Relații metrice în triunghiul dreptunghic: formule, exemple

Pe scurt

În triunghiul dreptunghic $A B C$ , cu unghiul drept în $A$ , du perpendiculara $A D$ pe ipotenuza $B C$ . Punctul $D$ este proiecția ortogonală a lui $A$ pe dreapta $B C$ ; segmentele $B D$ și $D C$ sunt proiecțiile catetelor $A B$ și $A C$ pe ipotenuză. Teorema catetei dă $A B^{2} = B D \cdot B C$ și $A C^{2} = D C \cdot B C$ . Teorema înălțimii dă $A D^{2} = B D \cdot D C$ . Din calculul ariei mai rezultă $A B \cdot A C = A D \cdot B C$ .

Distanță calculată pas cu pas: $B D = 4$ cm și $D C = 9$ cm. (1) $B C = 4 + 9 = 13$ cm. (2) Teorema înălțimii: $A D^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ , deci $A D = 6$ cm. (3) Cum $A D ⊥ B C$ , distanța de la $A$ la dreapta $B C$ este $6$ cm. (4) Dacă vrei și catetele, $A B^{2} = 4 \cdot 13 = 52$ , deci $A B = 213$ cm; $A C^{2} = 9 \cdot 13 = 117$ , deci $A C = 313$ cm. Fă mai întâi desenul și leagă fiecare catetă de proiecția ei, apoi alegi relația necesară.

Relațiile provin din asemănarea triunghiurilor. Înălțimea $A D$ împarte triunghiul dreptunghic $A B C$ în două triunghiuri dreptunghice, $A B D$ și $C A D$ , asemenea cu $A B C$ (au unghi drept și un unghi comun cu el). Din $△ A B D \sim △ C B A$ se obține $\frac{A B}{C B} = \frac{B D}{B A}$ , adică teorema catetei $A B^{2} = B D \cdot B C$ . Adunând relațiile pentru cele două catete, $A B^{2} + A C^{2} = B C (B D + D C) = B C^{2}$ , se regăsește teorema lui Pitagora.

În rezolvarea unei probleme, identifici mai întâi cele trei segmente date și cele căutate. Dacă cunoști ipotenuza și o proiecție, cealaltă proiecție se obține prin scădere. Dacă cunoști cele două proiecții, înălțimea este media geometrică a lor, $A D = B D \cdot D C$ , iar fiecare catetă este media geometrică dintre ipotenuză și proiecția ei. Mai folosești și faptul că aria triunghiului se calculează în două moduri, $\frac{A B \cdot A C}{2} = \frac{B C \cdot A D}{2}$ , de unde obții înălțimea când știi catetele. Caz particular: într-un triunghi dreptunghic isoscel proiecțiile sunt egale, $B D = D C = \frac{B C}{2}$ , deci și înălțimea este $A D = \frac{B C}{2}$ .

Exemplu rezolvat. Un triunghi dreptunghic are catetele $15$ cm și $20$ cm. Află ipotenuza, înălțimea pe ipotenuză și proiecțiile catetelor.

Ipotenuza: $B C = 1 5^{2} + 2 0^{2} = 625 = 25$ cm.
Înălțimea din aria triunghiului: $A D = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12$ cm.
Proiecția catetei de $15$ cm: $B D = \frac{1 5 ^{2}}{25} = 9$ cm. Proiecția celeilalte: $D C = \frac{2 0 ^{2}}{25} = 16$ cm.
Verificări: $B D + D C = 9 + 16 = 25$ cm și $A D^{2} = B D \cdot D C = 9 \cdot 16 = 144$ , deci $A D = 12$ cm.

Răspuns: $B C = 25$ cm, $A D = 12$ cm, $B D = 9$ cm, $D C = 16$ cm.

Desen la lecția „Relații metrice în triunghiul dreptunghic”

Greșeli frecvente

Greșit: pentru proiecțiile $B D = 4$ cm și $D C = 9$ cm, cateta $A B$ are pătratul $9 \cdot 13$ .
Corect: proiecția ei este $B D$ , deci $A B^{2} = 4 \cdot 13 = 52$ cm $^{2}$ .
Greșit: teorema catetei se poate aplica în orice triunghi cu o înălțime.
Corect: relațiile $A B^{2} = B D \cdot B C$ și $A D^{2} = B D \cdot D C$ cer unghi drept în $A$ și $A D$ perpendiculară pe ipotenuză.
Greșit: înălțimea este suma proiecțiilor, $A D = 4 + 9 = 13$ cm.
Corect: teorema înălțimii dă $A D = 4 \cdot 9 = 6$ cm; suma proiecțiilor este ipotenuza.

pentru adulți

Pentru părinți

Desenați un triunghi dreptunghic și înălțimea pe ipotenuză; colorați diferit $B D$ și $D C$ . Copilul adună cele două proiecții pentru a afla $B C$ , calculează $A D$ din $A D^{2} = B D \cdot D C$ și arată de ce aceasta este distanța până la dreapta $B C$ . Întrebați: „Care proiecție intră în formula pentru cateta $A B$ ?”

în contul tăuPremium

Testează-te pe această lecție

Lecția o citești aici, fără cont. Testele pe lecții și capitole sunt în cont, cu grile originale Didaxis și explicația fiecăreia: gratuit 10 grile pe zi, fără limită cu Premium, 49 de lei pe lună pentru fiecare copil.

Testează-te în cont

Înainte și după

ÎnainteForme geometrice plane — recunoașterePătrat, dreptunghi, triunghi, cerc și semicerc (CP–II); poligoane, romb și paralelogram, perimetrul prin măsurare (III–IV): recunoaștere, denumire, desen pe rețea, interior și exterior.DupăLinia mijlocie în triunghi și în trapezDefiniție, proprietăți (paralelism, jumătatea bazei / semisuma bazelor) și aplicații.CapitolulGeometrie planăToate lecțiile capitolului „Geometrie plană”.

Întrebări frecvente

Ce este proiecția unei catete pe ipotenuză?

Este segmentul de pe ipotenuză cuprins între capătul catetei și piciorul înălțimii duse din vârful unghiului drept. Cele două proiecții adunate dau ipotenuza.

Cum aleg între teorema lui Pitagora, teorema înălțimii și teorema catetei?

Te uiți la ce lungimi știi. Dacă știi două laturi, folosești teorema lui Pitagora. Dacă știi cele două proiecții, afli înălțimea cu teorema înălțimii. Dacă știi ipotenuza și o proiecție, afli cateta cu teorema catetei.

Se pot folosi relațiile metrice într-un triunghi care nu este dreptunghic?

Nu direct. Dacă duci o înălțime, triunghiul se împarte în două triunghiuri dreptunghice, iar în fiecare dintre ele poți aplica teorema lui Pitagora.

Surse și referințe

Redactare proprie, conform programei:

OMEN nr. 3393/28.02.2017, anexa 2, p. PDF 23, 24; rocnee.eu
OME 4730/2022, programa de examen EN VIII, confirmată pentru EN 2026 de OMEC 6058/2025 art. 3; edu.ro ; pentru conținutul detaliat, anexa 11 la OMEC 3472/2020, p. PDF 66–77: edu.ro

Documente consultate

Programa școlară de matematică, clasele V–VIII (OMEN 3393/2017, anexa 2), p. PDF 23–24; rocnee.eu

Desene: Redactare proprie (desen original)