitele remarcabile, din care vin derivatele funcțiilor elementare.
• După: asimptotele, dreptele de care graficul se apropie la infinit, prin comparație cu tangenta, care atinge graficul într-un punct; integralele, unde calculezi aria dintre grafic și o tangentă; monotonia funcției și punctele de extrem, unde tangenta orizontală marchează punctele în care derivata se anulează.

La o cerință de derivabilitate din formatul examenului de admitere, citește întâi dacă este dată abscisa punctului de tangență sau o condiție asupra tangentei. Dacă abscisa este $a$, verifici că funcția este derivabilă în $a$, calculezi separat $f(a)$ și $f^{\prime }(a)$, apoi scrii $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$. Pentru o tangentă paralelă cu o dreaptă de pantă $m$, rezolvi mai întâi $f^{\prime }(a)=m$. Fiecare soluție admisă poate da altă tangentă. Dacă este dat un punct exterior graficului, el trebuie introdus în ecuația tangentei cu abscisa de tangență încă necunoscută.

Când cerința spune „tangenta la intersecția graficului cu axa $Oy$”, abscisa este $a=0$. La intersecția cu axa $Ox$, rezolvi $f(a)=0$, apoi calculezi panta pentru fiecare rădăcină admisă. Dacă funcția nu este derivabilă într-o rădăcină, nu aplici formula tangentei.

Exemplu de examen. Fie $f(x)=x^2-2x+3$. Ecuația tangentei la grafic în punctul de abscisă $0$ este:

• A. $y=-2x+3$
• B. $y=2x+3$
• C. $y=-2x$
• D. $y=x^2-2x+3$

Derivezi: $f^{\prime }(x)=2x-2$, deci $f^{\prime }(0)=-2$. Punctul de tangență este $(0;3)$, fiindcă $f(0)=3$. Ecuația este $y-3=-2(x-0)$, adică $y=-2x+3$: varianta A. Varianta B schimbă semnul pantei, C uită ordonata punctului, iar D este ecuația graficului funcției, nu a tangentei. Într-un item cu răspuns deschis, verificarea rapidă este dublă: dreapta obținută trebuie să treacă prin $(a;f(a))$ și să aibă panta $f^{\prime }(a)$.

Unde apare la examen

• Admiterea la Politehnica București (ACS, ETTI): programa probei de Algebră și analiză matematică cuprinde derivabilitatea și studiul funcțiilor (Regulamentul de admitere UNSTPB 2026, Anexa XI).
• Bacalaureatul, Matematică M_mate-info: la conținuturile clasei a XI-a, programa de examen începe capitolul de derivabilitate cu tangenta la o curbă și derivata unei funcții într-un punct (programa M_mate-info, anexa 2 la OMEN 4430/2014). La sesiunea din iunie–iulie 2026, Subiectul al III-lea a avut două probleme de analiză, cu derivate, asimptote, integrale și limite (subiectele și baremele Bac 2026). Formatul descris este cel din 2026; potrivit proiectului de ordin pentru Bacalaureatul 2027, programa rămâne aceeași.

Greșeli frecvente

• Greșit: în ecuație panta rămâne funcție de $x$, ca în $y-2=(2x-4)(x-3)$.
  Corect: în ecuație intră $f^{\prime }(a)$, un număr, nu $f^{\prime }(x)$; altfel expresia nu este o dreaptă.
• Greșit: tangenta trece prin punctul $(a,f^{\prime }(a))$.
  Corect: tangenta trece prin punctul graficului, $(a,f(a))$; $f^{\prime }(a)$ este doar panta.
• Greșit: ecuația $f^{\prime }(a)=m$ se rezolvă și se scrie o singură tangentă.
  Corect: ecuația poate avea mai multe soluții, ca în exemplul 3, și fiecare dă o tangentă.
• Greșit: un punct exterior $P$ se folosește ca punct de tangență.
  Corect: dacă $P$ nu este pe grafic, tangenta nu se scrie „în $P$”; se caută întâi punctul de tangență.
• Greșit: tangenta paralelă cu o dreaptă are produsul pantelor $-1$.
  Corect: paralele au pante egale; perpendiculare au produsul pantelor $-1$.
• Greșit: se scrie tangenta într-un punct în care funcția nu e derivabilă.
  Corect: se verifică întâi că $f^{\prime }(a)$ există.

Înainte și după

Întrebări frecvente